2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年黑龙江省绥化市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的斜率是（

）．A． B．2 C． D．2．抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．3．若圆过坐标原点，则实数的值为（

）A．2或1 B．或 C．2 D．4．已知双曲线，则（

）A．双曲线C的焦距为 B．双曲线C的虚轴长是实轴长的6倍C．双曲线与双曲线C的渐近线相同 D．直线与双曲线C有公共点5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（

）A．0 B．1 C．2 D．6．已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（

）A． B． C．8 D．7．已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知双曲线=1(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c，0)，点P在双曲线的右支上，且满足，则该双曲线离心率的取值范围是（

）A．(2，+∞) B．(1，2) C．(1，) D．(2，)二、多选题（本大题共3小题）9．下列四个命题中真命题有（

）A．直线在轴上的截距为B．经过定点的直线都可以用方程表示C．直线必过定点D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是10．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．存在点，使得B．存在点，使得C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为D．对于任意点，都是钝角三角形11．椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左，右焦点分别为，.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为.则下列说法正确的是（

）A．椭圆的标准方程为B．若点在椭圆上，则的最大值为C．若点在椭圆上，的最大值为D．过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点三、填空题（本大题共3小题）12．圆上的点到直线的最大距离是．13．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是．14．如图，两个正方形，的边长都是8，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的四等分点，N为对角线DF的中点，则线段．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点，，，求：(1)边上的高所在直线的方程；(2)的垂直平分线所在直线的方程．16．已知圆(1)若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．17．已知椭圆的两个焦点分别为，，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若与直线平行的直线交椭圆于，两点，当时，求的面积.18．如图，在四棱锥中，已知底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD．(1)求证：平面ABCD；(2)若，点在棱PD上，且二面角的大小为．①求证：；②设是直线CD中点，求直线MQ与平面MAC所成角的正弦值．19．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左､右顶点.(1)求双曲线的方程；(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.（i）试探究与的比值是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；（ii）求的取值范围.

答案1．【正确答案】A将直线化成斜截式即可求解.【详解】解：，即，故直线的斜率为.故选：A.2．【正确答案】D【详解】由得，故抛物线的准线方程为.故选D.3．【正确答案】C【分析】把代入圆方程计算，注意方程要表示圆．【详解】表示圆，，．又圆过原点，，或（舍去），．故选：C．4．【正确答案】C【详解】对A，由双曲线方程可得，则焦距为，故A错误；对B，由双曲线方程可得，，故实轴长为2，虚轴长为，故虚轴长是实轴长的倍，故B错误.对C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，故C正确；对D，将代入双曲线方程可得，方程无解，故没有公共点，故D错误.故选：C.5．【正确答案】A【详解】由题意可得：，则，设，由题意可得：，解得，代入方程可得，则，又因为，则.故选：A.6．【正确答案】A【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线E：其中一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，解得，所以抛物线的标准方程为，因为直线过焦点且倾斜角为，所以直线方程为，所以抛物线标准方程与直线方程联立消，得，由韦达定理得，，所以弦长.故选：A7．【正确答案】B【分析】由求出点的轨迹，由直线与此轨迹存在公共点求出的范围作答.【详解】依题意，，设点，则，由，得，即，由已知得，而点既在直线上，又在圆上，因此直线与圆有公共点，又圆的圆心为原点，半径为，于是，解得或，所以实数的取值范围为.故选：B8．【正确答案】D【详解】，，，，，解得，.故选：D9．【正确答案】CD【分析】利用截距的定义可判断A选项；取点且垂直于轴的直线，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用两直线平行求出的值，结合平行线间的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，直线在轴上的截距为，A错；对于B选项，过点且垂直于轴的直线方程为，不能用方程表示，B错；对于C选项，将直线方程变形为，由可得，故直线过定点，C对；对于D选项，若直线与直线平行，则，解得，直线方程可化为，故两平行直线间的距离为，D对.故选：CD.10．【正确答案】BC【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．

所以，，，设，其中，所以，，当，即，所以，显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；当时，解得，故B项正确；因为，其中，所以点到的距离为，故C项正确；因为，，其中，所以，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．故选：BC．11．【正确答案】ACD【详解】一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，如下图所示：所以可得即又椭圆的离心率为，可得，所以，故椭圆方程为，所以正确；由椭圆的定义知，不妨设，，因为，所以，当且仅当时等号成立，此时最大为钝角设为，则，故当时，的最大值为，故错误；易得,设点，则当时，，故正确；易知椭圆在点处的切线方程为，证明如下：当切线斜率存在时，设直线与相切与点，联立，所以，整理可得，又易知，即，所以整理可得①；又切点在椭圆上，即，整理可得②，联立①②，可得即，所以切线方程为，化简得，经检验，直线斜率不存在时也符合上式，即椭圆在点处的切线方程为，设，所以椭圆在点处的切线的方程为，在点处的切线的方程为，两线相交于点，所以可得，即点满足方程，所以直线的方程为，整理可得，令，故直线的方程过定点，故正确，

故选12．【正确答案】【详解】将圆化为标准方程可得，所以圆的圆心为，半径，根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为，所以可得最大距离为.故13．【正确答案】/【详解】设直线与椭圆相交于，由，直线的斜率，由，得，整理得，所以，故椭圆的离心率为.故答案为.14．【正确答案】【详解】由题意可知，，，所以为的平面角，所以，.因为，所以，所以，.因为，所以.所以，，所以，.因为，所以，所以，.故答案为.15．【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）由斜率公式易知，直线的斜率．又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：．（2），．又线段的中点为，所在直线的方程为，整理得所求的直线方程为：．16．【正确答案】(1)，(2)或【详解】（1）解：由圆，可得原心，半径为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径，可得，解得，此时直线的方程为，综上可得，所求直线的方程为或.（2）解：由圆的半径为3，圆心在直线上，设，且圆的圆心，半径为，由两圆相外切，可得，即，解得或，所以或，所以所求圆的方程为或.17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）布列方程组求得椭圆的标准方程；（2）直线方程为，．将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，利用韦达定理及可得，从而求得.【详解】（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得解得故椭圆的方程为．（Ⅱ）直线的方程为，设直线方程为，．将直线的方程代入椭圆的方程并整理得，由，得，，由得，，，，，，得．又，到直线的距离．所以．18．【正确答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；②【详解】（1）在四棱锥中，因为底面ABCD为矩形，所以．因为平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，所以平面因为平面PAD，所以，因为平面ABCD，且，所以平面ABCD．（2）①以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，因为点在棱PD上，所以设（或显然不满足题设），因为，所以，所以，设平面的一个法向量，则，即，取，则，所以又是平面ABC的一个法向量，所以，因为二面角的大小为，所以，即，解得此时，，又，所以，所以，即②因为是直线CD的中点，则，由①可得，所以，平面MAC的一个法向量．设直线MQ与平面MAC所成角为，则，即直线MQ与平面MAC所成角的正弦值为．19．【正确答案】(1).(2)（i）为定值，；（ii）.【详解】（1）由题意可设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）（i）设，直线的方程为，由，消元得，则，且，，

或由韦达定理可得，即,，即与的比值为定值.（ii）方法一：设直线，代入双曲线方程并整理得，由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.由韦达定理得，