【模块2】（方程（组）与不等式（组））教师版

模块二方程（组）与不等式（组）

第一讲一次方程（组）及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：方程的相关概念及等式的性质

1、方程的相关概念

含有未知数的叫做方程;使方程左右两边的值相等的的值叫做方程的解;求方程的

解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的。

2、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）

基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.

基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.

性质3：如果ab，那么ba（对称性）

性质4：如果ab，bc，那么ac（传递性）

知识点2：一元一次方程及其解法

1、一元一次方程:只含有个未知数(元)，并且未知数的次数都是，等号两边都是整式，这

样的方程叫做一元一次方程。任何一个一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常数，且a≠0）的形式。

温馨提示

形如axb0(其中a，b为常数，且a0)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)

原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。

2、解一元一次方程的一般步骤

1x4x1若未知数的系数有分母，则要去分母。注

例：1

23去分母意要在方程的两边都乘以各分母的最小公

倍数。

解：去分母：31x24x16

若方程含有括号，则先去小括号，再去中

去括号：33x8x26

括号，最后去大括号。若去括号时括号前

去括号

移项：8x3x263是负号，去掉括号后，括号内的各项均

合并同类项：11x11要。

系数化为1：

x1把含有未知数的项移到等式的一边，其他

移项项移到另一边。一般把含的项移到

注：本题中去分母时，方程右侧的-1等式左边。移项要改变符号。

易漏乘最小公倍数；移项时易忘变

合并同类项把方程化成axb（a0）的形式。

号。

方程两边同未知数的系数，得到方

系数化为1

程的解。

知识点3：二元一次方程（组）及其解法

1、二元一次方程（组）定义

定义方程的解解的情况

二元一次含有个未知数，并且所含未使二元一次方程两边的值的两有无数组解

方程知数的项的次数都是1的方程。个未知数的值。

二元一次把具有相同未知数的两个二元一一般地，二元一次方程组的两个方程只有一组公共解

方程组次方程合在一起。的 叫做二元一次方程组的解。

2、二元一次方程（组）的解法（基本思想是“消元”）

（1）代入消元法：将一个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另

一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

（2）加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等(或通过适当变形后可以

使同一个未知数的系数相反或相等)时，把这两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，

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化二元一次方程组为一元一次方程。

消元法使用技巧（解题时依据方程自身特点，灵活运用消元思想）

一般地，当二元一次方程组中的一个方程的某个未知数的系数是1或-1时，选择代入消元法较简

单。

当二元一次方程组中两个方程的某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数关

系时，选择加减消元法较简单。

注：还可以用整体代入消元或换元法化繁为简，快速解题。

知识点4：*三元一次方程组

1.三元一次方程组:一个方程组中含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的

次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.解三元一次方程组的基本思路

三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程

知识点5：一次方程（组）的实际应用

1、列一次方程(组)解应用题的步骤

审：审清题意，分清题中的已知量、未知量，搞清题中的等量关系；

设：设关键未知数；

列：根据题中的等量关系，列方程(组)；

解：解方程(组)；

验：检验所解答案是否符合题意；

答：规范作答，注意单位名称。

2、常见的关系式

基本关系式:路程=速度×时间.

行程问题相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=总路程.

追及问题:同地不同时出发:前者走的路程=后者走的路程;同时不同地出发:慢者走的路程+两地间距离=快者走的路

程.

储蓄问题本金×利率×期数=利息,本金+利息=本息和.

利润

销售问题总价=单价×数量,利润率=×100%,利润=售价-成本(或进价)=利润率×成本.

成本

分配问题总量=甲的数量+乙的数量,总金额=甲的金额+乙的金额.

工程问题工作总量=工作效率×工作时间,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.

增长率问

已知基础量为a,增长后为b,若设增长率为x,则可得a(1+x)=b.

