2024-2025学年天津市河东区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年天津市河东区高二上学期12月月考数学检测试题一、单选题（本大题共9小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知直线与平行，则的值是（

）A． B． C． D．或3．在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（

）A． B．C． D．4．已知为等比数列{}的前项和，则（

）A． B． C． D．5．直线与椭圆交于A、B两点，点为A、B的中点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．6．已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（

）A．12 B． C． D．67．若为等差数列，为的前项和，，，则当（

）时

取最大值.A． B． C． D．8．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．49．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、填空题（本大题共9小题）10．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为.11．已知圆圆的公共弦长为.12．若是公比不为的等比数列，为的前项和，且、、成等差数列，则数列的公比为13．直线l过点且被圆C：截得的弦长最短，则直线l的方程为.14．等差数列{}与{}的前项和分别为、，且则15．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为.16．已知数列满足，则数列的前n项和17．直线与曲线有两个不同交点，则的取值范围.18．在数列中，，且，则三、解答题（本大题共4小题）19．已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求直线的方程.20．如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且.(1)求证：平面DEC；(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；(3)求点D到平面BEF的距离.21．已知数列，，，为数列的前项和，且.(1)令.（i）求证:数列为等差数列，并求数列的通项公式；（ii）求数列的前项和；(2)设数列的前项和，对，恒成立，求实数的取值范围.22．若椭圆的右焦点为，且椭圆过点，焦距是短半轴长的倍.(1)求椭圆的标准方程；(2)若一条不过原点的直线与椭圆相交于、两点，线段的垂直平分线与直线及轴和轴分别交于点、、，点满足，线段的延长线与椭圆交于点，与的面积之比为，求直线斜率的取值范围.

答案1．【正确答案】C【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角．【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：C．2．【正确答案】B【详解】因为直线与平行，则，解得，故选：B.3．【正确答案】D【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可.【详解】连接，因为是线段的中点，所以因为，所以所以故选D.4．【正确答案】D【详解】若公比，则这与矛盾，故公比不为1，由可得，故，又，故，故选：D5．【正确答案】A【详解】设，，点是线段的中点，则，，A、B两点代入椭圆方程作差，得，所以，由题意知，直线的斜率存在，所以，得.故选：A.6．【正确答案】D【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值.【详解】因为，，所以，又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，所以圆上点到直线的最大距离为，所以的面积的最大值为，故选：D.7．【正确答案】B【详解】因为若为等差数列，为的前项和，则，因为，则，故，设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列，故当时，，当时，，所以，当时，取最大值.故选：B.8．【正确答案】A【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点，由于，则，故,进而，故.故选：A

9．【正确答案】B【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设Fc,0，则,则，直线的方程为，即，点到直线的距离为，设椭圆的左焦点为，连接，则，在中，，在中，由余弦定理可得,所以，，解得，因此，椭圆的离心率为.故选：B.10．【正确答案】或【详解】若直线过原点，设直线方程为，将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为；若直线不过原点，设所求直线方程为，即，将点的坐标代入直线方程可得，此时，直线方程为，即.综上所述，所求直线方程为或.故或.11．【正确答案】【详解】圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，圆心为，半径为，两圆圆心距为，所以，，所以，两圆相交，将两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为，圆心到直线的距离为，故两圆公共弦长为.故答案为.12．【正确答案】【详解】设等比数列的公比为，则，为的前项和，因为、、成等差数列，则，即，即，所以，，因为，解得.故答案为.13．【正确答案】【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆的方程知圆心，半径为，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦，由圆心与的连线斜率为，所以直线l的斜率为1，直线l的方程为即.故答案为.14．【正确答案】【详解】等差数列{}与{}的前项和分别为，则.故答案为.15．【正确答案】【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：

易知，抛物线的焦点为F1,0，准线为，由抛物线的定义可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.故答案为.16．【正确答案】【详解】由已知，则，所以，故答案为.17．【正确答案】【详解】由可知，，变形可得，即，所以，曲线表示圆的上半圆，直线的方程可化为，则直线过定点，且斜率为，如下图所示：

当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，由题意可得，解得；当直线过点，则，解得.由图可知，当时，直线与曲线有两个公共点.故答案为.18．【正确答案】【详解】由，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列，即，所以，当时，，，当时，满足上式，综上所述，故答案为.19．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，故圆的方程为（2）由（1）知，圆心为，半径为，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.20．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】(1)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC；(2)分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；(3)由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离.【详解】(1)由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，由平面ABCD，所以，又，，平面，所以平面，以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，已知，则，所以，易知平面的一个法向量为，得，又平面，所以平面.(2)由上坐标系可知，则，设平面与平面的一个法向量分别为，则有，，取，则，即，设平面与平面的夹角为，则.(3)由(2)得平面的一个法向量为，又，所以点D到平面的距离.21．【正确答案】(1)（i）证明见解析，；（ii）(2)【详解】（1）（i）时，，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，故，故；（ii）当时，，可得，当时，由可得，上述两个等式作差可得，即，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为，则.所以，，，①，②①②得，因此，.（2）因为，所以，，，恒成立，即，所以，，令，则，由，即，解得，因为，所以，，故数列中，最大，所以，，因此，实数的取值范围是.22．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，解得，因此，椭圆的标准方程为.（2）易知点，因为，则，若直线的斜率不存在，则直线的垂直平分线为轴，