2024-2025学年河北省唐山市开滦市高二上学期期中考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省唐山市开滦市高二上学期期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．两平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．2．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（

）A．5 B．1 C． D．4．直线和直线，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．7．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．，函数的最小值为（

）A．2 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知椭圆的长轴端点分别为，两个焦点分别为是上任意一点，则（

）A．椭圆的离心率为B．的周长为C．面积的最大值为D．10．以下四个命题为真命题的是（

）A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为B．直线的倾斜角的范围是C．已知，，则边的中垂线所在的直线的方程为D．直线关于对称的直线方程为11．已知点在曲线上，点，则PQ的可能取值为（

）A． B． C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知空间中三点的坐标分别为，则点到直线的距离为.13．若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是．14．已知，点是直线上的一点，以为焦点的椭圆过点，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线过定点，根据下列条件求直线的方程．(1)若直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为16；(2)若直线与圆相切，求直线的方程．16．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设．若，求：(1)试用向量表示，并求的值；(2)求．17．已知圆与圆．(1)若圆与圆相外切，求的值．(2)若，试求：①圆与圆所得的公共弦长；②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程．18．在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小；(3)在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.19．已知为坐标原点，是圆上一点，且，线段的垂直平分线交线段于点，设动点的轨迹为曲线，且曲线与直线相切．(1)求的方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，求面积的最大值．

答案1．【正确答案】C【详解】依题意，直线为，所以两平行直线与之间的距离．故选：C2．【正确答案】C【分析】根据基底的性质，结合共面向量的性质逐一判断即可.【详解】假设，，是共面向量，则存在使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项A不符合题意；假设，，是共面向量，则存在使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项B不符合题意；假设，，是共面向量，则存在使，即，因为构成空间的一个基底，所以上式向量式无实数解，因此假设不成立，故选项C符合题意；假设，，是共面向量，则存在使，因为构成空间的一个基底，所以有，因此假设成立，故选项D不符合题意，故选：C3．【正确答案】C【详解】因为点在圆C：的外部，所以，解得，又方程表示圆，则，即，所以，结合选项可知，m的取值可以为.故选：C4．【正确答案】B【详解】，则，解得或，题中应是充分不必要条件，故选：B．5．【正确答案】D【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，则与所成的角的余弦值为.故选：D6．【正确答案】B【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解.【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，，有，，解得，所以直线的方程为，即.故选B.7．【正确答案】C【详解】如图所示.设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，即.故选C.8．【正确答案】C【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C9．【正确答案】ABD【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，椭圆的离心率为，故A正确；对于B，的周长为，故B正确；对于C，，设，则面积的最大值为，故C错误；对于D，设，，因此，故D正确.故选：ABD.10．【正确答案】BCD【详解】选项，当直线过原点时直线方程为，当直线不过原点时，设直线方程为，将点代入得，解得，所以直线方程为，综上所述该直线方程为或，错误；选项，因为直线的斜率为，所以，所以倾斜角的范围是，正确；选项，点，的中点为，直线的倾斜角为，则边的中垂线所在的直线平行于轴，即该直线方程为，故正确；选项，设直线关于对称的直线上任意一点的坐标为，则该点关于点对称的点为，将点代入得，即，故正确；故选.11．【正确答案】BC【详解】对于方程，将换成可得：，即，可知曲线关于轴对称，且点在轴上，则只需讨论轴以及其上方的图象即可，当，则曲线方程化为，即，此时曲线为以为圆心，半径的半圆，可知，当且仅当为线段与曲线的交点时，等号成立；当，则曲线方程化为，即，此时曲线为以为圆心，半径，可知，当且仅当为的延长线与曲线的交点时，等号成立；即，结合选项可知：AD错误；BC正确.故选：BC.12．【正确答案】【详解】由点，可得，所以点到直线的距离为，所以点C到直线的距离为.故答案为.13．【正确答案】【详解】由可得，即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，画出图形，可得当直线经过点A−2,0时，，当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得，所以要使直线与曲线有两个公共点，则.故选：C.

故14．【正确答案】【详解】由题意知：椭圆以为焦点，所以，因为椭圆过点，所以，设点关于直线对称的点为，则解得：所以，当且仅当三点共线时等号成立，又，所以，即，所以当时该椭圆的离心率取得最大值，所以该椭圆的方程为．故15．【正确答案】(1)或；(2)或.【详解】（1）依题意，设直线的横纵截距分别为，则直线的方程为，则有，由三角形面积，联立解得或，所以直线的方程为或.（2）依题意，圆的圆心，半径为1，①当直线斜率不存在时，直线方程为，此时与圆相切，符合题意；②当直线斜率存在时，设直线点斜式方程为，即，由直线与圆相切，得，解得，此时直线方程为，所以直线的方程为或.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）令正六边形的中心为，连接，则四边形为菱形，，所以；；由，得，，所以.（2）由（1）知，，，所以.17．【正确答案】(1)(2)①

②或【详解】（1）圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为，则，由圆与圆相外切，得，所以.（2）①当时，圆，，圆与圆相交，两圆方程相减得，点到直线距离为，所以圆与圆所得的公共弦长为；②直线的方程为，即，依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心，点到直线距离，圆的半径为，由轴与圆相切，得，整理得，解得或，当时，点，半径为1，方程为；当时，点，半径为5，方程为，所以圆的方程为或.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，或.【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3）假设存在点，使平面与平面所成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【详解】（1）因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在平面内，所以平面；（2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，，.设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；（3）假设在线段上存在点，使平面与平面所成角的余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，若平面与平面所成角余弦值为.则满足，化简得，解得或，即或，故在线段上存在这样的点