2022年广东省深圳市宝安区第一外国语学校中考一模数学试题（解析版）

第1页/共1页2022年广东省深圳市宝安区第一外国语学校中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．故选：C．【点睛】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．2.据悉，深圳市2022年报考中考的人数为11.2万人，其中11.2万用科学记数法表示为（）A.11.2×104 B.1.12×104 C.0.112×106 D.1.12×105【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：11.2这个数据用科学记数法表示为：11.2万=112000=1.12×105．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列运算错误的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用积的乘方运算可判断A，利用单项式乘以单项式可判断B，由同底数幂的除法可判断C，由合并同类项可判断D，从而可得答案．【详解】解：故A符合题意；，运算正确，故B不符合题意；，运算正确，故C不符合题意；，运算正确，故D不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘以单项式，同底数幂的除法运算，合并同类项，掌握以上基础运算是解本题的关键．4.下列说法正确的是（）A.相等的角是对顶角B.平行四边形是中心对称图形C.绝对值相等的两个数相等D.抛物线y＝x22x与坐标轴有3个不同的交点【答案】B【解析】【分析】根据对顶角，平行四边形，绝对值以及抛物线的性质对选项逐个判断即可．【详解】解：A、对顶角相等，但相等角不一定是对顶角，选项错误，不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点，选项正确，符合题意；C、绝对值相等的两个数可能相等也可能是互为相反数，选项错误，不符合题意；D、抛物线y＝x22x与坐标轴有2个不同的交点，选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】此题考查了对顶角，平行四边形，绝对值以及抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．5.反比例函数的图像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质，时，图象在一、三象限，进行判断即可．【详解】解：∵反比例函数，，∴图象分布在第一、三象限，即：故选C．【点睛】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．7.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据三月底和五月底92号汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可．【详解】解：依题意，得．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元二次方程式解题关键．8.下列命题中假命题是（）A.二次函数的对称轴是直线B.对角线垂直且相等的四边形是正方形C.某双曲线经过点，则必过点D.方程无实数根【答案】B【解析】【分析】根据命题的定义、二次函数的性质、正方形的判定、双曲线解析式的求法以及一元二次方程根的情况分别对四个语句进行判断即可．【详解】解：A．二次函数的对称轴是直线，故此项为真命题；B．对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故此项为假命题；C．设双曲线的解析式为，把代入得，从而有，经验证在上，故此项为真命题；D．由方程得，所以方程无实数根，故此故此项为真命题，故选∶B．【点睛】本题考查了命题的定义、二次函数的性质、正方形的判定、双曲线解析式的求法以及一元二次方程根的情况，判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9.二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①；②；③；④（为任意实数）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到，则可对①进行判断；利用，得到，则，于是可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，则可对③进行判断；由于时，y有最小值，则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴，∴，所以①正确；∵时，，∴，∴，∴，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴当时，，即，所以③正确；∵时，y有最小值，∴（m为任意实数），∴，所以④错误；综上，①②③正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及知识点有抛物线的对称轴、抛物线与y轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键．10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，连接DM，MC，BD．下列结论中：①DM⊥MC；②；③当DM＝DA时，△DMN≌△CBN；④当∠DNM＝45°时，其中正确的结论是（）A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】由题意可得：，，，得到，，，即可得，①正确；由题意可得，，根据可得，即，从而得到，即可判定②正确；当DM＝DA时，可得为等边三角形，即，，从而得到，即可判定③正确；过点D作DE⊥AB，设MN=m，则DM=m，CN=2m，分别求得DE和AE，即可判定④．【详解】解：由题意可得：，，，∴，，，∴，即DM⊥MC，①正确；设平行四边形ABCD底边AB上的高为h，由题意可得，，∵∴，∴，即∴∴，②正确；当DM＝DA时，可得为等边三角形∴，，∴，，即又∵∴（AAS）过点D作DE⊥AB，设MN=m，则DM=m，CN=2m，由勾股定理可得：，∴，由可得解得，由勾股定理可得：，，④错误，故选A【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数的定义，解题的关键是灵活运用相关性质求解．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.分解因式：________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解彻底，直到不能分解为止，是解答本题的关键．12.一道单项选择题有A、B、C、D四个备选答案，当你不会做的时候，从中随机地选一个答案，你答对的概率为_____．【答案】##0.25##25％【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：选择的结果总数为4，答对的选择为1，答对的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查了概率公式，随机事件A的概率为事件A可能出现的结果数除以所有可能的结果数．13.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C和点D，则________．【答案】【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．14.如图，点A是反比例函数（k≠0，x<0）图象上一点，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作AB⊥y轴于点B，，连接BC，若△BCD的面积为2，则k的值为_____．【答案】﹣6【解析】【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，证明四边形AEOB是矩形，由k的几何意义知＝｜k｜，由△BCD的面积为2，，得到△OCD的面积为4，再证明△ABD∽△COD，，得到，进一步求得△ABC的面积为3，由，即可求得｜k｜＝6，由反比例函数图像所在象限，即可得到k的值．