2024-2025学年高中数学周练卷5习题含解析新人教A版必修2

周练卷(5)一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是(A)A．平行 B．异面C．相交 D．垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，依据线面垂直的性质定理得l∥m.2．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(C)A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不肯定垂直解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.3．若两个平面相互垂直，第一个平面内的一条直线a垂直于其次个平面内的一条直线b，那么(C)A．直线a垂直于其次个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不肯定垂直于其次个平面D．a必定垂直于过b的平面解析：若b为两个平面的交线，则直线a垂直于其次个平面；若b不是两个平面的交线，则直线a不肯定垂直于其次个平面．4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(C)A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.5．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1AA.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)解析：取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知∠FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设AB＝a，则AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝eq\r(2)a，在△EFC1中可求出EF＝eq\r(3)a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝eq\f(FG,EF)＝eq\f(\r(3),3)，故选C.6．如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为eq\f(1,3)解析：因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.7.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP⊥A．4 B．2＋eq\r(2)C．3＋eq\r(5) D．2＋eq\r(5)解析：如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM的周长等于2＋eq\r(5).故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)8．已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线PA⊥l，则AP与平面α的位置关系是AP⊂α.解析：设AP与l确定的平面为β.假设AP⊄α，不妨设α∩β＝AM，AP与AM不重合，如图所示．因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直冲突，所以假设不成立．所以AP⊂α.9.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B­AD­C′为60°，则折叠后二面角A­BC′­D的正切值为2.解析：易知∠BDC′即二面角B­AD­C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A­BC′­D的平面角即∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2eq\r(3)，在等边三角形BDC′中，易知DM＝eq\r(3)，所以tan∠AMD＝eq\f(AD,DM)＝2.10．下列四个命题中，真命题的个数为1.①假如两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．解析：只有③正确．11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满意DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，因为四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC，所以BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答题(共45分)12.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，∴NE∥PD，EM∥DA，∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝eq\r(PA2＋AM2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(BC2＋MB2)＝MC，N是PC的中点，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.13．(本小题15分)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A­BCF，其中BC＝eq\f(\r(2),2).(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF.证明：(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，在折叠后的三棱锥A­BCF中也成立，∴DE∥BC.∵DE⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.∵在△BFC中，BC＝eq\f(\r(2),2)，BF＝CF＝eq\f(1,2)，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF，BF相交于点F，∴CF⊥平面ABF.14.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1