高等数学课件同济版泰勒公式

泰勒公式函数的导数导数的概念函数在某一点处的导数，表示函数在该点处的变化率。导数的几何意义导数是函数图像在该点处的切线的斜率。导数的计算可以通过求极限来计算函数的导数，也可以使用导数公式。泰勒公式的定义1定义设f(x)在x=a的某个邻域内具有n阶导数，则称2展开式为f(x)在x=a处的泰勒公式。3余项Rn(x)称为泰勒公式的余项。泰勒展开式1公式将函数展开成无穷级数形式2意义用多项式逼近函数3应用计算积分、求解微分方程泰勒公式的几何意义泰勒公式可以用多项式来近似地表示一个函数。从几何意义上来说，泰勒公式就是用一个多项式来逼近一个函数在某一点的局部行为，这个多项式的阶数越高，对函数的逼近就越精确。泰勒公式的几何意义可以用图形来直观地表示，例如，在某一点处，泰勒公式的二阶展开式对应着函数在该点的切线，而泰勒公式的更高阶展开式则对应着函数在该点的更高阶的曲线。泰勒公式的性质泰勒公式在满足一定条件下是唯一的。泰勒公式可以用来逼近函数。泰勒公式的收敛性取决于函数的导数。泰勒公式的应用1函数逼近泰勒公式可以用多项式来近似地表示一个函数，从而简化函数的运算和分析。2求解微分方程泰勒公式可以用来近似地求解一些微分方程的解，例如，可以用来求解常微分方程的数值解。3函数的积分泰勒公式可以用来近似地计算函数的积分，从而得到函数的数值积分。4数值计算泰勒公式可以用来近似地计算一些函数的值，例如，可以用来计算三角函数的值。幂级数幂级数是无限项级数的一种特殊形式，其通项为xn的形式，其中n是自然数，x是一个变量。幂级数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。1定义形如a0+a1x+a2x2+...+anxn+...的级数称为幂级数。2收敛域对于每个幂级数，都存在一个收敛域，在这个域内级数收敛。3性质幂级数在收敛域内具有许多性质，例如可微性、可积性、可加性、可乘性等。幂级数的概念定义形如∑n=0∞an(x-x0)n的无穷级数称为幂级数，其中an为常数，称为幂级数的系数，x0为常数，称为幂级数的中心。举例例如，∑n=0∞xn=1+x+x2+...是一个以x0=0为中心的幂级数，其系数为an=1。幂级数的收敛性1收敛半径确定幂级数收敛的范围2收敛区间收敛半径确定的区间内，幂级数收敛3收敛域包含收敛区间和端点幂级数的性质收敛域每个幂级数都有一个收敛域，在这个域内级数收敛，域外则发散。连续性在收敛域内，幂级数表示的函数是连续函数。可微性在收敛域内，幂级数可以逐项求导，所得的级数仍是收敛的，且其和函数为原函数的导函数。可积性在收敛域内，幂级数可以逐项积分，所得的级数仍是收敛的，且其和函数为原函数的积分。指数函数的泰勒展开式公式ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+o(xn)性质指数函数的泰勒展开式收敛于任何实数x应用可以用来近似计算指数函数的值，也可以用来求解一些微分方程三角函数的泰勒展开式1正弦函数sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...2余弦函数cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...3正切函数tan(x)=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+...对数函数的泰勒展开式1ln(1+x)x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...2ln(1-x)-x-x^2/2-x^3/3-x^4/4-...3ln(x)ln(a)+(x-a)/a-(x-a)^2/(2a^2)+(x-a)^3/(3a^3)-...双曲函数的泰勒展开式双曲正弦sinh(x)=x+x3/3!+x5/5!+...双曲余弦cosh(x)=1+x2/2!+x4/4!+...双曲正切tanh(x)=x-x3/3+2x5/15-...双曲余切coth(x)=1/x+x/3-x3/45+...