（新教材适用）2023-2024学年高中数学第5章计数原理测评北师大版选择性

第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数为().A.9 B.12 C.18 D.242.从甲、乙等5人中选出3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是().A.12 B.24 C.36 D.483.将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有().A.252种 B.112种C.70种 D.56种4.若x-1xn展开式的第4项为含x3的项,则n等于A.8 B.9 C.10 D.115.x+ax2x-1x5,aA.40 B.20 C.20 D.406.我国首艘航空母舰辽宁舰在某次舰载机起降飞行训练中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有().A.12种 B.18种 C.24种 D.48种7.在(x+y)n的展开式中,第4项与第8项的系数相等,则展开式中系数最大的项是().A.第6项 B.第5项C.第5,6项 D.第6,7项8.若(3x)n(n∈N+)的展开式中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba+ab的最小值是A.2 B.1 C.32 D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列是组合问题的有().A.平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线B.10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场比赛C.从10人中选出3人作为代表去开会,有多少种选法D.从10名同学中选出3名担任不同学科的科代表,有多少种选法10.已知2x-ax8的展开式中各项系数的和为1,A.a可能为1B.展开式的二项式系数之和为256C.展开式中第4项的二项式系数最大D.展开式系数的绝对值的和可能为3811.为了提高教学质量,省教育局派五位教研员去某地的3所高中进行教学调研,则下列说法正确的有().A.不同的调研安排方案有243种B.若每所高中至少去一位教研员,则不同的调研安排方案有150种C.若每所高中至少去一位教研员,则不同的调研安排方案有300种D.若每所高中至少去一位教研员,且甲、乙两位教研员不去同一所高中,则不同的调研安排方案有114种12.已知(12x)2021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021,则().A.展开式的二项式系数之和为22021B.展开式中所有奇数项系数的和为3C.展开式中所有偶数项系数的和为3D.a12+a22三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽,目前建有“三纵一横”4条跑道,分别叫西一跑道、西二跑道、东跑道、北跑道,示意图如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞,有种不同的安排方法;若西一跑道、西二跑道至少有一条跑道被选取,则有种不同的安排方法.(用数字作答)

(第13题)14.甲、乙等五名志愿者被分配到某展会的四个展馆四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名志愿者,则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有种.(用数字作答)

15.若(x+1)3+(x2)8=a0+a1(x1)+a2(x1)2+…+a8(x1)8,则a2=.

16.(1+sinx)6的展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x在区间[0,2π]上的值为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)解方程:(1)C13(2)Cx18.(12分)平面上有9个点,其中有4个点共线,除此之外无3点共线.(1)用这9个点可以确定多少条直线?(2)用这9个点可以确定多少个三角形?(3)用这9个点可以确定多少个四边形?19.(12分)已知在3x-33xn(1)求n;(2)求含x2的项的系数;(3)求展开式中所有的有理项.20.(12分)从7名男生、5名女生中选出5人,求分别满足下列条件的选法种数.(1)A,B必须被选出;(2)至少有2名女生被选出;(3)选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同班委,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.21.(12分)已知x+12xn的展开式中前三项的系数a0,a1,a2满足2a1(1)求n的值;(2)求展开式中系数最大的项.22.(12分)用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.

