数学-天津市塘沽一中2025届高三上学期第二次月考试题和答案

第1页/共5页塘沽一中2025届高三毕业班第二次月考1.设集合A={-1,0,1,2,3}，B={xx2-3x＜0}，则A∩B=()2.“a3+a9=2a6”是“数列{an}为等差数列”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.有一散点图如图所示，在5个数据(x,y)中去掉D(3，10)后，下列说法正确的是()A.相关系数r变小C.变量x，y负相关B.残差平方和变小D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱第2页/共5页4.已知直线a，b，平面α,β,Y，下列命题正确的是()A.若α∩β=a，b//a，则b//αC.若α丄β,α∩β=a，b//αD.若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，则a//b//c6.函数f的图象大致为()A.B.C.D.7.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四个结论：①最大值为·;②把函数2sin2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数第3页/共5页f(x)=2(sinx-cosx)cosx的图象；③单调递增区间为，k∈Z；④图象的对称中心为，k∈Z.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为()9.已知双曲线的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线C分别在第一、二象限交于A,B两点，△ABF2内切圆的半径为r，若|B|=2a，r=则双曲线C的离心率10.已知i是虚数单位，化简的结果为.11.在的展开式中，x3的系数为.12.盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回之后乙再从盒子中取1个球.第4页/共5页（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为2）设事件M为“甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发生的条件下，求事件N发生的概率14.已知圆C:x2+y2=8，MN为圆C的动弦，且满足MN=4，G为弦MN的中点，两动点P,Q在直线l:y=x-4上，且PQ=4，MN运动时，-.->0恒成立，则线段PQ中点的横坐标取值范围是.________15.已知函数1-2,x>1，若函数g(x)=f(x)-kx+2有三个零点，则实数k的取值范围是.（1）求sinA的值；（i）求a的值；（ii）求sin(2A+C)的值.17.如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF丄平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF的中点.（1）求证：BF//平面APC；第5页/共5页（2）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值；（3）求点F到平面ACP的距离. 18.已知椭圆的离心率为，（1）若原点到直线x+y-b=0的距离为·,求椭圆的方程；（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45o的直线l和椭圆交于A、B两点，①当AB=时，求b的值；②对于椭圆上任一点求实数λ、μ满足的关系式.19.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有S2n=kSn（k为非零常数则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比.若{bn}是首项为1，公差不为0的等差数列，且{bn}是“和等比数列”，令,数列的前n项和为Tn.（1）求{bn}的和公比；（2）求Tn；（3）若不等式nm-2对任意的n∈N*恒成立，求m的取值范围.20.已知函数f(x)=x2lnx.（1）求函数f(x)的极值；（2）证明：对任意的x∈(0,+∞)，有f(x)≥x-1；（3）若x1,x2∈(0,1)，证明：f(x1)-f(x2)≤x1-x2.第1页/共20页塘沽一中2025届高三毕业班第二次月考1.设集合A={-1,0,1,2,3}，B={xx2-3x＜0}，则A∩B=()【答案】B【解析】【分析】求出集合B后可求A∩B故选：B.2.“a3+a9=2a6”是“数列{an}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.第2页/共20页【详解】如果数列{an}是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有a3+a9=2a6，6成立，不一定有数列{an}是等差数列，故选：B.3.有一散点图如图所示，在5个数据(x,y)中去掉D(3，10)后，下列说法正确的是()A.相关系数r变小B.残差平方和变小C.变量x，y负相关D.解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】B【解析】【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A,去掉D(3，10)后，相关性变强，相关系数r变大，对于B,残差平方和变小，故B正确，对于C，散点的分布是从左下到右上，故变量x，y正相关，故C错误，对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，故D错误，故选：B4.已知直线a，b，平面α,β,Y，下列命题正确的是()A.若α∩β=a，b//a，则b//αC.若α丄β,α∩β=a，b//αD.若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，则a//b//c【答案】B【解析】【分析】A，b与α平行或bCα;B，由线面垂直的判定定理可得；C，a,b平行或异面；D，a,b,c三条第3页/共20页直线或相交或平行.