第4小题 平面向量（2个命题点9大题型）2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第4小题平面向量

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第4小题平面向量.......................................................................1

一、主干知识归纳与回顾.............................................................3

4.1.平面向量的概念.............................................................3

1.平面向量的概念：.........................................................3

4.2.平面向量的运算...................................................4

2.1.向量的加法运算.........................................................4

2.2.向量的减法运算.........................................................4

2.3.向量的数乘运算.........................................................4

2.4.向量的数量积...........................................................5

4.3平面向量基本定理及坐标表示............................................5

3.1平面向量基本定理.......................................................5

3.2平面向量的正交分解及坐标表示..........................................5

3.3平面向量加.减运算的坐标表示...........................................6

3.4平面向量数乘运算的坐标表示............................................6

3.5平面向量数量积的坐标表示..............................................6

（一）命题角度剖析.................................................................7

（二）考情分析......................................................................7

（三）高考预测......................................................................7

二、题型分类与预测.................................................................7

命题点一：可面向量的概念与运算................................................7

1.1母题精析（三年高考真题）..............................................7

一.向量的概念与向量的模（共1小题）................................7

二.向量相等与共线（共1小题）.......................................8

三.平面向量数量积的性质及其运算（共3小题）.......................8

四.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）.................9

第1页共92页

五.平面向量的基本定理（共1小题）.................................10

六.数量积表示两个向量的夹角（共3小题）...........................11

七.数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）..................12

1.2解题模型...............................................................13

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................16

一.平面向量数量积的性质及其运算（共14小题）.....................16

二.平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）................22

三.投影向量（共3小题）.............................................23

四.平面向量的基本定理（共1小题）..................................24

五.平面向量共线（平行）的坐标表示（共2小题）....................25

六,数量积判断两个平面向量的垂直关系（共4小题）...................26

七.平面向量的综合题（共1小题）....................................27

命题点二：平面向量在几何图形中的应用........................................28

1.1母题精析（三年高考真题）.............................................28

一.向量的概念与向量的模（共1小题）...............................28

二.平面向量数量积的性质及其运算（共15小题）.....................29

三.平面向量的基本定理（共1小题）.................................43

四.数量积表示两个向量的夹角（共1小题）...........................44

五.数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）..................44

六.正弦定理（共1小题）.............................................45

七.余弦定理（共1小题）.............................................45

八.三角形中的几何计算（共2小题）.................................46

1.2解题模型...............................................................47

1.3对点训练（四年省市模考）.............................................48

一.向量的概念与向量的模（共1小题）...............................48

二.平面向量数量积的性质及其运算（共17小题）.....................48

三.平面向量的基本定理（共4小题）.................................63

四,正弦定理（共1小题）..............................................65

五.三角形中的几何计算（共1小题）.................................66

第2页共92页

六.解三南形（共2小题）..................................................67

三、类题狂刷（五年区模、校模）：.....................................................68

一.向量的概念与向量的模（共1小题）..................................69

二.平面向量的线性运算（共1小题）....................................69

三.平面向量数量积的性质及其运算（共26小题）.......................70

四.投影向量（共2小题）................................................87

五.平面向量的基本定理（共2小题）....................................88

六.平面向量的坐标运算（共1小题）....................................89

七.数量积表示两个向量的夹角（共3小题）.............................89

八.正弦定理（共1小题）................................................90

九.解三角形（共1小题）................................................91

一、主干知识归纳与回顾

固方位何相

4.1.平面向量的概念

1.平面向量的概念：

向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量蕊的大小，也就是向量茄的长度（或称模），记作|万.

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作6.

单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：a//b.

规定：零向量与任意向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

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2.4.向量的数量积

1.向量的夹角：

已知两个非零向量Z九O是平面上的任意一点，作方=£,。方=兀则/月。3=。(04。4万)叫做向量

£与否的夹角.

2.。与人垂直：如果。与人的夹角是勺，则。与人垂直，记作。_L/).

2

3.数量积：已知两个非零向量3,它们的夹角为。，我们把数量同WcosO叫做向量"与B的数量积(或

内积)，记作a-b,即ai=a6cos0.

4.投影向量：向量［在B上的投影向量：在平面内任取一点。，作两=£,而=石，过点M作直线ON的

垂线，垂足为则0/%就是向量。在向量B上的投影向量.设与B同方向的单位向量为e,〃与B的夹

角为伍则0必=acosGe.

