2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题（含解析）

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．椭圆的焦距是（

）A． B． C．2 D．42．直线关于y轴对称的直线的方程为（）A． B． C． D．3．已知直线经过两点，则直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．4．已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（

）A． B． C． D．或5．已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B．C． D．6．在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆：（）的左焦点为，过焦点作圆的一条切线交椭圆的一个交点为A，切点为，且（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的有（

）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知椭圆的左右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，则（

）A．的周长为4B．当时，的面积为C．若直线经过点，则的最小值是3D．若线段中点为，则直线的方程为11．如图，在棱长为的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（

）A．存在点满足平面∥平面B．存在点满足平面C．当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为D．若，则点的轨迹长为三、填空题（本大题共3小题）12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是.13．已知，，，则点到直线的距离为.14．在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知为实数，设直线，.(1)若，求的值及与的交点坐标；(2)若，求与的距离.16．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上.(1)求圆的方程；(2)证明圆与圆相交于两点，并求线段的长度.17．已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，若的面积是，求直线的方程.18．在三棱锥中，.(1)证明：平面平面；(2)点为棱上，若与平面所成角的正弦值为，求的长；19．已知圆：与x正半轴交于点A，与直线在第一象限的交点为B．点为圆O上任一点，且满足，以x，y为坐标的动点的轨迹记为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若两条直线：和：分别交曲线于点E、F和M、N，求四边形面积的最大值，并求此时的k的值；(3)研究曲线的对称性并证明为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．

答案1．【正确答案】B【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且则，故椭圆的焦距是.故选：B.2．【正确答案】A【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和0,1，因为这两点关于y轴的对称点分别为1,0和0,1，所以直线关于y轴对称的直线方程为故选：A3．【正确答案】C【详解】因为，所以，因为，所以与共线，故直线的一个方向向量是.故选：C4．【正确答案】A【详解】的渐近线方程为，因此，故，故离心率为，故选：A5．【正确答案】D【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，则，，则，故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.又因，解得，故其轨迹方程为.故选：D.6．【正确答案】C【详解】如图，设两条异面直线，所成的角为，，，，，，，，则，得或（舍去）.故选：C7．【正确答案】A【详解】解：设，因为，所以，则圆的方程为，联立，解得，由，得，解得或，又，所以，即，所以点的横坐标为4故选：A8．【正确答案】A【详解】由题意可知：圆的圆心为点，半径为，，设椭圆的右焦点为，连接，因为，可知点为的中点，且点为的中点，则∥，，由椭圆定义可知：，因为为切点，可知，则，可得，即，解得，即，所以椭圆的离心率.故选：A.2.焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．【正确答案】AC【详解】对于A，因为不共面，所以，，不共面，故A正确；对于B，设，即，解得，所以，所以，，共面，故B错误；对于C，设，即，方程无解，所以，，不共面，故C正确；对于D，设，即，即，所以，即，，共面，故D错误；故选：AC10．【正确答案】BCD【详解】A，假设直线经过点，由题意可知椭圆的长轴长，左焦点F1−1,0，由椭圆的定义可知，故A错误；B，设，由椭圆定义可得，在中由余弦定理可得，把代入上式并整理可得，解得，所以，故B正确；C，若的斜率存在，不妨设其方程为：，联立椭圆方程可得，，则，所以，若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得，显然当的斜率不存在时，，故C正确；设，易知，可得，，若中点为，则，所以直线方程为，即，故D正确；故选：BCD11．【正确答案】ABD【详解】如图，对于A，平面∥平面，当点位于点时，平面∥平面，故A正确；对于B，连接，由于平面平面故，又，平面，因此平面，平面，故，同理可证明，平面，故平面，因此位于时，此时平面，故B正确，对于C，当为线段中点时，与均为直角三角形，且平面平面，三棱锥的外接球的球心为的中点，外接球的半径，三棱锥的外接球体积为，故C错误；对于D，若，与均为直角三角形，，，如图，在正方形中，以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，整理得：，点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，，，在中，，，，故D正确．故选：ABD．12．【正确答案】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果.【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故13．【正确答案】【详解】由题意，,，则与同方向的单位向量为，又,则，故点到直线的距离为.故答案为.14．【正确答案】【详解】设直线上的一点为，则；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，取得最小值，即坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值为；设圆上点，直线上的一点为，则；，，则恒成立；当时，，（其中，），则当时，“折线距离”取得最小值；当时，，（其中，），则当时，“折线距离”取得最小值；当时，，则，同上可知：此时“折线距离”最小值为；综上所述：圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为.故；.15．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）因为直线，，，当时，直线，，不符合题意当时，直线斜率为，直线斜率为，由可得：即，解得；则，联立方程组，解得，则与的交点坐标为.（2）因为直线，，，由（1）知：时，不符合题意;当时，由可得：，即，解得或，当时，两直线方程均为，不合题意，当时，方程为，即，方程为，即，故与的距离为.16．【正确答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）经过点和点的直线的斜率，直线的方程为：，即圆心在直线上；圆与轴相切于点，圆心在直线上；由得：，圆心，半径，圆的方程为.（2）由圆的方程可得：圆心，半径，，圆与圆相交；两圆方程作差可得直线方程为：，则圆心到直线的距离，线段的长度为.17．【正确答案】(1)(2)或【详解】（1）根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上，又的横坐标为1，所以椭圆必不过，则，，三点在椭圆上.把，代入椭圆，得：解得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知F2当直线斜率为0时，不符合题意，当直线斜率不为0时，可设直线的方程为：，Ax1,y1，联立，消得：，，则，又，即，即，化简得解得，所以直线的方程为：或.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）过作，垂足为，由，得，，得，由，得，所以，即，所以；在中，，所以，又平面，所以平面平面，所以平面平面；（2）如图以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系；得，设，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，设直线与平面所成角为，则，，所以；19．【正确答案】(1)(2)时，四边形的面积最大值为(3)答案见解析【详解】（1）由题意可得，即.由得，，则将代入，化简得.故曲线的方程为.

（2）由，消得，解得，由已知直线交曲线于，不妨设,，所以，同理.由题意知，所以四边形的面积..∵，∴，当且仅当时等号成立，此时.∴当时，四边形的面积最大值为.（3）曲线的方程为，它关于直线、和原点对称，

下面证明：设曲线上任一点的坐标为Px0则，点关于直线的对称点为，因为，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，同理可得点Px0,y0关于直线的对称点故曲线关于直线对称，同