2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河南省信阳市高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．一组数据的第百分位数是（

）A． B． C． D．3．若双曲线：的虚轴长为8，渐近线方程为，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．4．已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则的值为（）A．1 B．2 C． D．35．已知点，平面，其中，则点到平面的距离是（）A． B．2 C． D．36．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（）A．1 B． C． D．7．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，则该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．已知M、N分别是圆与圆上的两个动点，点P是直线上的任意一点，则的最小值为（

）A． B． C．6 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（

）A．在轴上的截距为 B．过点且不垂直x轴C．若，则或 D．若，则10．已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（

）A．是a，b，c成等差数列的充要条件B．是a，b，c成等比数列的充要条件C．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列D．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列11．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（

）A．直线的斜率B．若，则C．若，则D．存在使得平分三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列的前项和为，则.13．已知，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离是.14．已知椭圆：，过左焦点作直线与圆：相切于点，与椭圆在第一象限的交点为，且，则椭圆离心率为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围．16．某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.(1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；(2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差.17．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，，．

(1)证明：平面平面；(2)若为棱中点，求直线与平面所成角的余弦值．18．已知正项数列的前n项和为，且满足，.(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；(2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值；19．折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.步骤1：设圆心是，在圆内不是圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点E重合的点标记为；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时与折痕交于点；步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点.现取半径为4的圆形纸片，定点到圆心的距离为2，按上述方法折纸.以线段的中点为原点，线段所在直线为轴，建立平面直角坐标系，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程；(2)直线与曲线交于两点，，且平分，（i）求的中点M到点的最小距离；（ii）若，求的面积.

答案1．【正确答案】C【详解】由已知直线的斜率不存在，即轴，倾斜角为，故选：C．2．【正确答案】D【详解】首先，我们把按顺序排列，得到，而，故第百分位数是第个数，则该组数据的第百分位数是，故D正确.故选：D3．【正确答案】C【详解】由题可得解得，所以双曲线方程为，故选:C.4．【正确答案】A【详解】设等比数列的公比为，由题可知：；又，也即，故.故选：A.5．【正确答案】C【详解】由平面，得是平面的法向量，点在平面内，，所以点到平面的距离是.故选：C6．【正确答案】C【详解】由题可知，，则，所以，所以，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.7．【正确答案】C【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，平面，即是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，是四棱锥侧面与底面所成的角，设底面边长为，则，因为正四棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，所以，则，即，所以，所以，所以，所以，即该四棱锥侧面与底面所成角的余弦值为.故选：C．8．【正确答案】D求出圆关于直线对称圆的方程，N点关于直线的对称点在圆上，，，而要取最小，则三点共线即可．的最小值可通过求解．【详解】圆关于直线对称的曲线N点关于直线的对称点在圆上，则有，故当M，P，三点共线时，距离和最小．从而转化成求M，两点距离的最小值．而，故选：D9．【正确答案】ABD【详解】对于选项A：因为直线，令，解得，所以在轴上的截距为，故A正确；对于选项B：因为直线的斜率，即斜率存在，直线不垂直x轴，且，即直线过点，故B正确；对于选项C：若，则直线、均为，即两直线重合，不平行，故C错误；对于选项D：若，则，解得，故D正确；故选：ABD.10．【正确答案】AC【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；故选：AC.11．【正确答案】ACD【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合可判断选项正误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，由抛物线定义结合可判断选项正误；D选项，方法1，通过证明，可得，即可得坐标，后由抛物线定义可求得；方法2，设关于轴的对称点为，通过说明三点共线，可得，后同方法1；方法3，由角平分线定理结合抛物线定义可得，后同方法1；方法4，利用结合，可得，即可得，后同方法1.【详解】由题可得，.设方程为：，，将直线与抛物线方程联立：，消去x得.由题：，又由韦达定理知.A选项，由题可得或，则，故A正确；B选项，由抛物线定义可知：，则，得.故B错误；C选项，如图，过A，B作准线垂线，垂足为，因，则，又，则.故C正确.选项D，方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N，M.则，又所以.注意到：，则.则，即存在满足题意，故D正确；方法2：设关于轴的对称点为，则.注意到：，则三点共线，所以，其余同方法1；方法3：若平分，则由角平分线定理可得，所以，又，.即，下同方法1；方法4：只需，即，注意到，，则，解得或3（舍去），后同方法1.故选：ACD关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数等转化为与长度，特殊角度相关的条件.12．【正确答案】16【详解】因为数列为等差数列，所以.所以.故1613．【正确答案】【详解】过点作轴，点轴，如下图所示：则，且，，，且，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】设椭圆右焦点为，连接，如下图所示：由圆：可知圆心，半径；显然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由椭圆定义可得，即，因此离心率.故15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为与,故设双曲线方程为：，因为双曲线过，故即，故双曲线方程为.（2）由可得，因为直线与双曲线右支交于不同两点，所以，故.16．【正确答案】(1)(2)平均数为，方差为.【详解】（1）前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为x，则，解得.“防溺水达人”的成绩至少为分.（2））的频率为，）的频率为，所以的频率与的频率之比为的频率与的频率之比为设内的平均成绩和方差分别为，依题意有，解得，解得，所以内的平均成绩为，方差为.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)．【详解】（1）取中点，连结，，，由题意，在中，，，所以为等边三角形，所以，因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，所以，所以，为二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，则，B1,0,0，，，．所以，，由于为棱中点，故，所以，，设平面的法向量为，所以，令，，设直线与平面所成角为，则，所以，所以，直线与平面所成角的余弦值为．

18．【正确答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）由可得，相减可得，因此，由于为正项数列，所以，因此，故，故数列为等差数列，且公差为2，又，所以，故（2），故，由可得，化简可得，因此，记，则，当时，，故，而，当时，，，故，故为数列的最小项，故，故的最大值为19．【正确答