专题08 不等式及不等式组（解析版）

第08讲不等式及不等式组

1.结合具体问题，了解不等式的意义

2.探索不等式的基本性质

3.能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集

4.会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组解集

5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题

★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

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考点1：不等式及其性质.....................................................................................................................3

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示.....................................................................................9

考点3：一元一次不等式组解法及解集表示...................................................................................15

考点4：一元一次不等式的实际应用...............................................................................................22

课堂总结：思维导图..........................................................................................................................34

分层训练：课堂知识巩固..................................................................................................................35

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考点1：不等式及其性质

①不等式及其相关概念：

（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.

（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.

（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.

②不等式的性质：

性质1：若a＞b,则a±c>b±c；

ab

性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；

cc

ab

性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，<.

cc

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【例题精析1】｛不等式的定义★｝下列各式：①1x：②4x50；③x3；④x2x10，不等

式有()个．

A．1B．2C．3D．4

【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“…”、“”、“„”、“”等不等号表示不相等关系的式子是

不等式来判断．

【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以为不等式有②4x50；③x3，

有2个．故选：B．

【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．

【例题精析2】｛不等式的性质★｝若ab，则()

A．a2b2B．a|m|b|m|C．ac2„bc2D．ac2bc2

【分析】通过举特例用排除法即可得出答案．

【解答】解：A选项，如a2，b1，a2b2，故该选项不符合题意；B选项，当m0时，a|m|b|m|，

故该选项不符合题意；C选项，当c0时，ac2bc2；当c0时，ac2bc2；综上所述，ac2„bc2；故该

选项符合题意；D选项，当c0时，ac2bc2，故该选项不符合题意；故选：C．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，体现了分类讨论的数学思想，分c0和c0两种情况来比较大小

是解题的关键．

【例题精析3】｛不等式的性质★｝已知实数x，y满足xy3，且x3，y…1，则xy的取值范围

9xy„1．

【分析】根据xy3，可以得到x与y的关系，根据x3，y…1，可以得到y的取值范围，从而可以得

到xy的取值范围．

y33

【解答】解：xy3，且x3，y…1，xy3，解得，1„y6，

y…1

xyy3y2y3，92y3„1，故答案为：9xy„1．

【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是利用数学中转化的数学思想将xy的取值范围转为

求关于y的代数式的取值范围．

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【对点精练1】｛不等式的定义★｝现有以下数学表达式：①30；②4x3y0；③x3；

④x2xyy2；⑤x5；⑥x2y3．其中不等式有()

A．5个B．4个C．3个D．1个

【分析】运用不等式的定义进行判断．

【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．

故选：B．

【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键

是要识别常见不等号：，，„，…，．

【对点精练2】｛不等式的性质★｝P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四

人的轻重正确的是()

A．RSPQB．QSPRC．SPRQD．SPQR

【分析】根据图形可得不等式组，由RQSP，可得RSPQ，然后把RSPQ代入

RPQS中，联立可得RSPQ．

SP

【解答】解：根据题意可得RPQS，由RQSP，可得RSPQ，然后把RSPQ代

RQSP

入RPQS中，可得PQ，RQSP，SRQP0，SR，RSPQ．故选：

A．

【点评】本题考查了不等式组的应用．解题的关键是采用代入法解不等式，并能使用统一的不等号进行连

接．

【对点精练3】｛不等式的性质★｝根据不等式的性质，下列变形正确的是()

A．由ab得ac2bc2B．由ac2bc2得ab

1

C．由a2得a2D．由2x1x得x1

2

【分析】根据不等式的性质，可得答案．

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【解答】解；A、ab，c0时，ac2bc2，故A不符合题意；B、由ac2bc2得ab，故B符合题意；

1

C、由a2得a4，故C不符合题意；D、由2x1x得x1，故D不符合题意；故选：B．

2

【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．

【对点精练4】｛不等式的性质★｝已知xy3，且x1，y„0，若mxy，则m的取值范围是

1m„3．

【分析】分别求得x、y的取值范围，然后再来求xy的取值范围．

【解答】解：xy3，xy3，而x1，y31，y2又y„0，2y„0①，

再由xy3得yx3，又y„0，x3„0，x„3，x1，1x„3②，

①②得：21xy„30，xy的取值范围是1xy„3，故答案为：1m„3．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．

【对点精练5】｛不等式的性质★｝已知实数a，b，c，满足ab8，ca10．若a…2b，则abc

的最大值为34．

【分析】由ca10得ca10，与ab8相加得abca18，由ab8及a…2b，可得a的最

大值为16，从而得出abc的最大值．

【解答】解：由ca10得ca10，由ab8得abca18，ab8及a…2b，

a„16，a的最大值为16，abc的最大值181634．故答案为：34．

【点评】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出abc的表达式，再求最大值．

【对点精练6】｛不等式的性质★｝已知实数x、y满足2x3y4，且x1，y„2，设kxy，则

k的取值范围是1k„3．

11

【分析】先把2x3y4变形得到y(2x4)，由y„2得到(2x4)„2，解得x„5，所以x的取值范围

33

14

为1x„5，再用x变形k得到kx，然后利用一次函数的性质确定k的范围．

33

11

【解答】解：2x3y4，y(2x4)，y„2，(2x4)„2，解得x„5，

33

11414

又x1，1x„5，kx(2x4)x，当x1时，k(1)1；

33333

14

当x5时，k53，1k„3．故答案为：1k„3．

33

【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；

②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．

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【实战经典1】（2021•临沂）已知ab，下列结论：①a2ab；②a2b2；③若b0，则ab2b；

11

④若b0，则，其中正确的个数是()

ab

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．

【解答】解：ab，当a0时，a2ab，当a0时，a2ab，当a0时，a2ab，故①结论错误

ab，当|a||b|时，a2b2，当|a||b|时，a2b2，当|a||b|时，a2b2，故②结论错误；

11

ab，b0，ab2b，故③结论错误；ab，b0，ab0，，故④结论正确；

ab

正确的个数是1个．故选：A．

【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．

【实战经典2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是(

)

A．a5b5B．6a6bC．abD．ab0

【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．

【解答】解：由图可知，b0a，且|b||a|，a5b5，6a6b，ab，ab0，

关系式不成立的是选项C．故选：C．

【点评】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝对值大的反而小．

a1b23c

【实战经典3】（2021•内江）已知非负实数a，b，c满足，设Sa2b3c的最大

234

n11

值为m，最小值为n，则的值为．

m16

a1b23c

【分析】设k，则a2k1，b3k2，c34k，可得S4k14；利用a，b，

234

c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．

a1b23c

【解答】解：设k，则a2k1，b3k2，c34k，

234

Sa2b3c2k12(3k2)3(34k)4k14．

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2k1…0

1313

a，b，c为非负实数，3k2…0，解得：„k„．当k时，S取最大值，当k时，S取

2424

34k…0

13n1111

最小值．m4()1416，n41411．．故答案为：．

24m1616

a1b23c

【点评】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设k是解题的关键．

234

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考点2：一元一次不等式解法及其解集表示

①一元一次不等式定义：

用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一

元一次不等式.

②解法：

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.

（2）解集在数轴上表示:

x≥ax＞ax≤ax＜a

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1

【例题精析1】｛解不等式★｝已知a、b为常数，若axb0的解集是x，则bxa0的解集是(

3

)

A．x3B．x3C．x3D．x3

1b1

【分析】根据axb0的解集是x得出a0且，求出a3b，把a3b代入bxa0得出

3a3

bx3b根据a3b0求出b0，再求出不等式的解集即可．

1b1

【解答】解：axb0的解集是x，a0且，a3b0，b0，bxa0，

3a3

bxa，bx3b，x3，故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，能求出a0和b0是解此题的关键．

xa

【例题精析2】｛不等式的解集★★｝关于x的不等式组有解，则a的值不可能是()

x…1

1

A．0B．1C．D．1

2

【分析】由题意可得，a1，对比选项即可得出答案．

xa1

【解答】解：不等式组有解，a1，01，11，1，11，

x…12

a的值不可能是1．故选：D．

【点评】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的应用是解决本题的关键．

xa

【例题精析3】｛不等式的解集★★｝已知不等式组的整数解有三个，则a的取值范围是()

x5

A．1a„2B．2„a3C．1a2D．1„a2

【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出a的范围即可．

xa

【解答】解：不等式组的整数解有三个，1„a2，故选：D．

x5

【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的确定方法是解本题的关键．

【例题精析4】｛不等式的解集★｝满足3x„1的数在数轴上表示为()

A．B．

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C．D．

【分析】3x„1表示不等式x3与不等式x„1的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，

大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：由于x3，所以表示3的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于x„1，所以表示1

的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：A．

【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(，…向右画；，

„向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一

样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“…”，“„”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆

点表示．

【例题精析5】｛一元一次不等式的定义★｝若(m2)x2m115是关于x的一元一次不等式，则m的

值为1．

【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元

一次不等式．

m20

【解答】解：(m2)x2m115是关于x的一元一次不等式，，解得m1，故答案为：1．

2m11

【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．

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x„5

【对点精练1】｛不等式的解集★★｝关于x的不等式组无解，则a的取值范围是()

xa

A．a„5B．a…5C．a5D．a5

x„5

【分析】关于x的不等式组无解，根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不

xa

了，求出a的取值范围是多少即可．

x„5

【解答】解：关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a…5．故选：B．

xa

【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同大取较大，同小取较

小，小大大小中间找，大大小小解不了．

【对点精练2】｛不等式的解集★｝不等式x1…2x1的解集在数轴上表示正确的是()

A．B．

C．D．

【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．

【解答】解：由x1…2x1，得x„2，故选：A．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来(，…向右画；，„向

左画），注意在表示解集时“…”，“„”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．

【对点精练3】｛一元一次不等式的定义★｝已知(m2)x|m|130是关于x的一元一次不等式，则m的

值为2．

【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．

m20

【解答】解：(m2)x|m|130是关于x的一元一次不等式，，解得m2．故答案为：2．

|m|11

【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．

【对点精练4】｛不等式的解集★｝不等式x4…2的解集为x…6．

【分析】不等式移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集．

【解答】解：不等式x4…2，

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移项得：x…24，解得：x…6．故答案为：x…6．

【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

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【实战经典1】（2021•深圳）不等式x12的解集在数轴上表示为()

A．B．

C．D．

【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．

【解答】解：因为x12，所以x1，在数轴上表示为：故选：D．

【点评】此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．

【实战经典2】（2020•天水）若关于x的不等式3xa„2只有2个正整数解，则a的取值范围为()

A．7a4B．7„a„4C．7„a4D．7a„4

2a

【分析】先解不等式得出x„，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出

3

2a

2„3，解之可得答案．

3

2a

【解答】解：3xa„2，3x„2a，则x„，不等式只有2个正整数解，不等式的正整数解为

3

2a

1、2，则2„3，解得：7a„4，故选：D．

3

【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并

根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．

【实战经典3】（2021•眉山）若关于x的不等式xm1只有3个正整数解，则m的取值范围是

3„m2．

【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关

于m的不等式组求得m的范围．

【解答】解：解不等式xm1得：x1m，根据题意得：31m„4，即3„m2，故答案是：3„m2．

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式

应根据不等式的基本性质．

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考点3：一元一次不等式组解法及解集表示

①定义

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

②解法

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

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【例题精析1】｛不等式的定义★｝下列不等式组：

x2x0x10x302

①；②；③；④；⑤x1x，其中是一元一次不等式组的个数

3()

x3x24y40x7x24

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．

x2x0x10

【解答】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未

x3x24y40

x302

知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤x1x，未知数是次，不是一

33

x7x24

元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：B．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在

一起，就组成了一个一元一次不等式组．

x1m1

【例题精析2】｛不等式组的解集★★｝在关于x的不等式组恰好有3个整数解，那么m的

22x3

取值范围是1„m2．

【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好有3个整数解，确定出m的范围即可．

xm2

x1m1x1m1

【解答】解：不等式组整理得5，关于x的不等式组恰好有3个整数解，

22x3x22x3

2

整数解为0，1，2，1„m20，解得：1„m2．故答案为：1„m2．

【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．

3x„4x1

【例题精析3】｛不等式组的解集★★｝若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值

xa0

范围为0a„1．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．

【解答】解：解不等式3x„4x1，得：x…1，解不等式xa0，得：xa，则不等式组的解集为1„xa，

不等式组的整数解有2个，0a„1，故答案为：0a„1．

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

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同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

【例题精析4】｛解不等式组★｝解下列不等式组并在数轴上表示它们的解．

3x12(x1)