题

数字问题十位a，个位b，表示为10a+b；百位a，十位b，个位c，表示为100a+10b+c

直击中考胜券在握

1．（四川省南充市2019年中考数学试题）关于x的一元一次方程2xa2m4的解为x1，则am的值为（）

A．9B．8C．5D．4

【答案】C

【分析】

根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．

【详解】

解：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1，

可得：a-2=1，2+m=4，

解得：a=3，m=2，

第2页共57页.

所以a+m=3+2=5，

故选C．

【点睛】

此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．

11

2．解一元一次方程(x1)1x时，去分母正确的是（）

23

A．3(x1)12xB．2(x1)13x

C．2(x1)63xD．3(x1)62x

【答案】D

【分析】

根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．

【详解】

解：方程两边都乘以6，得：

3（x+1）＝6﹣2x，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．

2xy3①

3．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）解方程组时，若将①-②可得（）

2x3y4②

A．2y1B．2y1C．4y1D．4y1

【答案】D

【分析】

根据加减消元法即可得．

【详解】

解：①-②得：2xy(2x3y)34，

即4y1，

故选：D．

【点睛】

本题考查了加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题关键．

xya1

4．若关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程x＋2y＝﹣1的解，则a的值为（）

xy3a5

．．．1．

A2B1C2D0

【答案】D

【分析】

解方程组，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得到关于a的方程，解方程即可．

【详解】

第3页共57页.

xya1①

解：，

xy3a5②

①+②得

2x=2a+6，

x=a+3，

把代入①，得

a+3+y=-a+1，

y=-2a-2，

∵x＋2y＝﹣1

∴a+3+2(-2a-2)=-1，

∴a=0，

故选D．

【点睛】

本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，解方程组，用a表示x，y，把x，y代入x＋2y＝﹣1中得

到关于a的方程是解题的关键．

2

5．已知5xy3xy10，则（）

3

x

x1x2x02

A．B．C．D．

y0y1y03

y

2

【答案】B

【分析】

根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．

【详解】

xy30

解：由题意可知：

xy10

x2

解得：，

y1

故选：B．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．

6．某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，相对于进货价仍获利20%，该商品的进货价为（）

A．80元B．85元C．90元D．95元

【答案】C

【解析】

试题分析：商品的实际售价是标价×90%=进货价+所得利润（20%•x）．设该商品的进货价为x元，根据题意列方

程得x+20%•x=120×90%，解这个方程即可求出进货价．

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解：设该商品的进货价为x元，

根据题意列方程得x+20%•x=120×90%，

解得x=90．

故选C．

考点：一元一次方程的应用．

7．（2021·四川南充·中考真题）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，

设每个肉粽x元，则可列方程为（）

A．10x5(x1)70B．10x5(x1)70

C．10(x1)5x70D．10(x1)5x70

【答案】A

【分析】

根据题意表示出肉粽和素粽的单价，再列出方程即可．

【详解】

设每个肉粽x元，则每个素粽的单价为（x-1）元，

由题意：10x5(x1)70，

故选：A．

【点睛】

本题考查列一元一次方程，理解题意，找准数量关系是解题关键．

8．（2021·黑龙江·中考真题）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180

元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种

奖品每件10元，则购买方案有（）

A．5种B．6种C．7种D．8种

【答案】A

【分析】

设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得15x10y180，进而求解即可．

【详解】

解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得：

15x10y180，

3

∴y18x，

2

∵x0,y0，且x、y都为正整数，

∴当x2时，则y15；

当x4时，则y12；

当x6时，则y9；

当x8时，则y6；

当x10时，则y3；

∴购买方案有5种；

第5页共57页.