5.数量积的性质：(1)=。cos。(2)〃J_B=Q*=O(3)。或〃=&.a=)

(4)a-b<ab

6,数量积的运算律：

(1)a-b=b-a(2)=2(a•族)=

(3)(a+4C=Q.C+"C结论：(a+B)=a+2a-b-}-b^,(a+一右)二〃~一石二

4.3平面向量基本定理及坐标表示

3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果„是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量Z,有且只有一对实数4,冬，

使工=41+41.{1,可叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

3.2平面向量的正交分解及坐标表示

1.正交分解：把•个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

2.向量。的坐标表示：

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在平面直角坐标系中，设与X轴.y轴方向相同的两个单位向量分别为7,）,取F；）作为基底.对于平面内的

任意一个向量7由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y,使得£=+,这样平面内的任一向

量。都可由唯一确定，我们把有序数对（x,y）叫做向量。的坐标，记作Q=（x,y）,其中x叫做。在x轴上

的坐标，y叫做。在y轴上的坐标，a=（x,y）叫做向量。的坐标表示.

3.3平面向■加.减运算的坐标表示

1.设。二（2,弘）[二卜2，»2），则：⑴。+否=（为+%2，%+%），⑵。一族二（七一工2,必一歹2），

即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）

2.己知力（西，乂）,4（七，》2）,则己3=（%2一再”2-%）•

3.4平面向量数乘运算的坐标表示

1.设〃=贝=

2.设4=（阳,乂）1=（12，》2），则向量。，坂共线的充要条件是王丁2一%2%=0-

3.5平面向量数量积的坐标表示

1.设Q=（x”必）,3=（%，%），则：（1）a-b=x]x2^y]y2（2）a=4x；+y：

（3）a.Lhoa-b=0ox,x,+y.y,=0（4）cos0==/上占+为必

1alM|斤嘉.豆57

（5）设力（再，M）,8（£,%），则：4B=几-3）2+（乃fl.

服，”学有笔记

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.全疆裕盛

（-）命题角度剖析

1・平面向・的概念与运2,平面向■在几何图形中的应用★★★☆☆

清情今新

（二）考情分析

高考频率：100%试题难度：中等呈现形式：以选择题或填空题

a方考会例

（=）高考预测

试题以平面向量的基本运算为主，考查平面向量的线性运算、向量的数量积运算、向量的

夹角与模.着重考查函数与方程、数形结合、转化与化归思想

二、题型分类与预测

驾校方”

命题点一：平面向量的概念与运算

1.1母题精析（三年高考真题）

向■的概念与向量的模（共1小题）

1.（2023•新高考H）已知向量万,B满足|。一加=百，|不+行=|22-5|,则|B|=_G_.

【分析】根据向显数量积的性质及方程思想，即可求解.

【解答】解：•.恒-昨6,

.•.a2+h2-2a-b=3,a2+b2+2ii•b=4a2+b2-4ab,

/.a2=2a^h,/.b2=3,

|6|=V3.

故答案为：6.

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【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题.

二.向量相等与共线(共1小题)

2.(2022•全国)已知向量不二(x+2,l+x),b=(x-2A-x).若G/区，则()

A.x2=2B.|x|=2C.x2=3D.|x|=3

【分析】由已知可得X+2)(17)-0+XXX-2)=0,计算即可.

【解答】解：一,a=(x+2,1+x),h=(x-2,1-x).

/.(x+2)(1-x)-(1+x)(x-2)=0,

/.-lx2+4=0>/.x2=2.

故选：A.

【点评】本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题.

三.平面向量数量积的性质及其运算(共3小题)

3.(2021•甲卷)若向量万,5满足|汨=3,I>一B|=5,a-b=\,则出|=_3及_.

【分析】由题意首先计算5-B)2,然后结合所给的条件，求出向量的模即可.

【解答】解：由题意,可得(口一&2=/-2葭］+"=25,

因为|d|=3,a-b=\,所以9-2KI+户=25,

所以户=18,防上病=3夜.

故答案为：3及.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题.

4.(2021•新高考H)已知向量。+坂+^=6,|由=1,|h|=|c|=2,则①B+51+52=_—告

【分析】a+b+c=0^>a+b=-c^a+c=-bs^b+c=-a,三等式两边平方可解决此题.