【详解】对A，若α∩β=a，b//a，则b与α平行或bCα,故A错误；对B，若α丄Y，β丄Y，α∩β=a，则由线面垂直的判定定理可得a丄Y，故B正确；对C，若α丄β,α∩β=a，b//α,则a,b平行或异面，故C错误；对D，若α∩β=a，α∩Y=b，β∩Y=c，则a,b,c三条直线或相交或平行，故D错误.故选：B.【答案】D【解析】【分析】结合对数、指数函数的单调性和对数运算即可.0故选：D.6.函数f的图象大致为()A.第4页/共20页B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简得,x∈R，由此可得f(x)为奇函数，故排除C，D；再判断函数在时的正负情况即可得答案.由f,x∈R，易知f为奇函数，故排除C，D；当时，f(x)>0，故只有A满足，排除B.故选：A.7.关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的四个结论：①最大值为·;②把函数2sin2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx的图象；③单调递增区间为，k∈Z；④图象的对称中心为，k∈Z.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】第5页/共20页【分析】把f(x)化为Asin(①x+φ)+b的形式，然后根据三角函数的性质逐个判断即可.【详解】因为f(x)=2(sinxcosx)cosx=sin2x(1+cos2x)=·i2sin(2x)1.对于①,f(x)最大值为·i21，故①错误；对于②,把函数2sin2x1的图象向右平移个单位后可得到函数为，k∈Z，故④正确，所以正确的有2个.故选：B.8.如图甲是一水晶饰品，其对应的几何体叫星形八面体，也叫八角星体，是一种二复合四面体，它是由两个有共同中心的正四面体交叉组合而成且所有面都是全等的小正三角形，如图乙所示．若一星形八面体中两个正四面体的棱长均为2，则该星形八面体体积为()【答案】A【解析】【分析】根据已知条件及正四面体的体积公式即可求解.【详解】由题意可知星行八面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个棱长为1的小正四面体的体积之和，.故选：A.229.已知双曲线的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与双曲线C分别在第第6页/共20页一、二象限交于A,B两点，△ABF2内切圆的半径为r，若|B|=2a，r=则双曲线C的离心率A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线定义结合已知得AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,上F1AF2=，进一步由余弦定理列方程，结合离心率公式即可求解.【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以AP=AR,BP=BQ,F2Q=F2R，:点A在双曲线上，:AF1-AF2=2a，又:BF1=2a,:AB=AF2，:BP=F2R，:BQ=QF2，:点B在双曲线上，:lBF2l=4a，设内切圆圆心为I，连接IQ,IF2，如图所示，:上QF2I=，第7页/共20页π2,:△ABF2为等边三角形，:AF=6aAF=4aπ2,在△AF1F2由余弦定理得：F1F22=AF12+AF22-2AF1AF2cos上F1AF2，即：4c2=36a2+16a2-24a2=28a2，故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是得到AF1=6a,AF2=4a,F1F2=2c,上F1AF2=，由此即可顺利得解.10.已知i是虚数单位，化简的结果为.【解析】【分析】由复数的除法运算计算.11.在的展开式中，x3的系数为.【答案】6【解析】【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解.的二项展开式为Tr+1=Cx4-rrx4-故答案为：6.第8页/共20页12.盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为2）设事件M为“甲所取的2个球为同色球”，N事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件M发生的条件下，求事件N发生的概率P(NM)=.【答案】①.；②..【解析】【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；（2）利用条件概公式求解即可.【详解】解1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”所以故答案为【答案】①.②.-【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得正方形各顶点坐标，利用向量的坐标运算求得，可得λD--=(λ,-λ),0≤λ≤1，表示出M(λ,1-λ)，【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，第9页/共20页∵P是对角线AC上一点，且，可得P因为点M为线段BD（含端点）上的动点，则设D--=λD--=(λ,-λ),0≤λ≤1,故M(λ,1-λ)，-λ,λ-1)，故MP.MB=(5故MP.MB=(5-λ,λ-5).(1-λ,λ-1)=2λ2-3λ+1=2(λ-4)2-8，由于0≤λ≤1，所以λ=取到最小值-，-，故答案为：-；-14.已知圆C:x2+y2=8，MN为圆C的动弦，且满足MN=4，G为弦MN的中点，两动点P,Q在直线l:y=x-4上，且PQ=4，MN运动时，-.->0恒成立，则线段PQ中点的横坐标取值范围是.________【答案】(-∞,0)U(4,+∞)【解析】【分析】由题得出OG=2，设PQ的中点E(a,a-4)，由-.->0恒成立，可得以O为圆心，2为半径的圆与E外离，列出不等式求解即可.【详解】由题意，圆C:x2+y2=8的圆心为C(0,0)，半径r=2，第10页/共20页所以点G在以O为圆心，2为半径的圆上，又由两动点P,Q在直线l:y=x-4上，且PQ=4，设PQ的中点E(a,a-4)，则P,Q在以E(a,a-4)为圆心，半径为2的圆上，所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是(-∞,0)U(4,+∞)，故答案为：(-∞,0)U(4,+∞).15.