2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第二次月考 数学检测试题（含解析）

2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第二次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．2．甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（）A． B． C． D．3．若椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，则的值为（）A． B． C． D．4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为A．4 B．8 C．16 D．325．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．2 D．36．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为（

）A． B．6 C． D．7．已知圆C：上存在两个点到点的距离为，则m可能的值为（）A．5 B．1 C． D．8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则C．已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则PF的最小值是D．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是−210．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．平面平面B．的最小值为C．若是的中点，则到平面的距离为D．若直线与所成角的余弦值为，则11．已知椭圆分别为的左、右焦点，A，B分别为的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为B．存在点，使得C．若，则外接圆的面积为D．的最小值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知，两组数据，其中：2，3，4，5，6；：11，，13，14，12；组数据的方差为，若，两组数据的方差相同，试写出一个值．13．点为圆上一点，过作圆的切线，且直线与直线平行，则与之间的距离是.14．如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为A，直线交于另外一点，且，则的离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆过两点，且圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.16．已知双曲线的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1.(1)求双曲线E的标准方程；(2)直线与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围.17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点.(1)求证：；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.18．为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式．现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛，甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是和．假设两人是否回答出问题，相互之间没有影响；每次回答是否正确，也没有影响．(1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率；(2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率；(3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率．19．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与交于另外一点A，直线与交于另外一点.①若，求直线的方程；②记的面积分别为，求的最大值.

答案1．【正确答案】C【详解】当时，.当时,.因为在上单调递增，在上也单调递增.当时，；当时，.所以的取值范围是.故选：C.2．【正确答案】C【详解】将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成种等可能的结果，用表格表示如下：甲乙234567234567记事件“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是9”，则事件A的可能结果有6种，即，所以事件A的概率为：，故选：C.3．【正确答案】D【详解】由题知，椭圆的半焦距为，所以，解得.故选：D4．【正确答案】C【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案．【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，所以，，则，所以，所以的周长为，故选C．本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．【正确答案】C【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，设，因为，所以，，设异面直线与所成角为，则，解得，即.故选：C6．【正确答案】C【详解】直线的方程为，设点关于的对称点为，则，得，即点关于轴的对称点为，

由题意可知，如图，点都在光线上，并且利用对称性可知，，，所以光线经过的路程.故选：C7．【正确答案】C【分析】根据题意可知以为圆心，以为半径的圆与圆C有两个交点，由两圆相交满足：，列式求解即可.【详解】以为圆心，以为半径的圆：，圆C：圆心为，半径，圆心距，由题意可得两圆相交，即，解得.故选：C8．【正确答案】B【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点，则，而，因此，，则，令与的半焦距为，由，得，于是，解得，则，，所以的渐近线方程为.故选：B9．【正确答案】BC【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误；对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确；对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点，当为左顶点时，，C正确；对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点，而，则，当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误.故选：BC10．【正确答案】ABC【详解】A.因为平面，且平面，所以平面平面，故正确；B.因为，且为定值，所以，故正确；C.因为平面平面，且到平面，所以到平面的距离即为到直线的距离，又，，解得，故正确；D.当时，，则，故错误；故选：ABC11．【正确答案】ACD【详解】A选项，因为点是椭圆上的一个动点，且点到距离的最大值和最小值分别为3和1，故有：，解得：，椭圆的离心率，故A正确；B选项，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；C选项，设，则，若，即，在中，由余弦定理可得，因为，所以，根据正弦定理可知，，故C正确；D选项，设，则：，令，则，所以，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD12．【正确答案】210或15【详解】组的平均数，组的平均数，则组的方差为，则组的方差为，解得或15.故2；10或15.13．【正确答案】45/【详解】由题意可得圆的圆心，半径为，则，所以过的切线斜率为，所以直线的方程为，即，又直线与直线平行，所以，则与之间的距离是.故答案为.14．【正确答案】【详解】设Px0,y0，M所以，，因为，所以，所以，即.又，所以，即，解得，即椭圆的离心率为.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由点，得线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，即圆心，半径，所以圆C的标准方程为.（2）由（1）知，点，当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为，所以直线的方程为或.16．【正确答案】(1)(2).【详解】（1）因为双曲线的离心率，可得，即.又因为焦点到渐近线的距离为，根据点到直线距离公式，而，所以，则.由且，，可得，解得.所以双曲线的标准方程为.（2）将直线代入双曲线方程，得到，展开可得，整理得.因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以.由，解得.对于，即，解得.由，（结合），所以，解得.由，解得，即或.综合以上条件，取交集得.则实数k的取值范围为.17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)．【详解】（1）如图，取中点，连接，，因为是中点，所以，是菱形，则，所以，又是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2），则和都是等边三角形，连接，则，，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图，设，则，，因此有，，，，，是中点，则，，，，，设平面的一个法向量是，则，取得，易知平面的一个法向量是，则，取，则，，所以平面与平面的夹角的余弦值为．18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）记“乙至少有1个回答正确”为事件，所以，即乙至少有1个回答正确的概率是．（2）记“甲答对i个问题”为事件，“乙答对i个问题”为事件，则甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件所以，即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是．（3）记“甲答对第i个问题”为事件，则甲恰好回答5次被退出比赛为事件，所以，即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是．19．【