第09讲 弧长及扇形的面积-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（苏科版）

第09讲弧长及扇形的面积【学习目标】1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.【基础知识】一．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．二．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【考点剖析】一．弧长的计算（共7小题）1．（2021秋•招远市期末）如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）A．90° B．2π C．3π D．4π2．（2021秋•奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（）cm．A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+123．（2022•瑞安市校级开学）已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为．4．（2022春•奈曼旗期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为．5．（2022春•二道区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD的长为（）A．2π B．3π C． D．6．（2022•铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为．7．（2021秋•东城区校级月考）如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．（1）弦AB的长为．（2）求劣弧的长．二．扇形面积的计算（共7小题）8．（2021秋•汝州市期末）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（）A．6π B．3π C．2π D．π9．（2021秋•毕节市期末）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是（）A．30° B．108° C．110° D．120°10．（2021秋•西乡县期末）一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为（）A．π B．π C．4π D．6π11．（2021秋•包头期末）钟面上的分针长为2cm，从8点到8点15，经过了15分钟，分针在钟面上扫过的面积是cm2．（结果保留π）12．（2022春•巢湖市校级期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，以AD、BD、AB分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是（）A．CD B．AD C．AB D．BC13．（2022春•渝北区月考）等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（）（结果保留π）A．4π﹣2 B．π C．π﹣2 D．214．（2021秋•开化县期末）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．（1）求∠COA的度数．（2）求出CE的长度．（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022•费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（）A． B． C． D．2．（2022•海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（）A． B．3 C．2 D．3．（2022•上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（）A．4 B．2 C．4π D．2π4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（）A． B． C． D．5π5．（2022•蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（）A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π6．（2022•达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3二．填空题（共8小题）7．（2022•呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为cm．8．（2022•南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是．9．（2022•虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为．10．（2022•莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．11．（2022春•南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为．12．（2022•福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是．13．（2022春•沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为．14．（2022•九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共6小题）15．（2022春•长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．16．（2022•费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．（1）求∠B的度数；（2）若AB＝3，求的长．17．（2022•石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．（1）求∠AED的度数．（2）求DB的长．（3）求图中阴影部分的面积．18．（2022春•亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；（3）若，求AD•AB的值．19．（2021秋•船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．20．（2021秋•亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2