重庆市南岸区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

重庆市南岸区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．1．如图，在⊿ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，BC＝4，则A．3 B．4 C．5 D．62．反比例函数y=−4A．(1，4) B．(−1，−4) C．(−2，2) D．(2，2)3．若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数A．−9 B．−94 C．94．如图，由相同大小的正方体积木堆叠而成的立体图形．如果拿走图中的甲、乙、丙、丁中的一个积木，此图形主视图的形状会改变，则拿走的积木是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．将抛物线y=x2−2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y=x2A．b=−8，c=18 B．b=8，c=14 C．b=−4，c=6 D．b=4，c=66．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(A．(2，4) B．(4，7．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交A．74 B．94 C．1548．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（）A．8(3−3)m B．8(9．若数a使关于x的一元二次方程x2−2x−6+a=0有两个不相等的实数解，且使关于y的分式方程ay−1A．1 B．3 C．5 D．710．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．14 C．18 D．24二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.11．一元二次方程x2−4=0的两根为12．若ba=dc13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，AC=4，OE=2．则tan∠EDO=14．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ=m．15．如图为一个几何体的三视图，主视图和左视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为．16．已知二次函数y=ax2+bx+1（a≠0），当自变量x=1和x=0时，函数值y=117．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，把△BDE沿着DE翻折，点B恰好在AC边上的F处，若ABBC=k，则AFCF=18．如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b．CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c．（1）若四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为．（2）若四边形EHFG的面积与△CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为．三、解答题：（本大题8个小题，19题8分；20-26题每小题8分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．20．解方程：（1）x2−2x−1=0； （2）21．如图，在△ABC中，D是边AB上一点．（1）请用尺规作图，在AC上找一点E，作∠ADE=∠B，保留作图痕迹．（2）若ADAB=25，求22．如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=m（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足y1−y（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交反比例函数y2的图象于点Q，若△POQ面积为3，求点P23．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m，CD的坡度为i=1：3，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为（1）求DE的长；（2）求塔AB的高度．（结果保留个位）（参考数据：tan27°≈0.5，3≈1.7）24．为了加强中小学学生的劳动教育，2024年计划将该区1000m2的土地作为社会实践基地，该基地准备种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系y=（1）设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为w元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使w最小？（2）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（1）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a25．如图，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1，0)和B(−5（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线x=m(−5<m<0)与抛物线交于点D，与直线BC交于点F，交x轴交于点E．当DF取得最大值时，求m的值和DF的最大值；（3）若抛物线y=−x2+bx+c的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q26．平行四边形ABCD中，点E在BC边上，对角线AC交DE于点F．（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠B=90°，AC⊥DE，求证：ACDE（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=AD，∠AFD=∠B，那么AC与DE的长有什么关系？请证明你的结论；（3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠AFD=∠B，AD=6，DC=4，DE=5，求AC的长．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC中，BC＝4，∠C＝90°，sinA＝4∵sinA＝BC∴AB=5，故答案为：C【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意进行运算即可求解。2．【答案】C【解析】【解答】解：∵k=-4，

∴在反比例函数y=−4x图像上的点横纵坐标相乘等于-4，

∴1×4=（-1）×（-4）=2×2=4，（-2）×2=-4，

∴(−2，2)在函数图象上，

故答案为：C3．【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，

∴Δ=9-4m=0，

∴m=94，

4．【答案】B【解析】【解答】解：拿走图中的“乙”一个积木后，此图形主视图的形状会改变，第二列小正方形的个数由原来的两个变成一个．故答案为：B【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。5．【答案】D【解析】【解答】解：二次函数y=x∴平移后解析式为：y=(x−1+3)则b=4，c=6．故答案为：D【分析】根据二次函数的几何变换结合题意即可得到平移后解析式，进而即可求解。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为1：2，C（3，2），

∴C′（3×2，2×2），即（6，4）.

故答案为：C.

【分析】给点C的横、纵坐标分别乘以2可得点C′的坐标.7．【答案】D【解析】【解答】解：设MN与AC的交点为O，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=90°，AB=DC=6，BC=AD=8，∴ΔADC为直角三角形，∵CD=6，AD=8，∴AC=Acos∠CAD=又由作图知MN为AC的垂直平分线，∴∠MOA=90°，AO=1∴在RtΔAOE中，cos∠EAO=∵cos∴5∴AE=25故答案为：D．【分析】设MN与AC的交点为O，先利用勾股定理求出AC的长，可得cos∠CAD=ADAC=88．【答案】A【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，在Rt△BCD中，∠B=60°，∴tanB=即：x16−x解得x=8(故答案为：A.【分析】设CD=x，则CD=AD=x，BD=16-x，然后根据三角函数的概念就可求出x.9．【答案】A,C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2∴(−2解得：a<7，∵ay−1∴a−3y−1解得：y=a−1∵关于y的分式方程ay−1∴a−12≥0且解得：a≥1且a≠3，∴1≤a<7且a≠3，∵a−12∴a=1或5，故答案为：AC【分析】先根据一元二次方程根的判别式结合题意得到a的取值范围，进而解分式方程得到y=a−110．【答案】C【解析】【解答】解：延长DF与AB交于点H，延长EF交AB于点G，连接BD.

