2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.3平面向量加减运算的坐标表示6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示习题含解析新人教A版必修第二册

.3.3平面对量加、减运算的坐标表示6.3.4平面对量数乘运算的坐标表示课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)下列各对向量中,不共线的是()A.a=(2,3),b=(3,-2)B.a=(2,3),b=(4,-6)C.a=(,-1),b=(1,)D.a=(1,),b=(,2)解析A,B,C中各对向量均不满意共线向量定理,D中b=a,两个向量共线.答案ABC2.(2024浙江高一期中)已知向量a,b满意a=(1,2),b=(2,0),则2a+b=()A.(4,4) B.(2,4)C.(2,2) D.(3,2)解析由题得2a+b=(2,4)+(2,0)=(4,4).答案A3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于()A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0)解析∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即即c=(-2,0).故选D.答案D4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则等于()A.-2 B.2 C.- D.解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).因为a-2b与非零向量ma+nb共线,所以,解得14m=-7n,=-.答案C5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为()A. B.C.(3,2) D.(1,3)解析设顶点D的坐标为(x,y),因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,所以所以所以选A.答案A6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.

解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.答案7.已知平面对量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b=.

解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).答案(14,7)8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=.

解析=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).因为A,B,C共线,所以共线,所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得所以m+n=9或m+n=.答案9或9.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).∴∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).故=(-2,-4).10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).(1)求实数x的值,使向量共线;(2)当向量共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?解(1)=(x,1),=(4,x).∵,∴x2=4,x=±2.(2)由已知得=(2-2x,x-1),当x=2时,=(-2,1),=(2,1),∴不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),∴,此时A,B,C三点共线.又,∴A,B,C,D四点在一条直线上.综上,当x=2时,A,B,C,D不在一条直线上;当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满意a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及的坐标.解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).∴(3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).设N(x2,y2),由=-2b,得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).∴解得∴N(9,2).∴=(9,-18).12.如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.解因为(0,5)=,所以C.因为(4,3)=,所以D.设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20.②联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.实力提升练1.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是()A.-1 B.0 C.1 D.2解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤.∴y的取值范围是[-].答案ABC2.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则λ等于()A.2 B. C.-3 D.-解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,||=1,∴||=.∵=λ,λ<0,∴|λ|==3.∴λ=-3.答案C3.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“”,向量ab=(a1,b1)(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sinx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满意=m+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为()A.-1 B.-2 C.2 D.解析由题意知,点P的坐标为(x,sinx),则=m+n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满意y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.答案B4.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量=.

解析设=(m,n),则=(-n,m),所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此.答案5.(2024内蒙古高一检测)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为.

解析因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.答案-26.(2024四川阆中中学高一期中)已知=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若=2,求点C的坐标.解由题意知,=(2,-2),=(a-1,b-1).(1)∵A,B,C三点共线,∴,∴2(b-1)-(-2)×(a-1)=0,∴a+b=2.(2)∵=2,∴(a-1,b-1)=2(2,-2)=(4,-4),∴解得∴点C的坐标为(5,-3).7.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.解如图所示,以点O为原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.∵||=1,∠AOB=150°,∴B(-cos30°,sin30°),∴B.∵||=3,∴C(-3sin30°,-3cos30°),即C.又A(2,0),∴-(2,0)=,=.素养培优练(2024上海高二检测)已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当