2024-2025学年重庆市万州区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市万州区高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．不存在2．已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（

）A． B． C． D．4．在平行六面体中，，，，，则（

）A． B． C． D．5．已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是椭圆的左、右焦点，是左、右顶点，为上异于的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率 B．的最小值为C．的周长为 D．的面积的最大值为10．已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（

）A．的方程为B．面积的最大值为C．最大时，D．设，则的最小值为11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线：，则直线恒过定点.13．在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为.14．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知、、、四点.(1)求经过、、三点的圆的方程；(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程.16．如图，已知平面，底面为正方形，，、分别为、的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.17．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.(1)求抛物线的方程；(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程.18．如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段上的动点（包含端点）.

+(1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；(2)是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由.19．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.(1)求椭圆的方程；(2)已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.①证明：直线过定点；②设的面积为，求的最大值.

答案1．【正确答案】B【详解】因为直线的方程为，故轴，所以，直线的倾斜角为.故选：B.2．【正确答案】A【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为，由题意可得，解得，故双曲线的渐近线方程为.故选：A.3．【正确答案】B【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，因为平面，则，所以，，解得.故选：B.4．【正确答案】C【详解】如下图所示：

由题意可得，，由空间向量数量积的定义可得，，同理可得，由空间向量的平行六面体法则可得，所以，，即.故选：C.5．【正确答案】D【详解】设点Ax1,因为点M1,1为线段的中点，则，，若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，由题意可得，将这两个等式作差可得，即，所以，直线的斜率为.故选：D.6．【正确答案】C【详解】过在平面内作，垂足为点，因为侧面是正三角形，所以是的中点，又因为平面底面，平面平面，平面，所以底面，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则、、、，则，，所以，，故选：C.7．【正确答案】B【详解】设点，则，，因为，则，所以，，化简可得，故点的轨迹方程为，由题意可知，圆与圆有公共点，两圆圆心距为，所以，，即，因为，解得，即实数的取值范围是.故选：B.8．【正确答案】D【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：，设过点与渐近线垂直的方程为，由，得，由，得，因为，所以，则，所以，化简得，即，解得（舍去）或，则.故选：D9．【正确答案】AC【详解】

对于A，由题意可得，所以，故A正确；对于B，的最小值为椭圆的通径长，故B错误；对于C，由椭圆的定义可得的周长为，故C正确；对于D，因为，当三角形的高最大时面积最大，即点为短轴端点时面积最大，所以的面积的最大值为，故D错误；故选：AC.10．【正确答案】BCD【详解】对于A选项，设Mx,y，由题，即，整理得，A错；对于B选项，以为底，且到的最大距离为半径，所以面积的最大值是，B对；对于C选项，当最大时，此时，直线与圆相切，取点，则，且，由勾股定理可得，C对；对于D选项，由题意可得，则，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，

所以，的最小值为，D对.故选：BCD.11．【正确答案】ABD【详解】平面，四边形是正方形，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由，得A0,0,0、、、、、、、，对于A，假设存在点，使得，则，又，则，解得：，即点与重合时，，A对；对于B，假设存在点，使得，因为，，因为，则存在，使得，即，所以，，解得，故当点为线段的中点时，，B对；对于C选项，连接、、，设，因为，当，即点与点重合时，取得最大值，又点到平面的距离，所以，，C错；对于D，由上分析知，，，若是面的法向量，则，令，则，设直线与平面所成的角为，因为函数在0,2上单调递减，则当点自向处运动时，即逐渐增大时，直线与平面所成的角逐渐增大，D对.故选：ABD12．【正确答案】【详解】由题意可得，令，解得，所以直线恒过定点，故13．【正确答案】【详解】方法1：由正方体棱长为2，则，又为的中点，则.点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，取中点为F，连接EF，则EF为边上的高，则；方法2：如图建立空间直角坐标系，则，，.则在上的投影向量为.则到直线的距离.故答案为.14．【正确答案】【详解】根据椭圆定义得，所以，，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，因为的最大值为，且，则，解得，则.设切椭圆于点，由椭圆的光学性质可得、、三点共线，，则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以，到直线的距离为，由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即.故；.15．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的标准方程为，因为、、三点都在圆上，则，解得，因此，圆的方程为.（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为,①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，，解得此时，直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，，，设平面的法向量为，则，令，得，则，故平面.（2）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．17．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）抛物线的准线方程为，因为点在抛物线上，且，由抛物线的定义可得，解得，因此，抛物线的方程为.（2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，故可设直线的方程为，设点Mx1,y1由，整理得，则，由韦达定理可得，，因为，，所以，即，即，即，解得，因此，直线的方程为，即.18．【正确答案】(1)点在的延长线上，且，证明见解析(2)存在，线段为【详解】（1）直线平面，点在平面内，也在平面内，点在平面与平面的交线上，延长交于点，连接，如图所示，

，为的中点，与全等，，点在的延长线上，且，连接交于点，连接，四边形为矩形，是的中点，为的中位线，，又平面，平面，直线平面.（2）如图，由已知可得，，又，平面，平面，又平面，平面⊥平面，，为等边三角形，取的中点，连接，则，平面平面，平面平面，平面，平面，过点作直线，以为坐标原点，以，，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，则，设（），则，设平面的法向量为，则，即，取，则，，平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，要使二面角的大小为，则，解得，