已知函数1-2,x>1，若函数g(x)=f(x)-kx+2有三个零点，则实数k的取值范围是.【解析】【分析】数形结合，分析y=f(x)与y=kx+2的交点个数为3时实数k的取值范围即可.【详解】由题意，函数g(x)=f(x)-kx+2有三个零点即f(x)-kx+2=0有三个解，即y=f(x)与y=kx+2的交点个数为3.第11页/共20页作出y=f(x)与y=kx+2的图象，易得当k≤0时不成立，故k>0.当x<-2时y=f(x)与y=kx+2必有一个交点，则当x>-2有2个交点.当x>-2时，因为y=kx+2=k(x+2)恒过定点(-2,0)，此时y=k(x+2)(k>0)与y=ex+1,x≤1或y=-x2+3x-2,x>1有2个交点.①当y=k(x+2)(k>0)与y=ex+1,x≤1有2个交点时，考虑临界条件，当y=k(x+2)(k>0)与y=ex+1,x≤1相切时，y’=ex+1.设切点，则=ex0+1，解得x0=-1，此时切点(-1,1)，k=1；故1<k≤e23②当y=k(x+2)(k>0)与y=-x2+3x-2,x>1有2个交点时，考虑临界条件，当y=k(x+2)(k>0)与y=-x2+3x-2,x>1相切时，k(x+2)=-x2+3x-2，即x2+(k-3)x+2k+2=0，此时=0，即k2-14k+1=0，解得k=7±4由图可得k<1，故k=7-4此时第12页/共20页综上故答案为16.已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4a=c，cosC=（1）求sinA的值；（2）若b=11，（i）求a的值；（ii）求sin(2A+C)的值. 【解析】【分析】（1）利用同角基本关系式与正弦定理的边角变换即可得解；（2i）利用余弦定理运算即可得解；(ⅱ)根据三角恒等变换运算即可得解.【小问1详解】因为4a=c，由正弦定理得4sinA=sinC，【小问2详解】由余弦定理得cosC=即a2+6a-55=0，解得a=5或a=-11（舍去第13页/共20页17.如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF丄平面ABCD，EF//AB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P为棱DF的中点.（1）求证：BF//平面APC；（2）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值；（3）求点F到平面ACP的距离.【答案】（1）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果.（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面BCF与平面APC的法向量，利用空间向量法即可求出结果.（3）由（2）中信息，利用空间向量求出点到平面的距离.【小问1详解】连接BD，交AC于点O，由P，O分别为DF和DB的中点，得BF//PO，而POC平面APC，BF丈平面APC，所以BF//平面APC.第14页/共20页【小问2详解】由直线AF丄平面ABCD，AB,AD平面ABCD，得AF丄AB,AF丄AD，由矩形ABCD，得AD丄AB，以A为原点，直线AB,AD,AF分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1),P(0,1,)，所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为|cos【小问3详解】––所以点F到平面ACP的距离. 18.已知椭圆的离心率为，（2）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45o的直线l和椭圆交于A、B两点，第15页/共20页λ、μ满足的关系式.【解析】【分析】（1）由条件列式解得a2、b2、c2后求解，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出b；②由向量的坐标运算得M坐标后代入椭圆方程求解.【小问1详解】22【小问2详解】故椭圆的方程可化为x2+3y2=3b24(32b)23b24(32b)2所以AB所以(x2:b=1.可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM，有且只有一对实数λ,μ,使得等OM=λ第16页/共20页设M(x,y)，:(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)，:x=λx1+μx2，y=λy1+μy2，2222x222222点M在椭圆上，所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，所以λ2x+2λμx1x2+μ2x+3(λ2y+2λμy1y2+μ2y)=3b2，即λ2x+μ2x+3λ2y+3μ2y=3b2，2，【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为(x1,y1、x2,y2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ;（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；（5）代入韦达定理求解.19.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，都有S2n=kSn（k为非零常数则称数列{an}为“和等比数列”，其中k为和公比.若{bn}是首项为1，公差不为0的等差数列，且{bn}是“和等比数列”，令,数列的前n项和为Tn.（1）求{bn}的和公比；（2）求Tn；（3）若不等式nm一2对任意的n∈N*恒成第17页/共20页n1【解析】【分析】（1）设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，由{bn}是“和等比数列”，所以A2n=kAn，化简可得k的值；（2）由（1）可知cn=2一1，由一>0，再分n为奇数和偶数两种情况求解可得m的取值范围.【小问1详解】设等差数列{bn}的公差为d，前n项和为An，因为{bn}是“和等比数列”，所以，解得所以{bn}的和公比为4.【小问2详解】，22.【小问3详解】第18页/共20页n+1n922n+1922n-14n.n+1n922n+1