【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，则∠AEO＝90°，∵AB⊥y轴，OB⊥x轴∴∠AEO＝∠BOE＝∠ABO＝90°，∴四边形AEOB是矩形∴ABx轴∴＝｜k｜∵△BCD的面积为2，∴△COD的面积为4，∵∠ABD＝∠COD＝90°，∠ADB＝∠CDO∴△ABD∽△COD，∴∴∴，∴＝｜k｜＝6∵反比例函数（k≠0，x<0）图象在第二象限∴k＜0∴k＝-6故答案为：﹣6【点睛】此题考查了反比例函数（k≠0）中k的几何意义，还考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是抓住＝｜k｜进行求解．15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O′，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为_____．【答案】＋2##2＋【解析】【分析】延长AO交BC于点E，延长CB到点F，使BF＝BC，则BD是△CFO′的中位线，BD＝FO′，当点F、、A在同一条直线上时，F最长，BD＝FO′最大，再求出F即可得到BD的最大值．【详解】解：如图，延长AO交BC于点E，延长CB到点F，使BF＝BC，∵BF＝BC∴点B是CF的中点∵点D为线段CO′的中点，∴BD是△CFO′的中位线∴BD＝FO′∵线段AO绕点A逆时针旋转至O′，∴点O′在以点A为圆心，AO为半径的圆上运动，如图，∴当点F、、A在同一条直线上时，F最长，BD＝FO′最大，∵点O是△ABC的重心∴AE是△ABC的中线∴BE＝CE＝BC＝8∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∵AB＝10∴AE＝∵O为△ABC的重心∴AO＝AE＝4∵BF＝BC＝16，BE＝8,∴EF＝BE＋BF＝24∴AF＝由旋转的性质知A＝AO＝4∴F＝FA＋A＝＋4∴BD＝F＝（＋4）＝＋2即BD的最大值为＋2故答案为：＋2【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理、旋转的性质、重心的性质等知识，添加适当的辅助线和辅助圆是解决此题的关键．三．解答题（共7小题，满分55分）16.计算：．【答案】4【解析】【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．17.先化简，再求值：，其中是不等式的正整数解.【答案】1.【解析】【分析】将原式被除式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，再由关于x的不等式求出解集得到x的范围，在范围中找出正整数解得到x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．详解】解：原式==的正整数解为但所以∴原式的值【点睛】此题考查一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.18.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，某学校组织了“冬奥知识知多少”竞赛活动，并随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行分析，共分为六个等级：A+，A，B+，B，C+，C，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图表，回答下列问题：（1）本次抽样的学生人数为_____人；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中“A等级”所在扇形的圆心角是_____°；（4）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有_____人．【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）了解程度为“A+和A等级”的学生约有人．【解析】【分析】（1）根据“A+等级”的人数以及所占的比重，求解即可；（2）根据抽样的学生人数求得“B+等级”的人数，即可求解；（3）根据抽样的学生人数以及“A等级”的人数，求得所占百分比，即可求解；（4）根据样本中“A+和A等级”学生的百分比，即可求解．【小问1详解】解：由统计图可得：“A+等级”的人数为48，所占的比重为，则本次抽样的学生人数为人，故答案为；【小问2详解】解：“B+等级”的人数为，则条形统计图为【小问3详解】解：“A等级”的学生所占百分比为：，则“A等级”所在扇形的圆心角是故答案为：；【小问4详解】解：“A+和A等级”学生的百分比为，该校学生对冬奥知识的了解程度为“A+和A等级”的学生约有人，答：了解程度为“A+和A等级”的学生约有人．【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图的结合，用样本估计总体，解题的关键是掌握相关统计图，并能从统计图中获取数据．19.如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得：，由切线的性质可得：，即可求得，即可求证；（2）根据，分别求得，，即可求解．【小问1详解】证明：由题意可得：又∵∴，∵⊙O与CD相切于点E，∴，又∵，∴，又∵为半径，∴AD是⊙O的切线；【小问2详解】解：∵∴，在中，，，∴，由勾股定理得，，∴，，，【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．20.图1是新冠疫情期间测温员用“额温枪”对居民张阿姨测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄CD和手臂BC始终在同一条直线上，枪身DE与额头F保持垂直．胳膊，，肘关节B与枪身端点E之间的水平宽度为28cm（即BH的长度），枪身．（1）求的度数；（2）测温时规定枪身端点E与额头规定范围为．在图2中若，张阿姨与测温员之间的距离为48cm．问此时枪身端点E与张阿姨额头F的距离是否在规定范围内，并说明理由．（结果保留小数点后两位．参考数据：，）【答案】（1）；（2）在规定范围内，理由见解析．【解析】【分析】（1）过点D作，所以，再利用已知条件求出，所以，进进一步可得，（2）延长HB交MN于点K，延长BH交PQ于点O，利用已知条件求出，进一步求出，可知在规定范围内．【小问1详解】解：过点D作，，，，又∵BD=40cm，，，，【小问2详解】解：延长HB交MN于点K，延长BH交PQ于点O，由题意可知：四边形EFHO，EDHG是矩形，，，又∵，，又∵，，，∵因为规定范围为，∴在规定范围内．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，做辅助线构造直角三角形．21.开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本．已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．（1）请问购进了A种笔记本多少本？（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．【答案】（1）购进了A种笔记本150本；（2）m的最小值128．【解析】【分析】（1）设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，根据题意列方程求解即可；（2）由（1）可得，购进了B种笔记本本，根据题意，列出不等式，然后求解即可．【小问1详解】解：设购进了A种笔记本x本，则B种笔记本本，由题意可得：解得，答：购进了A种笔记本150本；【小问2详解】解：由（1）可得，购进了B种笔记本本，由题意可得：，解得，答：m的最小值128．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，设出未知数，找到等量关系和不等量关系，正确列出方程和不等式．22.某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：（1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点处，当∠BEF＝25°，则∠FE＝_____°．（2）【特例探究】如图2，连接DF，当点恰好落在DF上时，求证：AE＝2F．（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝m