2024-2025学年高中数学第一章计数原理课时作业21.2排列含解析北师大版选修2-3

课时作业2排列时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列问题：①某工厂从甲、乙、丙三名工人中选出两名参与一项技能培训，其中一名工人参与上午的技能培训，另一名工人参与下午的技能培训；②某工厂从甲、乙、丙三名工人中选出两名参与一项技能培训；③从a，b，c，d4个字母中取出2个字母；④从a，b，c，d4个字母中取出2个字母，然后按依次排成一列．其中是排列问题的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是排列，②③不是排列．2．给出下列四个关系式：①n！＝eq\f(n＋1！,n＋1)；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)；④Aeq\o\al(m－1,n－1)＝eq\f(n－1！,m－n！).其中正确的个数为(C)A．1B．2C．3D．4解析：由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．3．将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同分法的种数是(D)A．1260B．120C．240D．720解析：相当于3个元素排10个位置，则有Aeq\o\al(3,10)＝720种不同的分法．4．某台小型晚会由6个节目组成，演出依次有如下要求：节目甲必需排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必需排在最终一位，该台晚会节目演出依次的编排方案共有(B)A．36种B．42种C．48种D．54种解析：分两类解决：第一类：甲排在第一位，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)排法．其次类：甲排在其次位，共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝18(种)排法．所以节目演出依次的编排方案共有24＋18＝42(种)．5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(A)A．12种B．18种C．24种D．36种解析：本题考查了分步计数原理的应用．利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有Ceq\o\al(1,3)＝3种；再填写右上角的数为2种；再填写其次行第一列的数有2种，一共有3×2×2＝12(种)．故选A.解题的关键是正确地利用分步计数原理合理地分步计算．6．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中参与某项志愿者活动，要求每人参与一天且每天至多支配一人，并要求甲支配在另外两位前面．不同的支配方法共有(A)A．20种B．30种C．40种D．60种解析：甲是特别元素，优先支配：若甲支配在星期一，则乙、丙有Aeq\o\al(2,4)种支配方法；若甲支配在星期二，则乙、丙有Aeq\o\al(2,3)种支配方法；若甲支配在星期三，则乙、丙有Aeq\o\al(2,2)种支配方法．因此共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,2)＝12＋6＋2＝20(种)不同的支配方法．7．某电视台的一个综艺栏目对6个不同的节目排演出依次，最前只能排甲或乙，最终不能排甲，则不同的排法共有(B)A．192种B．216种C．240种D．288种解析：完成这件事，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有Aeq\o\al(5,5)＝120种不同的排法；其次类，最前排乙，排最终有4种排法，其余位置有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的排法．所以共有Aeq\o\al(5,5)＋4Aeq\o\al(4,4)＝216种不同的排法．8．形如“45132”这样的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字比它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可以构成数字不重复的5位“波浪数”的个数为(C)A．20B．18C．16D．11解析：当十位与千位是4或5时，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12个．当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时有2个(即45132和45231)．同理，当千位是3，十位是5时，个位只能是4，此时也有2个．因此共有12＋2＋2＝16个．二、填空题9．(1)若Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)，则n＝7；(2)若eq\f(A\o\al(5,n)＋A\o\al(4,n),A\o\al(3,n))＝4，则n＝5.解析：(1)将Aeq\o\al(2,n)＝7Aeq\o\al(2,n－4)按排列数公式绽开得n(n－1)＝7(n－4)(n－5)(n≥6，n为正整数)，解得n＝7.(2)将eq\f(A\o\al(5,n)＋A\o\al(4,n),A\o\al(3,n))＝4改写为阶乘形式为eq\f(\f(n！,n－5！)＋\f(n！,n－4！),\f(n！,n－3！))＝eq\f(n－3！,n－5！)＋eq\f(n－3！,n－4！)＝(n－3)(n－4)＋(n－3)＝4(n≥5，n为正整数)，解得n＝5.10．有A，B，C，D，E五位学生参与网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A，B两位学生去问成果，老师对A说：“你的名次不知道，但确定没得第一名”；又对B说：“你是第三名”．请你分析一下，这五位学生的名次排列共有18种不同的可能．解析：先支配B有1种方法，再支配A有3种方法，最终支配C，D，E共Aeq\o\al(3,3)种方法．由分步乘法计数原理知共有3Aeq\o\al(3,3)＝18种方法．11．从0,1,2,3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的一次函数共有6个，不同的二次函数共有18个(用数字作答)．解析：若要得到一次函数，只需a＝0，对于b，c从余下的3个数中选2个排列，故一次函数有Aeq\o\al(2,3)＝6个；若要得到二次函数，则a≠0，a有Aeq\o\al(1,3)种选择，故二次函数有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝3×3×2＝18(个)．三、解答题12．由A，B，C等7人担当班级的7个班委．(1)若正、副班长两职只能由这三人中选两人担当，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选三人中的1人担当，有多少种分工方案？解：(1)先支配正、副班长有Aeq\o\al(2,3)种方法，再支配其余职务有Aeq\o\al(5,5)种方法，依分步乘法计数原理，共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(5,5)＝720种分工方案．(2)7人的随意分工方案有Aeq\o\al(7,7)种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)种，因此A，B，C三人中至少有1人任正、副班长的方案有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝3600种．13．某校为庆祝2024年国庆节，支配了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求支配节目单，有多少种方法？(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．解：(1)先支配4个小品节目，有Aeq\o\al(4,4)种排法.4个小品节目之间和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，有Aeq\o\al(3,5)种排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)排法．(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1,3,5,7位，舞蹈只能排在2,4,6位，支配时可分步进行．方法1：先支配4个小品节目在1,3,5,7位，有Aeq\o\al(4,4)种排法；再支配舞蹈节目在2,4,6位，有Aeq\o\al(3,3)种排法．所以共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝144(种)排法．方法2：先支配3个舞蹈节目在2,4,6位，有Aeq\o\al(3,3)种排法；再支配4个小品节目在1,3,5,7位，有Aeq\o\al(4,4)种排法．所以共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(种)排法．——实力提升类——14．在由数字1,2,3,4,5组成的没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有58个．解析：首位为3时，有Aeq\o\al(4,4)＝24；首位为2时，千位为3，则有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5，千位为4或5时，Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12；首位为4时，千位为1或2，则Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12，千位为3，则有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5，∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58个．15．7名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必需在前排，乙必需在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必需相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？解：(1)Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝Aeq\o\al(7,7)＝5040(种)．(2)第一步支配甲，有Aeq\o\al(1,3)种排法；其次步支配乙，有Aeq\o\al(1,4)种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有Aeq\o\al(5,5)种排法．由分步乘法计算原理得，符合要求的排法共有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)＝1440(种)．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，与其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有Aeq\o\al(5,5)种排法；其次步，甲、乙、丙三人内部全排列，有Ae