2x„3

（1）；（2）x3．

3(x1)x9…1

2

【分析】（1）先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出

不等式组的解集即可；

（2）先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组

的解集即可．

2x„3①

【解答】解：（1），解不等式①，得x…1，解不等式②，得x6，

3x1x9②

所以不等式组的解集是1„x6，在数轴上表示为：

；

3x12x1①

（2）x3，解不等式①，得x3，解不等式②，得x…1，所以不等式组的解集是1„x3，

…1②

2

在数轴上表示为：．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等

式组的解集是解此题的关键．

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4x160

【对点精练1】｛不等式组的解集★★｝求不等式组的非负整数解0、1、2．

3x6„0

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4x160，得：x4，解不等式3x6„0，得：x„2，则不等式组的解集为4x„2，

所以不等式组的非负整数解为0、1、2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

3xa2(x2)

【对点精练2】｛不等式组的解集★★｝已知不等式不等式组15的整数解有3个，则a的

xx2

33

取值范围为1„a2．

【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式整数解的个数可得关于a的不等式组，解之即可．

15

【解答】解：解不等式3xa2(x2)，得：x4a，解不等式xx2，得：x1，

33

不等式组的整数解有3个，24a„3，解得1„a2，故答案为：1„a2．

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

2

xx1

【对点精练3】｛不等式组的解集★★｝若关于x的一元一次不等式组3恰有3个整数解，则a

4x1…a

的取值范围是3a„1．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数得到关于a的不等式组，解之即可．

2a1

【解答】解：解不等式xx1，得：x3，解不等式4x1…a，得：x…，不等式组恰有3个整

34

a1

数解，整数解为2、1、0，1„0，解得3a„1，故答案为：3a„1．

4

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

2(x1)„3x

【对点精练4】｛解不等式组★｝解不等式组：3x14x1．

1

23

第18页共58页.

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集．

3x14x1

【解答】解：解不等式2(x1)„3x，得：x„5，解不等式1，得：x1，不等式组的解

23

集为1x„5．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

3x2„x6

【对点精练5】｛解不等式组★｝解不等式组5x1，并把解集在数轴上表示出来．

2x

2

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集．

3x2„x6①

【解答】解：5x1，解不等式①得x„4，解不等式②得x1，不等式组的解集为1x„4．

2x②

2

将不等式的解集表示在数轴上如下：．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

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x64x3

【实战经典1】（2021•日照）若不等式组的解集是x3，则m的取值范围是()

xm

A．m3B．m…3C．m„3D．m3

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x64x3，得：x3，xm且不等式组的解集为x3，m„3，故选：C．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

2x1…x

【实战经典2】（2021•潍坊）不等式组113x1的解集在数轴上表示正确的是()

x

3412

A．B．

C．D．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集．

113x1

【解答】解：解不等式2x1…x，得：x…1，解不等式x，得：x2，则不等式组的解集为

3412

1„x2，故选：D．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

2x3…1

【实战经典3】（2021•呼和浩特）已知关于x的不等式组xa1无实数解，则a的取值范围是(

1…

42

)

55

A．a…B．a…2C．aD．a2

22

【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．

xa1

【解答】解：解不等式2x3…1得：x„2，解不等式1…得：x…2a2，

42

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2x3…1

关于x的不等式组xa1无实数解，2a22，解得：a2，故选：D．

1…

42

【点评】本题考查一元一次不等式组的解，正确找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．

4(x1)3x2

【实战经典4】（2021•宁夏）解不等式组：1x1x．

…1

23

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找

不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式4(x1)3x2，得：x2，

1x1x

解不等式…1，得：x…1，

23

则不等式组的解集为x2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取

小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

第21页共58页.

考点4：一元一次不等式的实际应用

（1）一般步骤

审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.

（2）应用不等式解决问题的情况

a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过

（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

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【例题精析1】｛不等式的应用★★｝据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著

作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁

道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大

于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我

和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为

2

450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁

3

道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长

津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为28.75元．

【分析】设出未知数，表示四部小说的单价、数量、总价，分别根据题意，列出相应的方程或不等式，确

定未知数的值，或未知数的取值范围，最后根据“当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多

时”求出相应的《长津湖》的单价即可．

【解答】解：设《长津湖》的单价为m元/本，《五个扑火的少年》单价为n元/本，则《我和我的父辈》的

单价也为m元/本，《铁道英雄》的单价为3n元/本，设《长津湖》的销售量为a本，《铁道英雄》的销售量

为b本，则《五个扑火的少年》的销售量为a本，《我和我的父辈》的销售量为3b本，

单价、数量、总价之间的关系可用下表表示：

《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，ab450，即，b450a，

2