2024秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE6-3.1.5空间向量运算的坐标表示自主预习·探新知情景引入向量的坐标表示为我们展示了一幅漂亮的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？新知导学1．空间向量运算的坐标表示设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，依据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__；②a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__；③λa＝__(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)__；④a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__.(2)向量平行、垂直，向量的模、夹角的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①若a∥b(b≠0)，则__eq\a\vs4\al(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，,a3＝λb3.)))__②若a⊥b，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.③|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(3,3))__；④cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).2．向量的坐标及两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1，z2－z1)__，dAB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)__.预习自测1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(D)A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6[解析]a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝eq\r(42＋－22＋42)＝6，故选D.2．(2024－2024学年北京市房山区期末检测)已知向量a＝(2，－3,5)与向量b＝(4，x，－1)垂直，则实数x的值为(B)A．－1 B．1C．－6 D．6[解析]向量a＝(2，－3,5)，与向量b＝(4，x，－1)垂直，则a·b＝0，由数量积的坐标公式可得：2×4＋(－3)×x＋5×(－1)＝0，解得x＝1，故选B.3．(安徽省蚌埠市2024－2024学年高二期末)空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为(B)A．(－1,2,3) B．(1，－2,3)C．(1,2，－3) D．(－1，－2，－3)[解析]点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为(1，－2,3)，选B.4．(福建厦门市2024－2024学年高二质检)已知命题p：若a＝(1，－2,3)，b＝(－2,4，－6)，则a∥b；命题q：若a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)，则a⊥b.下列命题为真命题的是(D)A．p∧q B．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∨q D.p∧(¬q)[解析]命题p：若a＝(1，－2,3)，b＝(－2,4，－6)，可知b＝－2a，∴a∥b，∴命题p是真命题；又命题q：若a＝(1，－2,1)，b＝(1,0,1)，∴a·b＝1＋0＋1＝2≠0，则a与b不垂直，∴命题q是假命题．∴p∧(¬q)为真命题．故选D.5．已知A点的坐标是(－1，－2,6)，B点的坐标是(1,2，－6)，O为坐标原点，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角是__π__.[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，－2,6)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,2，－6)，cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝－1，∵〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝π.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶向量运算的坐标表示典例1已知a＝(2，－1,3)、b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b(3)a·b;(4)(a＋b)·(a－b)．[规范解答](1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－0－1－4＝9.『规律总结』空间向量的坐标运算类似于平面对量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的学问解决立体几何问题供应了有力的工具．┃┃跟踪练习1__■已知向量a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，则：(1)a·(b＋c)＝__9__；(2)(a＋2b)·(a－2b)＝__－38__.[解析](1)b＋c＝(2,0,5)，a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,0,5)＝9.(2)|a|＝eq\r(14)，|b|＝eq\r(13)，(a＋2b)·(a－2b)＝|a|2－4|b|2＝－38.命题方向❷向量平行与垂直的坐标表示典例2正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1、BD上的点，且3B1P＝D1P，BD＝4DQ，求证：PQ⊥AE.[规范解答]如图所示，以D为原点，eq\o(DA,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)、E(0,0，eq\f(1,2))，Q(eq\f(1,4)，eq\f(1,4)，0)、P(eq\f(3,4)，eq\f(3,4)，1)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,2))，eq\o(QP,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))＝(－1,0，eq\f(1,2))·(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(QP,\s\up6(→))，即AE⊥PQ.『规律总结』向量平行与垂直的坐标表示是重要学问点，应娴熟驾驭．含参数的向量平行，应用比例式求参数值时，要留意其前提条件．┃┃跟踪练习2__■设a＝(1,5，－1)、b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k＝__－eq\f(1,3)__.[解析]ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以eq\f(k－2,7)＝eq\f(5k＋3,－4)＝eq\f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq\f(1,3).学科核心素养向量的夹角与长度1．求点的坐标时，肯定要留意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同，不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．2．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否便利建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，假如简单表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最终将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不便利用坐标表示时，可干脆设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算，最终转化为相应几何结论．3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要留意共线的情形．典例3在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．(1)求证：EF⊥B1C(2)求EF与C1G[规范解答]如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则有E(0,0，eq\f(1,2))、F(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)、C(0,1,0)、C1(0,1,1)、B1(1,1,1，)、G(0，eq\f(3,4)，0)．(1)eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)－(0,0，eq\f(1,2))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1，0，－1)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋(－eq\f(1,2))×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1C,\s\up6(→))，即EF⊥B1C.(2)∵eq\o(C1G,\s\up6(→))＝(0，eq\f(3,4)，0)－(0,1,1)＝(0，－eq\f(1,4)，－1)．∴|eq\o(C1G,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(17),4).又eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(C1G,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×(－eq\f(1,4))＋(－eq\f(1,2))×(－1)＝eq\f(3,8)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，∴cos<eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(C1G,\s\up6(→))>＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(C1G,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|·|\o(C1G,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(51),17).即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为eq\f(\r(51),17).『规律总结』依据正方体的特别性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，应用数量积、夹角公式即可．┃┃跟踪练习3__■(2024·福州市八县市协作校期末)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E，F分别是AB，AD的中点，PF⊥平面ABCD，且AB＝BC＝PF＝eq\f(1,2)AD＝2，则异面直线PE，CD所成的角为(B)A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]将该几何补形为一个长宽高分别为4,2,2的长方体，建立空间直角坐标系如图所示，则：P(0,2,2)，E(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)．据此计算可得：eq\o(PE,\s\up6(→))＝(1，－2，－2)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2－4＋0＝－6，|eq\o(PE,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋4＋4)＝3，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(4＋4＋0)＝2eq\r(2)，设异面直线PE，CD所成的角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(PE,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(PE,\s\up6(→))|×|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),2)，∴θ＝45°.故选B.易混易错警示典例4已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(B)A．(－2，＋∞)B．(－2，eq\f(5,3))∪(eq\f(5,3)，＋∞)C．(－∞，－2)D．(eq\f(5,3)，＋∞)[错解]因为a与b的夹角为钝