2024-2025学年江西省赣州市大余县高二上学期12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省赣州市大余县高二上学期12月联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝（

）A．2 B．C．3 D．2．已知函数，若数列满足，则（

）A．1 B．2 C．4 D．3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若{an}是“斐波那契数列”，则的值为（

A． B．1 C． D．24．已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．5．数列满足，，则（

）A． B． C． D．6．定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（

）A． B．C．（0，1） D．8．设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．与均为的最大值10．已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列11．对于函数，下列说法正确的是（

）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在(0,+∞)上恒成立，则12．已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，函数，若，则（

）A．为单调递增的等差数列 B．C．为单调递增的等比数列 D．使得成立的的最大值为6三、填空题（本大题共4小题）13．设数列的前项和为，且，，则.14．朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则．15．已知是，的等差中项，是，的等比中项，则.16．已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为，的最小值为.四、解答题（本大题共6小题）17．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，________．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n和．18．已知为等差数列，为等比数列，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.19．已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．20．已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求证.21．设函数（1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2）讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.22．已知函数，其中.（1）讨论的单调性.（2）是否存在，对任意，总存在，使得成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

答案1．【正确答案】C【详解】∵∵＝，即，则∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故选：C.2．【正确答案】C【详解】由题意，函数，且数列满足，所以，，，，，，所以数列的周期为4，所以.故选：C.3．【正确答案】B由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案【详解】由题设可知，斐波那契数列{an其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，，，，，则.故选：B.4．【正确答案】C先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.【详解】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；故选：C.5．【正确答案】C【详解】由题知：设，则，所以.又因为，所以，，，，，即，解得.因为，所以，又因为，所以，即.故选：C6．【正确答案】A【详解】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足∴方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得∴实数的取值范围是.故选:A．7．【正确答案】B【详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选:B8．【正确答案】A【详解】由题意得，，则．设函数，，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以的值域为，故的取值范围是．故选：A.9．【正确答案】BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，：由得，由得，所以，又，所以，故错误；：由得，故正确；：因为是各项为正数的等比数列，，有所以，所以，故错误；：，则与均为的最大值，故正确.故选：10．【正确答案】AC令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.11．【正确答案】ACD【详解】对于选项A：函数定义域为(0,+∞)，，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在(0,+∞)上恒成立，令则，因为易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.12．【正确答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正确；由可得A错误；由可得C正确；由，，可推出，可得D正确.【详解】令，则，，，因为是等比数列，所以，即，，，B正确；，是公差为的递减等差数列，A错误；，是首项为，公比为的递增等比数列，C正确；，，，时，，时，，时，，，时，，又，，所以使得成立的的最大值为6，D正确.故选：BCD关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.13．【正确答案】1189【详解】解：因为，所以，所以，由，可得所以，所以，故118914．【正确答案】【详解】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.15．【正确答案】由题意得，，消去，可得，化简得，得，则有【详解】由题设可知：由是，的等差中项，则①，是，的等比中项，则②，则有①②可知：③，，，则将③式变形得：，即，则.故答案为.16．【正确答案】；【分析】根据条件分析出，根据函数的单调性分析出的最小值.将待求式子变形为关于的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出的最小值.【详解】解：因为在R上单调递增，则，所以，所以，又因为，所以，则，又因为，，令函数，在恒成立，在上单调递减，所以，所以的最小值为，取等号时，所以，又因为，取等号时，且函数，，在上递增，所以，所以的最小值为，取等号时；故；.易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.17．【正确答案】任选三条件之一，都有（1）；（2）．【详解】选条件①时，（1）时，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，（1）由于，所以①，当时，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件③时，由于，

①②①②时，，整理得（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.18．【正确答案】（1），；（2）.【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.，，，分别利用“”法和“”法求解.（2）由（1）知当n为奇数时，，当n为偶数时，，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.因为，，所以，解得d=1.所以的通项公式为.由，又q≠0，得，解得q=2，所以的通项公式为.（2）当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，①由①得②由①②得，，，所以.所以.所以数列的前2n项和为.本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，分组求和、裂项相消法和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于较难题.19．【正确答案】（1）；（2）证明见解析．（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分离后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.【详解】（1）的定义域为，，若函数有两个极值点，则有两个变号零点，等同于，即水平直线与曲线有两个交点(不是的切线)，令，的定义域为，则，令，解得，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递减，则为的极大值，也为最大值，当时，，当时，，当时，且为正数，则的图像如图所示，则此时；（2）证明：令()，则只需证明当时恒成立即可，则，令，则，当时，，，，则，则在时单调递增，又，∴时，，则在时单调递增，∴当时，即当时，．方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的突破口.20．【正确答案】（1）；（2）证明见解析.（1）由题可知数列为等比数列，公比，进一步求出的通项公式，所以，利用累加法求出数列的通项公式；（2）利用对数列进行放缩，化简求出答案.【详解】（1），所以数列为等比数列，公比，所以，所以（2）证明：21．【正确答案】（1）.（2）答案见解析.（3），证明见解析【详解】（1）由于函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，∵，故，此时满足是极大值点，所以；（2）∵，∴，①当时，在上单调递增.②当，即或时，，∴在上单调递减.③当且时，由得.令得；令得.∴在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，在上递减；当且时，在上递增，在上递减.（3）令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故在处取得最小值为，又当，所以函数大致图象为：由图象知.不妨设，则有，要证，只需证即可，令，则在上单调递增，故即，，.22．【正确答案】（1）答案见解析；（2）存在，.（1）先求出函数的导数，再对a进行分类讨论，从而求出函数的单调区间；（2）对a进行分类讨论，分为，，三种情况，利用导数研究函数的最值，从而进行分析求解即可.【详解】（1）由，得，当