故选A．

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．

9．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百

合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）

A．3种B．4种C．5种D．6种

【答案】B

【分析】

设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为

正整数即可得出小明有4种购买方案．

【详解】

解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，

依题意，得：2x+3y＝30，

2

∴y＝10﹣x．

3

∵x，y均为正整数，

x3x6x9x12

∴，，，，

y8y6y4y2

∴小明有4种购买方案．

故选：B．

【点睛】

本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

10．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱

购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用

完的情况下，有多少种购买方案（）

A．12种B．15种C．16种D．14种

【答案】D

【分析】

设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得10x20y30z200，化简后根据x,y,z均为正

整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．

【详解】

解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，

根据题意列方程得10x20y30z200，

即x2y3z20，

由题意得x,y,z均为正整数．

①当z=1时，x2y17

17y

∴x，

2

第6页共57页.

∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；

②当z=2时，x2y14

14y

∴x，

2

∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；

综上所述：共有8+6=14种购买方案．

故选：D

【点睛】

本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．

11．（2021·广东·深圳中学八年级期中）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲

得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如

2

果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人

3

各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（）

11

xy50xy502xy502xy50

22

A．B．C．2D．2

22xx50xy50

yx50yx5033

33

【答案】A

【分析】

根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，

即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【详解】

1

xy50

2

解：依题意，得：，

2

yx50

3

故选：A．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

1

12．（2021·湖南怀化·中考真题）定义ab2a，则方程3x42的解为（）

b

1234

A．xB．xC．xD．x

5555

【答案】B

【分析】

根据新定义,变形方程求解即可

【详解】

1

∵ab2a,

b

第7页共57页.

11

∴3x42变形为2324,

x2

2

解得x，

5

2

经检验x是原方程的根，

5

故选B

【点睛】

本题考查了新定义问题，根据新定义把方程转化一般的分式方程，并求解是解题的关键

13．（2020·四川南充·中考真题）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那

么最多可以购买钢笔_______支．

【答案】10

【分析】

首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得

7x

y=20-，根据x最大且又能被5整除，即可求解．

5

【详解】

100-7x7x

设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则y==20-，

55

∵x最大且又能被5整除，y是正整数，

∴x=10，

故答案为：10．

【点睛】

此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．

14．（2021·山东泰安·中考真题）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得

甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半

2

的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持

3

钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为________．

y

x50

2

【答案】

2

xy50

3

【详解】

2

【分析】甲持钱数为x，乙持钱数为y，根据题意可得：甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，

3

据此列方程组即可.

【详解】由题意可得，

第8页共57页.

y

x50

2

，

2

xy50

3

y

x50

2

故答案为．

2

xy50

3

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出合适的等量关系是解题的关键.

2x3y5a

15．（2022·全国·九年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组满足xy0，则a的取值

x4y2a3

范围是____．

【答案】a1．

【分析】

根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出xy，再根据xy0，即可求得a

的取值范围，本题得以解决．

【详解】

2x3y5a①

解：

x4y2a3②

①-②，得xy3a3

∵xy0

∴3a30，

解得a1，

故答案为：a1．

【点睛】

本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键．

3xmy5x1

16．（山东省滨州市2018年中考数学试题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5

b的二元一次方程组的解是_______．

2(ab)n(ab)6

3

a

2

【答案】

1

b

2

【分析】

3xmy5x1

方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组

2xny6y2

即可求解；

3(ab)m(ab)=5ab1

方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a,b．

2(ab)n(ab)6ab2

第9页共57页.

【详解】

3xmy5x1

详解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，

2xny6y2

x13xmy5

∴将解代入方程组

y22xny6

可得m=﹣1，n=2

3abmab=54a2b5

∴关于a、b的二元一次方程组整理为：

2abnab64a6

3

a

2

解得：

1

b

2

3xmy5x1

方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是

2xny6y2

3(ab)m(ab)=5ab1

∴方程组的解是

2(ab)n(ab)6ab2

3

a

ab12

解得

ab21

b

2

3

a

2

故答案为：．

1

b

2

【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．

1016

17．（2021·广东·九年级专题练习）已知a2b，3a4b，则ab的值为_________．

33

【答案】1

【分析】

观察已知条件可得两式中a与b的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．

【详解】

1016

解：a2b①，3a4b②，

33

②-①得，2a+2b=2，

解得：a+b=1,

故答案为：1．

【点睛】

此题主顾考查了二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．

第10页共57页.