参考答案第五章测评1.D展开后的不同项数为C41C312.D①若不选甲,则排法种数为A43=24;②若选甲,则先从后两个位置中选一个给甲,再从其余的4人中选2人排列.排法种数为C21A42=24.由分类加法计数原理,可得不同的排法种数为24+3.B分为2类:第1类,甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人;第2类,一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有C73A22+C74.B二项式通项为Tk+1=Cnk·xnk·-1xk=Cnk·(1)k因为当k+1=4时,n2k=3,所以n=9.5.D由题意,令x=1得展开式各项系数的和为(1+a)(21)5=2,解得a=1.∵2x-1x5的二项式通项为Tr+1=C5r(1)r·25r∴x+x·C53(1)322·x1+1x·C52·(1)2·23·6.C丙、丁不能相邻着舰,则将其余3机先排列,再将丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体,故除丙、丁外其余3机的排列方法有2×2=4种,有三个“空”供丙、丁选择,即A32=6根据分步乘法计数原理,共有4×6=24种着舰方法.7.A已知第4项与第8项的系数相等,则这两项的二项式系数也相等,即Cn3=Cn7,由组合数的性质,得n=10.8.D令x=1,得a=2n;令x=1,得b=4n.所以ba+ab=2n+19.ABCA是组合问题,因为两点确定一条直线,与点的顺序无关;B是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别;C是组合问题,因为选出的三个代表之间没有顺序的区别;D是排列问题,因为选出的三名同学担任哪一科的科代表是有顺序区别的.10.ABD对于选项A,令x=1,由(2a)8=1,得a=1或a=3,故A正确;对于选项B,展开式的二项式系数之和为28=256,故B正确;对于选项C,展开式中第5项的二项式系数最大,故C错误;对于选项D,当a=1时,2x1x8展开式系数的绝对值的和与2x+1x8展开式系数的和相等,令x=1,得系数的和是38;当a=3时,2x3x8展开式系数的绝对值的和与2x+3x8展开式系数的和相等,令x=1,得系数的和是58,故D正确.故选ABD.11.ABD对于A选项,每位教研员有三所高中可以选择,故不同的调研安排方案共有35=243种,故A正确;对于B,C选项,若每所高中至少去一位教研员,则可先将五位教研员分组,再分配,五位教研员的分组形式有两种:3,1,1;2,2,1,分别有C53C21C11A22=10种,C52C32C11对于D选项,将甲、乙两位教研员看成一人,则每所高中至少去一位教研员,且甲、乙两位教研员去同一所高中的调研安排方案有C42C21C11A22×A33=3612.ABD展开式的二项式系数之和为22021,故A正确;令x=1,则(12)2021=a0+a1+a2+…+a2021=1,①令x=1,则(1+2)2021=a0a1+a2…a2021=32021,②①+②,得2(a0+a2+…+a2020)=320211,所以展开式中所有奇数项的系数的和为32021-12,①②,得2(a1+a3+…+a2021)=132021,所以展开式中所有偶数项的系数的和为-1-320212令x=12,有12×122021=a0+a12+a222+…+a202122021所以a12+a222+…+a202113.1210若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞,有A42=12种不同的安排方法;若西一跑道、西二跑道至少有一道被选取,有A4214.72由于甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作,故先安排甲、乙两人,有A42=12种排法;再安排剩余三人,则有C31A22=6种排法.因此15.34因为(x+1)3+(x2)8=[(x1)+2]3+[(x1)1]8,所以a2(x1)2=C31(x1)221+C86(x1)2(1)6=34(x1)2.所以a16.π6或5π6由题意,得T4=C63sin3x=20sin3x=52,∴sinx=12.∵x17.解(1)由原方程,得x+1=2x3或x+1+2x3=13,解得x=4或x=5.由0≤x+1≤13,0≤2x-3≤13,解得2≤(2)原方程可化为Cx即Cx+35=即1120化简得x2x12=0,解得x=4或x=3(舍去),经检验,x=4是原方程的解.18.解(1)确定一条直线需要两个点,因为有4个点共线,所以这9个点所确定的直线条数为C92-C4(2)确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这9个点所确定的三角形个数为C93-(3)确定一个四边形需要四个不共线的点且任意三点不共线,所以这9个点所确定的四边形个数为C94-19.解(1)二项式通项为Tk+1=Cnkxn-k3(3)kx因为第6项为常数项,所以当k=5时,n-2k3=0,(2)由(1)知二项式通项为Tk+1=C10k(3)kx10-令10-2k3=2,因此,所求的系数为C102(3)2=(3)根据二项式通项,由题意得10令10-2k3=r(r∈Z),得102k=3r,即因为0≤k≤10,且k∈N,所以r可取2,0,2,即k可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项,它们分别为C102(3)2x2,C105(3)5,C1020.解(1)根据题意,先选出A,B,再从其他10名同学中选出3名,共有选法种数为C103=(2)按女生的选取人数情况分类:选2名女生、3名男生;选3名女生、2名男生;选4名女生、1名男生;选5名女生.故所有选法种数为C52C(3)先选出1名男生担任体育委员,再选出1名女生担任文娱委员,然后从剩余的10名同学中任选3名担任其他3个班委.由分步乘法计数原理可得所有选法种数为C71·21.解(1)由题意,得Cn0×120+14×Cn2=2×12×Cn1(2)二项式通项为Tk+1=C8kx8k12x设第(r+1)项的系数最大,则1解得2≤r≤3.又因为r∈N+,所以r=2或r=3.所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x722.解(1)将所有的三位偶数分为2类:第1类,个位上的数字为0,则有A42=12第2类,个位上的数字为2或4,则有