（新教材适用）2023-2024学年高中数学第5章计数原理习题组合的综合应用课后训练北师大版选择性

习题课——组合的综合应用A组1.某学习小组有4名男生和4名女生,一次问卷调查活动需要选3名同学参加,若至少选一名女生,则不同的选法种数为().A.120 B.84 C.52 D.482.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有().A.16种 B.36种 C.42种 D.60种3.已知有男运动员6名、女运动员4名,其中男、女队长各1人,现选派5人参加比赛,则至少选1名队长的选派方法有().A.252种 B.196种 C.240种 D.56种4.某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会划右舷.现要选派划左舷的3人、划右舷的3人,共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有().A.56种 B.68种 C.74种 D.92种5.某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派1名教师,则不同的分派方法有().A.80种 B.90种 C.120种 D.150种6.在平面直角坐标系xOy中,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有个.

7.将标号为1,2,…,10的10个球放入标号为1,2,…,10的10个盒子内.每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有种.(以数字作答)

8.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)

9.从1到7的7个数字中取2个偶数和3个奇数组成没有重复数字的五位数.问:(1)能组成多少个不同的五位偶数?(2)2个偶数排在一起的有多少个?(3)2个偶数不相邻且3个奇数也不相邻的五位数有多少个?(所有结果均用数值表示)10.按照下列要求,分别求有多少种不同的放法.(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子;(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子中至少有一个小球;(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子中至少有一个小球.B组1.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是().A.120 B.72 C.60 D.362.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案有().A.60种 B.20种 C.10种 D.8种3.某科技小组有6名学生,其中男生人数占一半或一半以上,现从中选出3名去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为().A.2 B.3 C.4 D.54.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有().A.4种 B.10种 C.18种 D.20种5.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路图(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有条.

(第5题)6.如图,在四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)

(第6题)7.10双互不相同的鞋子混装在一只布袋中,从中任意取出4只,试求若出现下列结果各有多少种取法:(1)4只鞋子没有成双的;(2)4只鞋子恰有两双;(3)4只鞋子有2只成双,另2只不成双.8.某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书,有5名学生想阅读这6本书,在同一时间内他们到这个书架上取书.(1)求每名学生只取1本书的不同取法种数;(2)求每名学生最少取1本书,最多取2本书的不同取法种数;(3)求恰有1名学生没取到书的不同取法种数.

参考答案习题课——组合的综合应用A组1.C用间接法,共有C83-C2.D若3个不同的项目投资到4个城市中的3个,则每个城市一个项目,有A43种方案;若3个不同的项目投资到4个城市中的2个,则一个城市1个项目、一个城市2个项目,有C32A42种方案.由分类加法计数原理3.B(方法一:直接法)选1名队长,有C21C84种选法;选2名队长,有C22C(方法二:间接法)至少选1名队长,共有C105-C4.D根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C63种,有1个“多面手”的选派方法有C21C32C53种,有2个“多面手”的选派方法有5.D有两类情况:第1类,其中一所学校3名教师,另两所学校各1名教师的分派方法有C53C21C11A22·A33=60种;第2类,其中一所学校6.225在垂直于x轴的6条直线中任取2条,在垂直于y轴的6条直线中任取2条,4条直线相交得出一个矩形,所以矩形总数为C62C62=7.240从10个球中任取3个,有C103种取法.取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的放法有2种.因此,共有2C1038.324分为2类:第1类,个位、十位和百位上各有一个偶数,有C31A3第2类,个位、十位和百位上共有两个奇数、一个偶数,有C32A33C41+C319.解(1)分4步完成:第1步,在3个偶数中取2个,有C32第2步,在4个奇数中取3个,有C43第3步,个位排偶数,其他四个数全排列,有A21所以符合题意的五位偶数共有C32C4(2)在组成的没有重复数字的五位数中,2个偶数排在一起的共有C32C4(3)2个偶数不相邻且3个奇数也不相邻的五位数共有C32C410.解(1)每个小球都有4种放法,根据分步乘法计数原理,共有46=4096种不同放法.(2)分2类:第1类,6个小球分为3,1,1,1个放入盒中;第2类,6个小球分为2,2,1,1个放入盒中,共有C63A4(3)(方法一)按3,1,1,1放入有C41种方法,按2,2,1,1放入有C42种方法,共有C(方法二:挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板,将6个球分成四份,共有C53=10B组1.C将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,有A44=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,其他4个球放入另外三个盒中,有C42A33=36种放法.故不同的放法共有2.C四盏熄灭的灯产生的5个间隔中插入三盏亮灯,即C53=3.A设男生有x人,则女生有(6x)人.依题意得C63即Cx3=4,又3≤x≤5,x∈N解得x=4,故女生有2人.4.B分两种情况:①选2本画册、2本集邮册送给4位朋友有C42=6种方法;②选1本画册、3本集邮册送给4位朋友有C41=4种方法,所以不同的赠送方法共有6+4=10种5.126从西南角A地到东北角B地的最短路线即只向右、向上走,共需9步,分析可得,最短路线的9步中,必须是5次向右、4次向上,原问题可转化为从9步中任取5次向右,剩下4次向上,有C95=126种走法,故从A地到B地的最短路线共有1266.56满足要求的点的取法可分为三类:第1类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第2类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第3类,过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也分别共面,有因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C7.解(1)从10双鞋子中选取4双,有C104种不同选法,每双鞋子中各取一只,分别有2种取法,根据分步乘法计数原理,共有N=C104×24(2)从10双鞋子中选取2双有C102种取法,即有45(3)先选取一双有C101种选法,再从9双鞋中选取2双有C92种选法,每双鞋只取一只各有2种取法,根据分步乘法计数原理,共有N=C1018.解(1)每名学生只取1本书的不同取法有A65=720(2)每名学生最少取1本书,最多取2本书分为2类:第1类,每名学生只取1本书,取法为A65第2类,一名学生取2本书,其余学生每人取1本书.先确定取2本书的学生有C51种方法,这名学生取哪2本书有C62种方法,其余4名学生取剩下的4本书且每人一本