ab(ab)

．（浙江浙江七年级期中）对于实数，，定义运算※：a※，例如※，因为，

182021··ab“”222323

ab(ab)

x4y8

所以2※3236．若x,y满足方程组，则x※y____．

2xy29

【答案】13

【分析】

根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．

【详解】

x4y8

解：由题意可知：，

2xy29

x12

解得：，

y5

∵x＞y，

∴原式=1225213，

故答案为：13．

【点睛】

本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，

本题属于基础题型．

3xy4

19．（2021·江苏苏州·中考真题）解方程组：.

x2y3

x1

【答案】.

y1

【详解】

分析:（1）根据代入消元法，可得答案.

3xy4①

详解:

x2y3②

由②得：x=-3+2y③，

把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，

解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1，

x1

则原方程组的解为：.

y1

点睛:此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

20．（2021·四川·石室中学八年级期中）解方程组：

x2y10

（1）；

y2x

第11页共57页.

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7．

422

x2x3

【答案】（1）；（2）

y4y5

【分析】

（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；

3(xy)2(xy)10

（2）先整理原方程得然后把xy和xy当做一个整体利用加减消元法求出

xy2xy14

xy2③，xy8④，然后利用加减消元法求解即可．

【详解】

x2y10①

解：（1），

y2x②

把②代入①中得：x4x10，解得x2，

把x2代入②中得，y4，

x2

∴方程组的解集为；

y4

3(xy)2(xy)10

（2）xyxy7

422

3(xy)2(xy)10①

整理得：，

xy2xy14②

用①-②得：2xy4，解得xy2③，

把③代入①得：62xy10，解得xy8④，

用③+④得：2x6，解得x3，

把x3代入③得y5，

x3

∴方程组的解为．

y5

【点睛】

本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握解二元一次方程组的方法．

ax23y103xy2

21．（广东省2020年中考数学试题）已知关于x，y的方程组与的解相同．

xy4xby15

（1）求a，b的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2axb0的解．试判断该三角形

的形状，并说明理由．

【答案】（1）43；12（2）等腰直角三角形，理由见解析

【分析】

第12页共57页.

ax23y103xy2

（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组

xy4xby15

xy4

的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；

xy2

（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三

角形的形状．

【详解】

解：由题意列方程组：

xy4x3

解得

xy2y1

将x3，y1分别代入ax23y103和xby15

解得a43，b12

∴a43，b12

（2）x243x120

434848

解得x23

2

这个三角形是等腰直角三角形

理由如下：∵(23)2(23)2(26)2

∴该三角形是等腰直角三角形．

【点睛】

本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是

得出正确答案的关键．

22．（2021·陕西·中考真题）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售

10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．

【答案】这种服装每件的标价是110元

【分析】

设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可．

【详解】

解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得

100.8x11x30，

解得x110；

答：这种服装每件的标价是110元．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．

23．（2021·湖南邵阳·中考真题）为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，

第13页共57页.

并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校

后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图．

请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金

额．

【答案】购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

【分析】

根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可

【详解】

解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本

根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个

钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元

xy50

则有

15x5y400

x15

解得：

y35

则购置笔记本金额为：35×5=175元

购置钢笔金额为：15×15=225元

答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元

【点睛】

本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键

24．（2021·贵州安顺·中考真题）为庆祝“中国共产党的百年华诞”，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动

的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如

下表：

产品展板宣传册横幅

11

制作一件产品所需时间（小时）1

52

制作一件产品所获利润（元）20310

第14页共57页.

