2024-2025学年高中数学第二章函数课时作业9函数的单调性含解析北师大版必修1

PAGEPAGE5课时作业9函数的单调性时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列说法正确的是(D)A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，且x1<x2，满意f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则f(x)在(a，b)上为增函数C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么f(x)在I1∪I2上也肯定为增函数D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2∈I)，则x1<x2解析：依据函数单调性的定义和性质来推断，只有D是正确的，故选D.2．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有(C)A．k>eq\f(1,2) B．k>－eq\f(1,2)C．k<eq\f(1,2) D．k<－eq\f(1,2)解析：若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则必有2k－1<0，解得k<eq\f(1,2).3．函数y＝－eq\f(1,x－1)的单调区间是(C)A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，1)，(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：y＝－eq\f(1,x－1)的图像是由y＝－eq\f(1,x)的图像向右平移1个单位长度而得到的，而y＝－eq\f(1,x)的单调区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故y＝－eq\f(1,x－1)的单调区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．4．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(D)A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－|x| D．f(x)＝－eq\f(1,x＋1)解析：f(x)＝3－x在R上是减函数；f(x)＝x2－3x在(－∞，eq\f(3,2))上是减函数；f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数；f(x)＝－eq\f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函数，故在(0，＋∞)上是增函数．5．已知函数f(x)＝2x2－kx－4在区间[－2,4]上具有单调性，则k的取值范围是(B)A．[－8,16]B．(－∞，－8]∪[16，＋∞)C．(－∞，－8)∪(16，＋∞)D．[16，＋∞)解析：∵f(x)＝2x2－kx－4，∴对称轴为x＝eq\f(k,4)，eq\f(k,4)≥4或eq\f(k,4)≤－2，即k≥16或k≤－8，故选B.6．若对于随意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(D)A．f(－eq\f(3,2))<f(－1)<f(2)B．f(－1)<f(－eq\f(3,2))<f(2)C．f(2)<f(－1)<f(－eq\f(3,2))D．f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)解析：∵函数f(x)对随意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)．∵f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－eq\f(3,2)<－1，∴f(－2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)，即f(2)<f(－eq\f(3,2))<f(－1)．7．已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上是削减的，则a的取值范围是(B)A．(0，eq\f(1,4)] B．[0，eq\f(1,4)]C．[2，＋∞) D．(0,4]解析：当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上是削减的；当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上是削减的．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,－\f(－1,2a)≥2))，∴0<a≤eq\f(1,4).综上可得a的取值范围为a∈[0，eq\f(1,4)]．8．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(C)A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)解析：记f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2，则a<f(x)min，x∈[0,2]．而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0,2]时，f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.故选C.二、填空题9．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．解析：由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．10．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(8,3)<x≤4)).解析：依题意，由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,－2x＋8≥0，,x>－2x＋8，))解得eq\f(8,3)<x≤4.11．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是(1,3]．解析：∵函数f(x)＝x2－6x＋8的图像的对称轴为直线x＝3，且在区间[1，a]上，f(x)min＝f(a)，∴a≤3.又a>1，∴1<a≤3.三、解答题12．作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图像，并指出函数的单调区间．解：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图像如图所示．由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]，单调增区间为[2，＋∞)．13．已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，x∈[1,3]．(1)推断f(x)在[1,2]和[2,3]上的单调性；(2)依据f(x)的单调性求出f(x)的最值．解：(1)设x1，x2是区间[1,3]上的随意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋eq\f(4,x1)－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)·(1－eq\f(4,x1x2))．∵x1<x2，∴x1－x2<0.当1≤x1<x2≤2时，1<x1x2<4，∴eq\f(4,x1x2)>1，∴1－eq\f(4,x1x2)<0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2]上是减函数．当2≤x1<x2≤3时，4<x1x2<9，∴0<eq\f(4,x1x2)<1，∴1－eq\f(4,x1x2)>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[2,3]上是增函数．(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.又∵f(1)＝5，f(3)＝3＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,3)<f(1)，∴f(x)的最小值为4，最大值为5.——实力提升类——14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋4，x≤1，,－ax＋3a－4，x>1，))且f(x)在R上递减，则实数a的取值范围为[2,3]．解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥1，,－a<0，,1－a＋4≥－a＋3a－4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a>0，,a≤3))⇒2≤a≤3.15．设函数f(x)的定义域为R＋，且满意条件f(4)＝1.对随意x1，x2∈R＋，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>0.(1)求f(1)的值；(2)假如f(x＋6)>2，求x的取值范围．解：(1)因为对随意x1，x2∈R＋有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)设0<x1<x2，则Δx＝x2－x1>0.又因为当x1≠x2时，eq\f(fx2－fx1,x2－x1)>