【解答】解：方法1：由。+B+5=0得。+方=-三或方+0=-祝或6+0=-),

.•.伍+Bp=(-c)2或伍+c)2=(一不)2或@+c)2=(-a)2,

又|^|=|c|=2,.•.5+2小5=4,5+2a-c=4,8+2坂七=1,

|1-7-9

/.ab=——，a-c=——，bc=一一，ab+ac+b-c=——.

2222

故答案为：《

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方法2:济/儿"力=3“+＞一旧一所一何=（一"4-4=,.

222

故答案为：-？.

2

【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题.

5.（2022•乙卷）已知向量万，3满足|由=1,循|=5旧_必|=3,则刁7=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【分析】利用|G-2刈=而二诟结合数量积的性质计算可得结果.

【解答】解：因为向量。，B满足|1|=1,汾|=百，|々-2刈二3,

所以|方一25|=1伍一2垃2=七、4展6+4庐=V-42・B+4x3=3,

两边平方得，

13-467-^=9,

解得G•B=1,

故选:C.

【点评】本题考杳了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题.

四.平面向■数量积的坐标表示、模、夹角（共2小题）

6.（202（）♦浙江）己知平面单位向量q,e满足12,-g夜.设2=4+4,b=3et+e2,向量d,力的

夹角为。，则COS?。的最小值是

【分析】设q、＜?2的夹角为a,由题意求出cosa..（；

再求），B的夹角。的余弦值cos”的最小值即可.

【解答】解：设［、［的夹角为a,由三，［为单位向量，满足|21-£|“后，

月〒以4q2—4et*e2+e^=4—4cosa十L.2，

解得cosa...之：

4

又1%，b=3et+e2,且1,B的夹角为6,

所以a*b=3eJ+4q/+e??=4+4cosa，

ci~=e1+2e］*e2+e2=2+2cosa,

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2

b=9eJ+6q*e2+e2~=10+6cosa；

一,8

,i2八伍石)2(4+4cosa)24+4cosa43

则mcos0=王一=rr=-----------------------------=-------------=----------------,

a~xZ>-(2+2cosa)(l0+6cosa)5+3cosa35+3cosa

8

所以cosa=?时，cos］。取得最小值为±——^—7=--

435+3x329

4

故答案为：—.

29

【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是中档题.

7.(2022•乙卷)己知向量。=(2,1),^=(-2,4),则|"5|=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】先计算”5的坐标，再利用坐标模长公式求解.

【解答】解：5=(4,-3),

故卜一司=,42+(-3)2=5,

故选：

【点评】本题主要考查向最坐标公式，属于基础题.

五.平面向量的基本定理(共1小题)

8.(2022•新高考I)在A/i8c中，点。在边48上，BD=2DA.记m=册，CD=ii,则而=()

A.3而一2万B.一2所+3万C.3所+2万D.2折+3万

【分析】宜接利用平面向量的线性运算可得［而=3函-0，进而得解.

22

CD=CA+Jb=CA+-DB^CA+-(CB-CD)=CA^-CB--Cb,

2222

-CB=-CD-CA,^CB=3CD-2CA=3n-2m.

22

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故选：B.

【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题.

六.数■积表示两个向■的夹角(共3小题)

9.(2023•甲卷)向量|A|=|B|=1,|?|=&,且1+B+己=6,则cos3-1,b-c)=()

A.--B.--C.-D.-

5555

【分析】根据题意，用1、B表示利用模长公式求出cos<1,b>,再计算1与5-m的数量积和夹

角余弦值.

【解答】解：因为向量|々|=|石|=1,所|=&，且2+5+3=。，所以Y=2+

所以于=/+户+此5,

BP2=l+l+2xlxlxcos<a»b>,

解得cos<ci»Z»>=0»

所以

y.a-c=2a+b,b-c=a+2b,

所以3一5)・(3—5)=(2万+司・(万+2励=2/+2户+55-5=24-2+0=4,

\a-c\=\b-c\=\l4a2+4a-h+h2=J4+0+1=石，

所以cos〈d-E

\a-c\\h-c\yj5xyJ55

故选：D.

【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长夹角的计算问题，是基础题.

10.(2023•甲卷)已知向量值=(3,1),B=(2,2),则COS〈G+B,a-b)=()

B后

A.171D.逑

17C55

【分析】根据题意,求出方+B和方一B的坐标,进而求出|1+5|、恒一川和(4+杨・(〉一司的值,进而由数

量枳的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，向晟1=(3,1),A=(2,2),

则2+B=(5,3),a-h=(\-\),

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则有伍+B|=125+9=衣,\a-b\=x/i+\=y/2,(a+b)-(a-b)=2,

(a+b)(a-b)2V17

故COS〈G+B,a-h)

\a+b\\a-b\-V34-V217,

故选：B.

【点评】本题考查向量的夹角，涉及向量的数量积计算，属于基础题.

11.(2022•新高考H)已知向量万=(3,4),B=(l,0),c=a+tb,若vG,c>=<b,c>,则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

【分析】先利用向量坐标运算法则求出m=(3+f,4),再由〈刁，c>=<b,c>,利用向量夹角余弦公式列

方程，能求出实数，的值.

【脩答】解：•.•向量2=(3,4),6=(1,0),c=a+lb,

c=(3+/,4),

,/<ci,c>=<b,c>,

ac_he.25+3/3+/

\a\­\c\=\b\.\c\'5=~T

解得实数f=5.

故选：C.

【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

七.数■积判断两个平面向量的垂直关系(共1小题)

12.(2023•新高考I)已知向量2=B=(l,-1).若伍+焉)JL伍+曲,则()

A.2+//=1B.2+//=-1C.Xpi=1D.加=-1

【分析】由已知求得彳+/石与的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解.

【解答】解：.5=(1,-1),

J+=(2+1,1-A),I+=(〃+1,1-〃)，

由伍+2力_1_他+〃E),得(4+1)(〃+1)+(1-㈤(1一〃)=(),

整理得：2即+2=0,即初=-1.

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故选：D.

【点评】本题考查平面向量加法与数乘的坐标运算，考查两向

名总就支技

1.2解题模型

1.平面向■基本定理和性质

(1)共线向量基本定理

如果1=4(&/?),则1/区；反之，如果。〃5且1*6,则一定存在唯一的实数力,使2=焉.

(口诀：数乘即得平行，平行必有数乘).

(2)平面向量基本定理

如果I和［是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量G,都存在唯一

的一对实数4入，使得)=若+施；，我们把不共线向量心［叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底，记为忖,可，布+41叫做向量值关于基底,号的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I与I不共线，平面内的任一向量1都可以分解成

形如。=41十人1的形式，并且这样的分解是唯一的.］叫做I，I的一个线性组合.平

面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表

示的基础.

推论1：若方=4,+=4“+46，则4=4，4=4.推论2：若。=则4=4=0.

(3)线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△/BC中，若点。是边4C上的点，且丽=2灰(4—1),则向量布="+"".在

1+2

向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效,

建议熟练掌握.

BD

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(4)三点共线定理

平面内三点4,B,。关线的充要条件是：存在实数/1,〃，使1=2次+口赤，其中1+〃=1,O

为平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A.B、。三点共线

=存在唯一的实数/，使得前=2而；=存在唯一的实数2,使得双=刀+2万；

o存在唯一的实数2，使得反=(1-团况+2赤；=存在丸+〃=1,使得反=2方+〃砺.

(5)中线向量定理

如图所示，在△力BC中，若点。走边8C的中点，则中线向量而=$而+就)，反之亦正确.

2.平面向・数■积的类型及求法：

(D平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式〃.方=|“|他|COS。；二是坐标公式

ab=x]x2+y}y2.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进

行比简.

2.平面向量数量积主要有两个应用：

(1)求夹角的大小：若“，力为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos0=3(夹角

1。1叫

公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.

(2)确定夹角的范围：数量积大于。说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明

不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

3.向量与平面几何综合问题的解法与步骤：

G)向量与平面几何综合问题的解法

①坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进

行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

②基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的

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方程来进行求解.

【注】用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底.

（2）用向量解决平面几何问题的步骤

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向

量问题；

②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题：

③把运算结果"翻译''成几何关系.

4.利用向・求解三角函数问题的一般思路：

（1）求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式.利用同角三角函

数关系式及三角函数中常用公式求解.

（2）求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角.

（3）解决与向量有关的二角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相

关运算把问题转化为三角函数问题.

（4）解三角形.利用向量的坐标运算，把向量垂直或共线转化为相应的方程，在三角形中利

用内角和定理或正、余弦定理解决问题.

