2024-2025学年四川省内江市高二上学期11月期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省内江市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．135°2．设向量，，若，则（

）A． B． C． D．3．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切5．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A． B．C． D．6．已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（）A． B． C． D．7．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（

）A． B． C． D．8．已知，直线与圆交于两点，则的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．二、多选题（本大题共3小题）9．小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（

）A．事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件B．事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件C．事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件D．事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件10．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，其中是切点，则下列结论错误的是（

）．A． B．C．四边形的面积为8 D．点在外接圆的外部11．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（

）A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B．若三棱锥的体积是定值C．若，有且仅有一个点P，使得平面D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是三、填空题（本大题共3小题）12．已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则.13．已知在平面直角坐标系中，点到两定点，的距离之和为8，则点的轨迹方程为.14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点到两定点的距离之比等于定值，则点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系中，点，满足的动点的轨迹为，若在直线上存在点，在曲线上存在两点，使得，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．直线l：（其中）.(1)求直线l所经过的定点P的坐标；(2)若向量是直线的一个方向向量，求直线的一般式方程.16．如图，等边和等边所在的平面互相垂直，求：(1)直线与平面所成角的正弦值；(2)平面和平面的夹角的余弦值.17．2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数；(2)用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；(3)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．18．如图，已知三棱柱中，侧棱与底面垂直，且，，､分别是、的中点，点在线段上，且.

(1)求直线AM与直线PN所成角的大小；(2)当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为时，求实数的值.19．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.

答案1．【正确答案】B【分析】根据倾斜角与斜率的关系，可得答案.【详解】由直线，则其斜率为，设其倾斜角为，则，解得.故选：B.2．【正确答案】D【详解】因为，可得，即，解之可得.故选：D3．【正确答案】D【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上，故，则，得.故选：D.4．【正确答案】D【详解】圆的圆心为，半径为，圆，故圆心，半径为，则，所以圆与圆的位置关系是外切.故选：D5．【正确答案】B【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得.故选：B.6．【正确答案】A【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，因此反射光线所在直线过点，方程为，即.故选：A7．【正确答案】A【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离.【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量，在平面上任取一点，则，点到平面距离故选：A.8．【正确答案】C【详解】因为，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，

，此时.故选：C9．【正确答案】CD【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案.【详解】对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，可能的结果有：两个景点都不选择；选择一个景点；选择两个景点；事件“至少选择其中一个景点”包括选择一个景点和选择两个景点，事件“至多选择其中一个景点”包括两个景点都不选择和选择一个景点，所以事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，A错误；事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”两事件可能同时发生，B错误；事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”不能同时发生，C正确；事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”不能同时发生，并且必有一个发生，D正确.故选CD.10．【正确答案】AB【分析】结合圆的性质可直接得到结论.【详解】如图：因为为直角三角形，且，，所以，故A对；根据切线的有关性质，B也正确；，故C错误；因为，，故点在的外接圆上，圆心为中点，故D错误.故选：AB11．【正确答案】BD【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，连接，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，故A错误；B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，△面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，由平面，平面，则面平面，由，平面平面，平面，所以平面，平面，则，同理可证：，由，,平面，故平面，而面平面，要使平面，则必在面内，显然平面，故C错误；D：由知：在（含端点）上移动，如图以为原点，分别为轴建系，则，，，则，设，则，所以，令，当，即时，，此时直线和所成角是；当，即时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确.故选BD.12．【正确答案】/【详解】因为与对立且，所以，又与相互独立且，所以.故13．【正确答案】【详解】因为点到点，的距离之和为8，即，所以点的轨迹为以点，为焦点的椭圆，且，解得，所以，所以椭圆方程为.故答案为.14．【正确答案】【详解】设Mx,y，由，得，即，化简整理得，则此圆心为，半径为，

因为是曲线上的两点，当都与圆相切，可使最大，又，，此时四边形为正方形，，显然，当时，为锐角，不满足题意，当时，才能取得直角，故，所以点到直线距离要满足，所以，化简得，解得，即实数的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）直线方程可化为：，由解得所以直线l过定点.（2）由向量是直线的一个方向向量，得直线的斜率，又经过点，所以方程为：，即.16．【正确答案】(1)；(2)【详解】（1）解：作中点O，连接，因为为等边三角形，所以，

同理，又因为平面平面，所以AO⊥平面，所以,所以分别以为轴，建立空间直角坐标系（如图），设，所以，则，，，，所以

.设为平面的法向量，，令，则，，所以为平面的一个法向量.设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角正弦值为.（2）解：平面的一个法向量为，由（1）知平面的一个法向量为，设平面和平面所成角为，所以，所以平面和平面的夹角的余弦值为.17．【正确答案】(1)，2人(2)平均数为71，中位数为(3)【详解】（1）由，解得，因为（人），（人）．所以不高于50分的抽取（人）（2）平均数．由图可知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3，设学生成绩中位数为t，，则：，解得，所以中位数为.（3）法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则．答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A答：至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．18．【正确答案】(1)90°；(2).【详解】（1）在直三棱柱中，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、，易得点，，，

∴，，∴直线AM与直线PN所成角的大小为90°；（2）点，∴，，，设平面的法向量为，则，可得，取，则，设直线与平面所成的角为，则，整理可得，即，因为，解得.19．【正确答案】(1)；(2)x=1或；(3).【详解】（1）由题可知，设圆的