2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1.3第1课时函数的奇偶性1课时作业含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE4课时作业25函数的奇偶性(1)时间：45分钟分值：100分eq\a\vs4\al(一、选择题每小题6分，共计36分)1．下列说法中，不正确的是(B)A．图像关于原点成中心对称的函数肯定是奇函数B．奇函数的图像肯定经过原点C．偶函数的图像若不经过原点，则它与x轴交点的个数肯定是偶数D．图像关于y轴成轴对称的函数肯定是偶函数解析：由奇、偶函数图像的性质可知，A、C、D正确．而对于B，若奇函数在x＝0处无定义，则其图像不过原点，故B不正确．选B.2．下列函数中，既是奇函数又是偶函数的为(D)A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x) D．y＝0(x∈R)解析：选项A不是偶函数也不是奇函数，选项A不正确；选项B、C不是偶函数．故选D.3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)等于(A)A．－2 B．0C．1 D．2解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.4．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的全部实根之和是(A)A．0 B．1C．2 D．4解析：由于偶函数的图像关于y轴对称，所以偶函数的图像与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.5．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是(D)A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(－x)·f(x)≤0D.eq\f(fx,f－x)＝－1解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故A，B，C正确．当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．6．设函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且有f(－3)＝0，则xf(x)<0的解集是(D)A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}解析：依据已知条件，可画出f(x)的大致图像，如图，从图中可得xf(x)<0的解集为{x|－3<x<0或0<x<3}．故选D.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题8分，共计24分)7．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于－26.解析：∵f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，令g(x)＝f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．∵f(－2)＝10，∴g(－2)＝10＋8＝18，∴g(2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.8．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x<0时，f(x)＝－eq\r(－x)－1.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(eq\r(－x)＋1)，即x<0时，f(x)＝－(eq\r(－x)＋1)＝－eq\r(－x)－1.9．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是①③.①f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)；②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)；③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)．解析：由已知得g(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，依据偶函数的定义知g(x)在区间(－∞，0]上为减函数，则f(b)>f(－a)，g(a)>g(b)＝g(－b)，所以f(b)＋g(a)>f(－a)＋g(－b)，即f(b)－f(－a)>g(－b)－g(a)．因为a>0>－b，则f(a)>f(－b)，又g(－b)<g(－a)，所以f(a)＋g(－a)>f(－b)＋g(－b)，即f(a)－f(－b)>g(－b)－g(－a)＝g(b)－g(－a)．三、解答题共计40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤10．(10分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．解：由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)，))解得－1≤m<eq\f(1,2).因此实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).11．(15分)定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图像如图所示．(1)补全f(x)的图像；(2)解不等式xf(x)>0.解：(1)描出点(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，则可得f(x)的图像如图所示．(2)结合函数f(x)的图像，可知不等式xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．12．(15分)定义在R上的函数f(x)，对随意的实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0.又f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)为奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求函数f(x)在[－3,3]上的值域．解：(1)证明：定义在R上的函数f(x)，对随意的实数x，y，恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0，则f(0)＝0，令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)证明：令x＋y＝x1，y＝x2且x1>x2，x＝x1－x2>0，当x