5.用向■法解决物理问题的步骤如下：

（1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；

（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；

（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题.

6.常见的向量表示形式：

。）重心.若点G是△44C的重心，则区）+用+诧=0或可=；（方+而+正）（其中p为平

面内任意一点）.反之，若第+痂+而=0,则点G是△力8C的重心.

（2）垂心.若"是△/灰?的垂心，则必.丽=丽.阮=麻司.反之，若旬•丽=用屈=

麻•加，则点〃是△月8c的垂心.

（3）内心.若点/是△力5。的内心，则|比函+|国方+|明.元=0.反之，若|画后+|西.

岳+|荔|兀=0,则点/是△43C的内心.

（4）外心.若点。是的外心，则（而+砺）•丽=（而+方）•而=（反+厉）左=0或

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\OA\^OB\=\OC\.反之，若|西=|西=|沅I，则点。是△48。的外心.

已知非零向量。=（西，乂），b=（x2,y2）,6为向量4、〃的夹角.

结论几何表示坐标表示

模\a|=\iaa1止J-+y2

数量积a.〃=|a|cos0ab-xxx2+yxy2

a­bX(X2+匕y,

夹角cos6>=-=-^-cos0-/…1•-

lal|b|收+y；•收+£

aJL6的充要条件ab=0中2+M.2=0

的充要条件a=4从bh0)中2+必必二°

b国列b|（当且仅当。〃b1中2+必为内

|〃•川与|〃||力|的关系

时等号成立）y/x；+y；,+货

1.3对点训练（四年省市模考）

一.平面向量数量积的性质及其运算（共14小题）

1.（2023•福州模拟）已知向量力在单位向量2上的投影向量为-41,则伍+5）2=（）

A.-3B.-1C.3D.5

【分析】根据投影向量的概念，即可求解.

【解答】解：•.•向量B在单位向是，上的投影向量为-4A,乂|叫=1,

/.|6|cos<a,5>~=（空）d=（鼠b）a=-4a，

IaI

ab=-4,

：.（a+b）-a=a2+ab=[-4=-3.

故选：A.

【点评】本题考查投影向量的定义，向量数量积的运算，属中档题.

2.（2023•泉州模拟）已知平面向量I,b,乙满足|川=1,b-c=0,ab=\,ac=-\,则|很+1]的最

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小值为()

A.1B.y/2C.2D.4

【分析】由平面向量数量积的坐标运算，结合向量的模的运算及重要不等式的应用求解即可.

【解答】解：已知平面向量b,K满足|刈=1,

设万=(1,0),b=(x,y),5=(/",〃)，

X6•c=0,ab=1,ac=-1»

xm+yn=0

<x—1>

m=-1

即《x=1»

ny=1

则h+c=(0,y+n),

2

则|B+1|=J。+(<+”)2..J4y〃=2,

当且仅当y=〃=l时取等号，

即扬+《的最小值为2,

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量的模的运算及重要不等式的应用，属基

础题.

3.(2022•福州模拟)已知平面向量d,h,2均为单位向量，且-方|=1,则3-5)-(5-己)的最大值为(

)

113

A.-B.-C.ID.-

422

［分析】利用11-讨=1和向量数量积的运算律可求得〃•■=；，并将所求式子化为-l-cos<a-瓦？>,

由cos<a-b,c>e|-l<可求得结果.

【解答】解：-.^a-h^a2-2a-h+h2=2-2a-b=\,

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(i-b)(b-c)=ab-ac-b2+bc

22

cos<a-b,c>G[-1,1]»

-31

/.(a-b)-(b-c)的最大值为;.

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数最积的运算以及最大值问题，属于中档题.

4.（2022•福州模拟）已知向量小B为单位向量，且5则「（4万-3B）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

【分析】由题意可得|叫=1、历|=1，万石=0,根据数最积的运算律即可求得答案.

【解答】解：由题意可得,|汴1,防|=05=0,

则鼠（4］一3B）=4小5—3户=-3户二一3,

故选：A.

【点评】本题考查数量积的应用，考查学生运算能力，属于中档题.

