2024-2025学年四川省南充市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年四川省南充市高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线斜率的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知事件A，B互斥，，且，则（

）A． B． C． D．3．已知点，，，，则异面直线AB与CD的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．5．中，，，则的面积（

）A．4 B．5 C．6 D．76．，函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．7．已知点是圆上的动点，则下面说法正确的是（

）A．圆的半径为2 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为58．点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11二、多选题（本大题共3小题）9．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（

）A．长方体的表面积为B．若，则的值为C．当为中点时，为锐角D．不存在点，使得平面10．以下四个命题表述正确的是（

）A．若空间中任意一点，有，则，A，，四点共面B．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为C．过点的直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则11．如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于四点，为弦的中点，则下列说法正确的是（

）A．线段长度的最大值为；B．弦长度的最小值为；C．点的轨迹是一个圆；D．四边形面积的取值范围为.三、填空题（本大题共3小题）12．体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.13．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为．14．已知圆，点，、为圆上两个不同的点，且，则的最小值为．四、解答题（本大题共5小题）15．直线的方程为.(1)证明直线过定点；(2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程.16．如图，在正四棱柱中，已知，，E、F分别为、上的点，且．(1)求证：平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．17．已知点为线段的中点，，点为圆上动点．(1)求A点的轨迹曲线的方程；(2)过点的直线与（1）中曲线交于不同的两点，（异于坐标原点），直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．18．如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．

(1)求圆锥的体积(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值．19．已知，，动点满足，点的轨迹为曲线.(1)求的方程.(2)曲线，曲线与曲线的交点为，.以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，.（i）点Q在直线上移动，过Q作圆的切线，切点为C，，试问直线是否过定点?若是.求出这个定点；若否，请说明理由.（ii）为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值.

答案1．【正确答案】B【详解】设倾斜角为，则，所以.故选：B.2．【正确答案】D【详解】因为事件A，B互斥，所以，又，所以，故，故选：D3．【正确答案】C【详解】由题意得，.设异面直线AB与CD的夹角为，，则，得.故选：C.4．【正确答案】A【分析】根据题意，求得圆心关于直线的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以圆的标准方程为.故选：A5．【正确答案】C【详解】由题意可知：，可知直线，即，可得点到直线的距离，所以的面积.故选：C.6．【正确答案】C【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C7．【正确答案】B【详解】对于A：，因此该圆的圆心为，半径为，故A错误；对于B：因为点Px0,y0设，可知直线与圆有公共点，则，解得，因此的最大值为，故B正确；对于C：因为，设，则，由圆的性质可知：的最小值为，所以的最小值为，故C错误；对于D：令，可知直线与圆有公共点，则，解得，所以的最大值为6，故D错误；故选：B.8．【正确答案】B【详解】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，取，则，∴，∴，∴.故选：B9．【正确答案】AC【详解】对于选项A：长方体的表面积为，故A正确；如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，可得，，，设，则，，对于选项B：若，则，，可得，所以的值为，故B错误；对于选项C：当为中点时，则，，，可得，所以为锐角，故C正确；对于选项D：当平面，因为平面，则，可得，解得，故存在点，使得平面，故D错误；故选：AC.10．【正确答案】ABD【详解】对于选项A：因为，且，所以，A，，四点共面，故A正确；对于选项B：若直线与平行，则，即，此时直线，直线，即为，两直线平行，符合题意，所以直线与之间的距离为，故B正确；对于选项C：由整理可得，可知曲线为以O0,0为圆心，半径的上半圆，则的面积，当且仅当时，等号成立，此时O0,0到直线的距离，因为点在圆外，且，可知，则直线的倾斜角为，斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；对于选项D：因为，，即，可知，所以，故D正确；故选：ABD.11．【正确答案】BCD【详解】由题设圆的方程为，设圆心为，则，半径，由三角形两边之和大于第三边可知，且，所以当长度最大时圆心与共线且在它们中间，此时错误；由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时长度的最小，此时圆心与直线距离为，故正确；若分别是的中点，则且且，又，易知：为矩形，而，若圆心到直线的距离且，所以，则，故，所以在以为直径，交点为圆心的圆上，C正确；由上分析：，而，所以，令，则，当，即时，；当或5，即或时，；所以，D正确；故选：BCD12．【正确答案】/【分析】根据相互独立事件的乘法概率公式即可求解.【详解】记“甲投中”，“乙投中”，则,所以甲、乙两人恰好有一人投中的概率为.故0.38/.13．【正确答案】/【详解】设交于点，取的中点，连接，取的中点，连接，如图，因为是正三角形，所以，又因为侧面底面，为交线，平面，所以平面，又，所以平面，又为的外心，所以三棱锥外接球的球心在上，设外接球球心为，半径为，连接，因为底面是边长为2，所以,,在中，则,即，可得，所以，解得,所以.故14．【正确答案】【详解】圆的圆心为O0,0，半径，设线段的中点为S，连接，则，可得，因为，则，，可得，设，则，整理得：，可知点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，且，可知点在圆内，则，且，所以的最小值为.故答案为.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)，【分析】（1）将方程变形为，再由，得到，即可证明结果；（2）根据条件，求出直线的横、纵截距，从而得得，再利用基本不等式即可求出最小值，从而求出结果.【详解】（1）直线的方程变形为为，由，得到，又时，恒成立，故直线恒过定点.（2）由，令，得到，令，得到，由，得到，所以，，令，得到，当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，又，，所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．（2）为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果．（1）解：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，，，，，0，．，，，，且，平面，平面（2）解：由（1）知，为平面的一个法向量，，，向量在上的射影长即为到平面的距离设为，于是，故点到平面的距离；17．【正确答案】(1)(2)是定值，定值为5【详解】（1）设，，由中点坐标公式得，因为点为圆上动点，则，可得，整理得曲线的方程为.（2）由题意可知：曲线是以2,0为圆心，半径的圆，且直线的斜率存在，

设直线的方程为，，，联立方程：，消去得：，因为直线与曲线交于异于坐标原点的两点，，则，解得，又因为，代入韦达得：，所以是定值5.18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意，.（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系.

由题意得，，，，，，，∴.设平面的法向量为，∴，令，可取，设平面的法向量为，∴，令，可取.设平面ADE与平面ACE的夹角为，则.（3）如图，过点作于点，

则为中点，且，