∵D为AC的中点，DH∥BC，GE∥AC，P为△ABC的重心，

∴DH为△ABC的中位线，△ADH∽△ABC，BP=23BD，S△ABD=S△BCD，

∴BC=2DH，

∴S△ADHS△ABC=(DHAB)2=14，

设S△ABC=x，则S△ADH=14S△ABC=14x，S△ABD=S△BCD=x2.

∵DH∥BC，GE∥AC，

∴△DFP∽△BEP，△BEP∽△BCD，

∴△DFP∽△BCD，

∴S△DFPS△BCD=(DPBD)2=19，S△BEPS△DFP=(BPDP)2=4，

∴S△DPF=19S△BCD=118x，S△BEP=4S△DPF=29x，

∴S四边形CDPE=S△BCD-S△BEP=x2-29x=518x.

∵四边形CDFE的面积为6，

∴S四边形CDFE=S△DPF+S四边形CDPE=118x+518x=6，

解得x=18.

故答案为：C.

【分析】延长DF与AB交于点H，延长EF交AB于点G，连接BD，由题意可得DH为△ABC的中位线，则BC=2DH，根据重心的概念可得BP=23BD，由中点的概念可得S△ABD=S11．【答案】x1=2【解析】【解答】解：x2移项得：x2直接开平方得：x1=2，故答案为：x1=2，

【分析】利用直接开方法求解一元二次方程即可。12．【答案】1【解析】【解答】解：由ba=d∴b+da+c故答案为：1【分析】先根据比例得到a=2b，c=2d，进而代入约分即可求解。13．【答案】3【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=1∵AC=4，∴AO=2，∵E是AD中点，∴OE=1∵OE=2，∴DA=4，∴OD=A∴tan∠EDO=故答案为：3【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OA=114．【答案】6【解析】【解答】解：∵∠=ABC=∠AQP=90°，∴BC∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴BDPQ=ABAQ，∴20PQ=4015．【答案】36【解析】【解答】解：由题意知一个三棱柱，且底面是一个等边三角形，边上的高是3，∴底面是一个边长为2的等边三角形，∴几何体的侧面积=2×6×3=36．故答案为：36【分析】先根据简单几何体的三视图结合题意得到本题是一个三棱柱，且底面是一个等边三角形，边上的高是3，进而根据等边三角形的性质结合题意即可求解。16．【答案】x=【解析】【解答】解：由题意得二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象过点(1∴对称轴为直线x=1+0故答案为：x=【分析】根据二次函数的对称性结合题意即可得到对称轴。17．【答案】2【解析】【解答】解：∵ABBC=k，∴AB=AC=kBC、∠B=∠C，∵E是BC的中点，∴BE=CE=1∵把△BDE沿着DE翻折，点B恰好在AC边上的F处，∴BE=EF，∴CE=EF=1∴∠B=∠CFE，∴ΔCEF∽△CAB，∴CEAB∴12BCkBC∴AF=AC−CF=kBC−1∴AFCF故答案为：2【分析】先根据题意得到AB=AC=kBC、∠B=∠C，进而根据中点得到BE=CE=12BC，再根据折叠得到BE=EF，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明ΔCEF∽△CAB18．【答案】（1）5a+5b=7c（2）a【解析】【解答】解：（1）∵△ADE与△BCF都是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠BFC=∠AED=60°，AD=AE=DE=a，BC=CF=BF=b，

∴△CDH与△ABG都是等边三角形，

∴∠G=60°，AB=BG=AG=c，CD=CH=HD=a+b-c，

∴∠G=∠BFC=∠AED=60°，

∴CF∥AG，DE∥BG，

∴四边形EHFG是平行四边形，

∴GF=EH=c-b，EG=FH=c-a，

∴四边形EHFG的周长为2（GF+EG）=2（c-b+c-a）=4c-2a-2b，△CDH的周长为3CD=3（a+b-c）=3a+3b-3c，

∵四边形EHFG的周长与△CDH的周长相等，∴4c-2a-2b=3a+3b-3c，

∴5a+5b=7c；

故答案为：5a+5b=7c；

（2）如图，过点G作GM⊥AB于点M，

∵△ABG是等边三角形，且GM⊥AB于点M，

∴BM=12AB=12c，∠BMG=90°，

在Rt△BMG中，由勾股定理得CM=32c，

∴S△ABG=12AB×GM=12c×32c=34c2，

同理S△BCF=34b2，S△ADE=34a2，

∵S四边形EHFG的面积=S△ABG-S△BCF-S△AED+S△CDH=S△CDH，

∴S△ABG-S△BCF-S△AED=0，即34c2-34a2-34b2=0，

∴19．【答案】（1）1（2）解：根据题意，列表如下：ABCA(((A，C)B(((C(C，A)((由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择C景点共有5种等可能的结果，∴甲、乙至少有一人选择C景点的概率为59【解析】【解答】解：（1）∵由A，B，C三个景点，

∴甲选择A景点的概率为13故答案为：13

【分析】（1）由题意可知一共有三种结果数，甲选择A景点的只有1种情况，然后利用概率公式进行计算.