5.（2022•龙岩模拟）已知不=（-51）,B=（-g,等），则万与B的夹角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【分析】根据题意，求出|划、|月|和不/的值，有向量数量枳的计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，万=（一6，1）,5=（-；，*），

贝i」mi=x/m=2,IBI=%，则G・B=*+与=B

cos<a,b>=,则彳与〃的夹角为C；

miw26

故选：A.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

6.（2021•泉州一模）已知单位向量万，5满足。石=',Rc=2a+b,则sin<。，c>=（）

4

'半B考。半它

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【分析】利用已知条件求出乙的长度，a-c,然后求解向量数量积的余弦函数值，再求解sin<。，c>.

【解答】解：单位向量万，B满足小B=且云=21+石，

4

所以|3|=，0+4入6+必=瓜.

-19

a-c=a-(2a+b)=2+-=-,

44

9

所以cos<a,c>="「=-j==

I祚IR8

所以sin<I,c>=

故选：C.

【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.

7.(2019•漳州二模)已知向量八6满足|引=1,且值与6央用为贝IJ4•(-6a-5)=()

A.6B.-6C.-7D.7

【分析】先去括号再用数量积的性质运算可得.

【解答】解：a*(-6a-b)=-6a2-ci*b=-6-0=-6

故选：B.

【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.

8.(2021•漳州模拟)已知向量I与4的夹角为45。，|叫=啦,|昨2,则五0-涕)=()

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可.

【解答］解：向量值与5的夹角为45。，|G|=&,|凡=2,

贝|」入伍一2月)=32-2〃苇=2-2*石*2*孝=一2.

故选：B.

【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题.

9.(2021•龙岩模拟)已知|2|=2,向=1,且彳与B的夹角为：，则伍+B)-E=()

A.V3+1B.1C.2D.3

【分析】利用向量的数量积的运算法则化简求解即可.

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【解答】解：|J|=2,|^|=1,且俗与I的夹角为工,

3

+=P+56=1+2x1x1=2.

故选：C.

【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，是基础题.

10.(2023•泉州模拟)已知向量值=(6,1),B=(cose,sin0),则下列说法正确的是()

A.若夕=——，则B.若G/而，则夕=工

36

C.小B的最大值为2D.B|的取值范围是[1,3]

【分析】由平面向量共线及垂直的坐标运算,结合平面向量的模的运算及三角函数值域的求法逐一判断即

可杼解.

【解答】解：已知向量方=(G,l),h=(cos^,sin^).

对于选项4,当。=葛时，»=(-；，当)，

则万4二百、(一；)+1、*=0,

则GJ■鼠

即选项A正确;

对于选项3,若石/区,

则、bsin0=cos0,

BPtan0=—,

3

则0=1+%乃，keZ,

6

即选项8错误；

对于选项C,a=75cos6^4-sin=2sin(6/4.y)G[-2,2],

即34的最大值为2,

即选项C正确：

对于选项。，万一了=(\/J-cosai-sin。)，

则一B|二J(逐一cos《A+(1—sin，尸二,5—4sin(0+()w[1,3],

即选项Z)正确.

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故选：ACD.

【点评】本题考查了平面向量共线及垂直的坐标运算，重点考查了平面向量的模的运算及三角函数值域的

求法，属基础题.

11.(2023•福建模拟)已知向量2=(1,2),1=(-4,2),则()

A.但-5)_1_伍+方)

B.\a-b\=\a+b\

C.在。上的投影向量是

D./在口+E上的投影向量是(-3,4)

【分析】先计算2-6和0+B,再根据平面向审数展积的坐标运算法则可判断选项4,由模长的计算方法可

判断选项8,根据投影向量的计算方法可判断选项。和。.

【解答】解：因为1=(1,2),5=(-4,2),

所以G-B=(5,0),a+^=(-3,4),

选项力，(a-b)-(a+b)=-\5^0,所以伍-B)JL伍+很)不成立，即N错误;

选项8,|万一解=5,|万+坂|=5,所以+即8正确；

选项C,(另一日)3=(-5,0)-(1,2)=-5,

_a(h-a)aa-51-

所以5-G在G上的投影向量为—M,a>=----------------=•—=•a=即C止确;

mimim石后

选项a-(a+b)=(\,2)-(一3,4)=5,

所以"在。+B上的投影向量为|I|cos<2,G+B>•>+,=」=^.1.(-3,4)=(-—,—),

\a+b\\a+b\\a+b\5555

即D错误.

故选：BC.

【点评】本题考查平面向量的坐标运算，投影向量的求法，考查逻辑推理能力和