抛物线及其标准方程高二上学期数学人教A版选择性

第三圆锥曲线的方程章3.3.1抛物线及其标准方程1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.学习目标准备好了吗？一起去探索吧！导入如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k,当0<k<1时，点M的轨迹为椭圆;当k>1时，点M的轨迹为双曲线，导入抛物线

那么，当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线

l

的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状?今天我们就来学习一下抛物线问题1利用信息技术作图，如图所示，F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，点M随之运动，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？提示点M随着点H运动的过程中，始终有|MF|＝|MH|，即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似..想一想

结合章引言中平面截圆锥的问题，我们想它是抛物线,所以动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，动点M的轨迹是抛物线.

当直线l经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线是什么位置关系?.想一想

当直线l经过点F时，动点M到定点F的距离M就是动点M到定直线l的距离1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的

的点的轨迹叫做抛物线.2.焦点：定点

.3.准线：定直线

.注意点：(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.距离相等Fl知识点一抛物线的定义思考抛物线的定义中，为什么要加条件l不经过点F?答案若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.问题2比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？

提示第三个和第四个.思考1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题

总结总结

2.与抛物线定义有关的常用结论.探究二抛物线的标准方程

.设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M|IMFI=d}...归纳图形标准方程焦点坐标准线方程_________________________________________________________________y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)知识点二抛物线的标准方程

_________________________________

_____________________________x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0).例题练习1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(－3，－1)；解因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.解对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；此时抛物线的标准方程为y2＝16x.故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.(3)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____，准线方程为________.2x＝－1解析因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，练习

A

C

D

BD5.（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4D

B7.多选题（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，