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作．求制作三种产品总量的最小值．

【答案】（1）制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；（2）制作三种产品总量的最小值为75．

【分析】

（1）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解；

1007x

（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，可得y，结合x，y取正整数，可得制作三

2

种产品总量的最小值．

【详解】

（1）解：设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，

20x35x10y450

x10

根据题意得：11，解得：，

x5xy25y10

52

5×10=50，

答：制作展板、宣传册和横幅的数量分别是：10，50，10；

（2）设展板数量为x，则宣传册数量为5x，横幅数量为y，制作三种产品总量为w，

由题意得：20x35x10y700，即：7x2y100，

1407x

∴y，

2

1407x1405x5

∴w=x5xy6x70x，

222

∵x，y取正整数，

∴x可取的最小整数为2，

5

∴w=70x的最小值=55，即：制作三种产品总量的最小值为75．

2

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组以及一次函数的实际应用，根据数量关系，列出方程组以及一次函数的解析式，是

解题的关键．

25．（2021·四川泸州·中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5

辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．

（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？

（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满

载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指

出哪种运输方案费用最少．

【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用

A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租

用A型车8辆，B型车2辆最少．

【分析】

第15页共57页.

（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90

吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；

（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，

n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．

【详解】

解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，

3x2y90

根据题意可得：，

5x4y160

x20

解得：，

y15

答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；

（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，

383n

依题意得：20m+15n=190，即m，

4

又∵m，n均为正整数，

m8m5m2

∴或或，

n2n6n10

∴共有3种运输方案，

方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；

方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；

方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．

方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；

方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；

方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；

∵4800＜4900＜5000，

∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元

一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的

辆数分别求出三种运输方案的总费用．

模块二方程（组）与不等式（组）

第二讲一元二次方程及其应用

知识梳理夯实基础

知识点1：一元二次方程及其解法

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次是的，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式（又叫标准形式）

第16页共57页.

ax2bxc0，其中ax2叫做，a是二次项的系数；bx叫做，b是；c

叫。a，b，c是任意实数，且a0。

一元二次方程的解法

解法适用情况方程的根

2

xmm0x1m，x2m

直接开平方2

xnpp0

x1np，

ax2bxc0（a0，0）→

配方法2xnp

xnpp02

公式法ax2bxc0（a0，b24ac0）x

2

因式分解法axbxc0→axmxn0x1m，x2n

对于一元二次方程的四种解法，要结合方程中的具体数据进行选择，一般地，直接开平方法、因式

分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。

知识点2：一元二次方程根的判别式

0方程实数根

一元二次方程ax2bxc0

0方程实数根

（a0）的判别式=b24ac

0方程实数根

易错点：因忽视一元二次方程二次项系数不为零的隐含条件，导致失分。

如：已知关于x的一元二次方程ax23x10有两个实数根,求a的取值范围.

知识点3：一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）

bc

若x，x是一元二次方程ax2bxc0的两个实数根，那么xx，xx

1212a12a

知识点4：一元二次方程的应用

实际数量-基准数量

（1）增长率=100%

基准数量

基准数量-降低后达到数量

（2）降低率=100%

基准数量

变化率问题

（3）设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增

n

长后的量,则a1mb；当m为平均下降率,b为下降后的

n

量时,a1mb

本息和=本金+利息

利率问题

利息=本金×利率×期数

毛利润=销售总额-进货总额

纯利润=销售总额-进货总额-其他费用

销售利润问题利润率=利润÷成本×100%

销售总额=售价×销量

进货总额=进价×进货数量

若共有n个队，每个队都与其他队比赛一场，则一共比赛

单循环问题nn1

场

2

第17页共57页.

直击中考胜券在握

1．（2021·临沂中考）方程x2x56的根是（）

，，，，

A．x17x28B．x17x28C．x17x28D．x17x28

【答案】C

【分析】

利用因式分解法解方程即可得到正确选项．

【详解】

解：∵x2x56，

∴x2x560，

∴x7x80，

∴x+7=0，x-8=0，

∴x1=-7，x2=8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两

个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．

2．（2021·丽水中考）用配