2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE2．3.2离散型随机变量的方差[目标]1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简洁离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.驾驭方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点]离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点]离散型随机变量的方差的计算与应用．学问点一离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)方差D(X)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)xi－EX2·pi).(2)标准差为eq\r(Dx).2．方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X)．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D(X)越小，稳定性越高，波动越小．明显eq\r(DX)≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？提示：设x1、x2、…、xn为样本的n个数据，eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋…＋xn,n)，则该样本数据的方差s2＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2·eq\f(1,n)，由于eq\x\to(x)相当于离散型随机变量中的E(X)，而eq\f(1,n)相当于每个数据出现的频率(概率)pi，故离散型随机变量X的方差可定义为：D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2·pi(i＝1,2，…，n)．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的改变而改变；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而改变的．对于简洁随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．学问点二两个常见分布的方差[填一填]1．若X听从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X的方差、标准差的理解(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D(X)越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．2．剖析方差的性质当a，b均为常数时，随机变量η＝aξ＋b的方差D(η)＝D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特殊地：(1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0.(2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一离散型随机变量的方差及性质【例1】已知η的分布列如下：η010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．【分析】(1)首先求出均值E(η)，然后利用D(η)的定义求方差；(2)由于E(η)是一个常数，所以D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)．【解】(1)∵E(η)＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f(2,5)＋20×eq\f(1,15)＋50×eq\f(2,15)＋60×eq\f(1,15)＝16，∴D(η)＝(0－16)2×eq\f(1,3)＋(10－16)2×eq\f(2,5)＋(20－16)2×eq\f(1,15)＋(50－16)2×eq\f(2,15)＋(60－16)2×eq\f(1,15)＝384，∴eq\r(Dη)＝8eq\r(6).(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D[2η－E(η)]＝22D(η)＝4×384＝1536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清晰随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X的方差的性质：当a，b为常数时，随机变量Y＝aX＋b，则D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参与市中学生运动会志愿者．(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差．(2)在男生甲被选中的状况下，求女生乙也被选中的概率．解：(1)ξ的可能取值为0,1,2.由题意P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(1,5)＝1，D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).(2)设在男生甲被选中的状况下，女生乙也被选中的事务为C，男生甲被选中的种数为Ceq\o\al(2,5)＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为Ceq\o\al(1,4)＝4，所以P(C)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，在男生甲被选中的状况下，女生乙也被选中的概率为eq\f(2,5).类型二二项分布的方差【例2】已知某运动员投篮命中率p＝0.6.(1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】解本题的关键是正确地推断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】(1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ01P0.40.6则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η听从二项分布，即η～B(5,0.6)．由二项分布的数学期望与方差的公式得：E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，推断随机变量X听从什么分布两点分布还是二项分布.其次步，代入相应的公式，X听从两点分布时，DX＝p1－p；X听从二项分布，即X～Bn，p时，DX＝np1－p.甲、乙竞赛时，甲每局赢的概率是p＝0.51，乙每局赢的概率是p＝0.49.甲乙一共进行了10次竞赛，当各次竞赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X表示10局中甲赢的次数，则X听从二项分布B(10,0.51)．E(X)＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y表示10局中乙赢的次数，则Y听从二项分布B(10,0.49)．E(Y)＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D(X)＝10×0.51×0.49＝2.499，D(Y)＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三离散型随机变量方差的应用【例3】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，假如当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列，数学期望及方差．②若花店安排一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80.当n≤15时，y＝5n－5(16－n)＝10n－80.得：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80n≤15，,80n≥16))(n∈N)．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X607080P0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成果好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成果的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上面数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)<D(X乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成果较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求abc.【思路分析】第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的全部状况，然后分类探讨，依据状况算出相应的概率、写出分布列；其次问类似地写出分布列，依据期望、方差的公式建立方程求解．【解】(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6.故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(2×3×2,6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4)＝eq\f(2×3×1＋2×2,6×6)＝eq\f(5,18)，P(ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝6)＝eq\f(1×1,6×6)＝eq\f(1,36).所以ξ的分布列为ξ23456Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(5,18)eq\f(1,9)eq\f(1,36)(2)由题意知η的分布列为η123peq\f(a,a＋b＋c)eq\f(b,a＋b＋c)eq\f(c,a＋b＋c)所以E(η)＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(2b,a＋b＋c)＋eq\f(3c,a＋b＋c)＝eq\f(5,3)，D(η)＝(1－eq\f(5,3))2·eq\f(a,a＋b＋c)＋(2－eq\f(5,3))2·eq\f(b,a＋b＋c)＋(3－eq\f(5,3))2·eq\f(c,a＋b＋c)＝eq\f(5,9).化简得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0，,a＋4b－11c＝0，))解得a＝3c，b＝2c，故abc＝321.【解后反思】离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事务、相互独立事务、两点分布、二项分布等学问为载体，综合考查事务发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要精确无误地找出随机变量的全部可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事务A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．(1)求方差D(ξ)的最大值；(2)求eq\f(2Dξ－1,Eξ)的最大值．解：随机变量ξ的全部可能取值为0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，从而E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2.(1)D(ξ)＝p－p2＝－(p2－p＋eq\f(1,4))＋eq\f(1,4)＝－(p－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，∵0<p<1，∴当p＝eq\f(1,2)时，D(ξ)取得最大值，最大值为eq\f(1,4).(2)eq\f(2Dξ－1,Eξ)＝eq\f(2p－p2－1,p)＝2－(2p＋eq\f(1,p))，∵0<p<1，∴2p＋eq\f(1,p)≥2eq\r(2).当2p＝eq\f(1,p)，p＝eq\f(\r(2),2)时，取“＝”，因此，当p＝eq\f(\r(2),2)时，eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r(2).

1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(