双曲正割sech(x)=1-x2/2+5x4/24-...双曲余割csch(x)=1/x-x/6+7x3/360-...示例1:用泰勒公式计算1步骤一确定函数和展开点。2步骤二求出函数在展开点的各阶导数。3步骤三将导数的值代入泰勒公式，得到展开式。4步骤四根据需要，截取展开式的前几项作为近似值。示例2:用泰勒公式计算1计算e的近似值利用泰勒公式计算e的近似值2泰勒公式展开将e的泰勒展开式展开到n阶3误差估计利用拉格朗日余项估计误差示例3:用泰勒公式计算1计算sin(0.1)使用泰勒公式展开sin(x)至三阶项2展开结果sin(0.1)≈0.1-(0.1)^3/63计算近似值sin(0.1)≈0.09983示例4:用泰勒公式计算泰勒展开式根据泰勒公式，我们可以将sinx展开成一个无穷级数。求导对sinx进行求导，可以得到cosx，再继续求导，可以得到-sinx，再继续求导，可以得到-cosx，最后回到sinx，形成一个循环。代入将x=0代入上述求导结果，可以得到sinx在x=0处的泰勒展开式，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...计算利用上述泰勒展开式，我们可以计算sinx在x=0.1处的近似值，即sin(0.1)=0.1-0.1^3/3!+0.1^5/5!-0.1^7/7!+...≈0.099833。示例5:用泰勒公式计算1计算使用泰勒公式计算函数在某点处的近似值，如计算sin(0.1)的近似值。2误差估计计算泰勒公式的余项，以评估近似值的精度。3分析结果分析计算结果，并比较与实际值的误差。泰勒公式的误差估计泰勒公式的误差估计拉格朗日余项公式误差的度量余项公式误差大小与阶数的关系阶数越高，误差越小误差与区间长度的关系区间长度越长，误差越大泰勒公式的应用举例1近似计算泰勒公式可以用来近似计算函数值，尤其当函数的精确值难以计算时。2求解方程泰勒公式可以用来近似求解某些类型的方程，例如超越方程。3函数逼近泰勒公式可以用来用多项式函数逼近一个给定的函数，从而简化计算或分析。一维泰勒公式1一元函数一个变量的函数2多项式用泰勒公式展开3近似用多项式近似函数一维泰勒公式用于近似表示一元函数，将函数用多项式来表示，以方便计算和分析。多元泰勒公式1多元函数展开将多元函数展开成多项式形式2高阶偏导数利用多元函数的高阶偏导数3误差估计估算展开式与原函数之间的误差多元泰勒公式将多元函数在某一点附近展开成一个多项式，该多项式由函数在该点的值和高阶偏导数决定。它类似于一元泰勒公式，但需要考虑多个变量的偏导数，并引入多项式中的混合偏导数项。多元泰勒公式在多元函数的逼近、优化、数值积分等领域具有广泛的应用。多元函数的泰勒展开式1二阶展开式f(x+h,y+k)=f(x,y)+∂f/∂x*h+∂f/∂y*k+1/2*(∂²f/∂x²*h²+2*∂²f/∂x∂y*h*k+∂²f/∂y²*k²)+R₂(x,y,h,k)2三阶展开式f(x+h,y+k)=f(x,y)+∂f/∂x*h+∂f/∂y*k+1/2!*(∂²f/∂x²*h²+2*∂²f/∂x∂y*h*k+∂²f/∂y²*k²)+1/3!*(∂³f/∂x³*h³+3*∂³f/∂x²∂y*h²*k+3*∂³f/∂x∂y²*h*k²+∂³f/∂y³*k³)+R₃(x,y,h,k)3n阶展开式f(x+h,y+k)=f(x,y)+∑(i=1ton)(1/i!)*∑(j=0toi)(iCj*∂ⁱf/∂x^(i-j)∂y^j*h^(i-j)*k^j)+Rn(x,y,h,k)多元函数泰勒公式的应用优化问题可以用来寻找函数的极值点，例如求解非线性规划问题。近似计算可以用来近似计算复杂函数的值，例如计算积分或求解微分方程。误差分析可以用来分析函数近似的误差，例如估计数值计算的精度。总结及思考题泰勒公式的应用泰勒公式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如近似计算函数值、求解微分方程、分析函数的性质等。泰勒公式的局限性泰勒公式的应用也有一些局限性，例如当函数在展开点附近不光滑时，泰勒展开式可能不收敛或收敛速度很慢