（2）由题意可知此事件是抽取放回，列表可得到所有的可能的结果数及甲、乙至少有一人选择C20．【答案】（1）解：x2x2(x−1)2x−1=±2x1=2（2）解：2x(x−3)=x−3，2x(x−3)−(x−3)=0，(2x−1)(x−3)=0，2x−1=0，x1【解析】【分析】（1）根据配方法结合题意解一元二次方程即可求解；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解。21．【答案】（1）解：图形如图所示：则∠ADE即为所求．（2）解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ADE∽△ABC，∵ADAB∴S△ADE∴S△ADE∴S△ADE【解析】【分析】（1）根据作图-平行线结合题意即可求解；

（2）先根据题意结合相似三角形的判定与性质证明△ADE∽△ABC得到S△ADE22．【答案】（1）解：∵反比例函数y2=m∴1=∴m=4∴反比例函数的解析式为y2把B(a，8)代入y2∴点B坐标为(1∵一次函数解析式y1=kx+b，经过A(故得4k+b=1解得k=−2b=9∴一次函数解析式为y1（2）解：12（3）解：由题意，设P(p，∴Q(p∴PQ=−2p+9−∴解得p1∴P(52，【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出m，进而即可得到反比例函数的解析式，再求出点B，进而将点A和点B代入一次函数解析式即可求解；

（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题结合题意观察图像即可求解；

（3）由题意，设P(p，−2p+9)23．【答案】（1）解：在Rt△DCE中，CD的坡度为i=1：3，∴∠DCE=30°，∴DE=1即DE的长为3m．（2）解：设AB=h，在Rt△DCE中，cos∠DCE=∴EC=CD⋅cos在Rt△BCA中，由tan∠BCA=ABCA，AB=h则CA=AB∴EA=CA+EC=h+33即EA的长为(h+33如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F．根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°，∴四边形DEAF是矩形．∴DF=EA=(h+33)m，可得BF=AB−FA=(h−3)m．在Rt△BDF中，tan∠BDF=BFDF∴BF=DF⋅tan∠BDF．即∴h=3+3答：塔AB的高度约为11m．【解析】【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；

（2）先根据题意解直角三角形得到EA=CA+EC=h+33，过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而结合题意根据矩形的性质得到DF=EA=(h+33)m24．【答案】（1）解：当200≤x≤600时，w=x(∵120∴抛物线开口向上．∴当x=400时，w有最小值，w最小值∴1000−x=1000−400=600，∴当甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为（2）解：由题意可知：甲、乙两种蔬菜总种植成本是42000元，乙种蔬菜的种植成本是50×600=30000（元），甲种蔬菜的种植成本是42000−30000=12000（元），(1−10%设a%=m，则解得：m1=0.∴a%∴a=20．答：当a为20时，2026年的总种植成本为28920元．【解析】【分析】（1）先根据题意得到w与x的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质即可得到最值；

（2）设a%25．【答案】（1）解：将点A(1，0)和B(−5，0)代入解得b=−4c=5则抛物线的函数解析式为y=−（2）解：由题意可知，点D的坐标为D(m，对于二次函数y=−x当x=0时，y=5，即C(0，设直线BC的解析式为y=k将点B(−5，0)和C(0，5)代入得：则直线BC的解析式为y=x+5，∴F(m，∴DF=−m由二次函数的性质可知，当m=−52时，DF取得最大值，最大值为（3）解：y=−x则此二次函数的顶点坐标为P(−2，9)，对称轴为直线可设点Q的坐标为Q(−2，∴PQ2=(n−9)2①如图1，当CQ为菱形的对角线，PQ=PC时，∴PQ2=P解得n=9±25∴Q(−2，9+25由菱形的性质可知，PQ∥CR，∵C(0，∴当点Q的坐标为Q(−2，9+25当点Q的坐标为Q(−2，9−25②如图2，当PQ为菱形的对角线，QC=PC时，∴QC2=P解得n=1或n=9（此时点Q与点P重合，舍去），∴Q(−2，设此时点R的坐标为R(n∵菱形的对角线互相平分，∴n1+02∴此时点R的坐标为R(−4，③如图3，当CP为菱形的对角线，PQ=QC时，∴PQ2=Q解得n=13∴Q(−2，132由菱形的性质可知，PQ∥CR，∵C(0，∴R(0，5+5综上，点R的坐标为(0，5+25)或(0，【解析】【分析】（1）将点A和点B代入二次函数即可得到解析式；

（2）由题意可知，点D的坐标为D(m，−m2−4m+5)，进而根据二次函数与坐标轴的交点问题得到C(0，5)，再根据待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而得到F(m，m+5)，再根据坐标系中两点间的距离公式即可得到DF，进而根据二次函数的性质即可求解；

（3）先根据题意得到二次函数的顶点坐标为P(−2，9)，对称轴为直线x=−2，进而设点Q的坐标为Q(−2，n)，得到PQ2=(n−9)2，PC2=26．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠ADC=∠BCD=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∵AC⊥DE，∴∠CDE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CDF，又∵∠ADC=∠DCE=90