第13章三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试-沪科版数学八年级上册

第13章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是()A．1，1，2B．3，7，11C．6，8，9D．3，3，62．在△ABC中，画出边AC上的高，下列画法正确的是()3．一个三角形三个内角的度数之比为1︰2︰3，则这个三角形一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形4．如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是()A．9B．14C．16D．不能确定5．如图，在△ABC中，CE和AD分别是AB，BC边上的高，若AD＝12，CE＝16，则eq\f(AB,BC)的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,8)6．如图，在△ABC和△EFD中，∠BAC＝30°，∠EDF＝45°，点F在AC上，AB∥DE，则∠AFD等于()A．15°B．30°C．12°D．35°7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若S△ABC＝24，则△ABE的面积是()A．4B．12C．6D．88．下列命题中，真命题有()①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果a·b＝0，那么a＝b＝0;④如果a＝b，那么a3＝b3.A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，当∠E＝35°时，∠A＋∠C的度数为()A．70°B．75°C．80°D．85°10．如图，有四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED.若选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个数学命题，则真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．命题“直角三角形中一定有两个内角的度数和等于90°”的逆命题是________命题(填“真”或“假”)．12．如图，∠A＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，则∠BOC＝________．13．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1，∠2和∠3之间的数量关系为________．14．如图，AD是△ABC的中线，G是AD上的一点，E，F分别是CG，BG的中点，若△ABC的面积是24，则阴影部分的面积为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．写出下列命题的逆命题，并判断写出的逆命题是真命题还是假命题．(1)如果a＋b＝0，那么a＝0，b＝0；(2)如果一个数的平方是9，那么这个数是3.16．如图，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求证：AC∥DE.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．有人说：“如果△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意这个说法吗？请给出你的理由．18.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点E，BD⊥AB于点B，∠ABC＝40°.求∠D和∠CED的度数．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E，P分别是边AC，BC，AB上的点，当∠α＝40°时，求∠1＋∠2的度数．20．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2.(1)求m的取值范围；(2)若△ABC是等腰三角形，求m的值及△ABC的周长．六、(本题满分12分)21．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝8cm，AC＝15cm，BC＝17cm，∠BAC＝90°.试求：(1)AD的长；(2)△ACE和△ABE的周长的差；(3)△ABE的面积．七、(本题满分12分)22．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．求证：△ABD是“准直角三角形”；(2)下列说法：①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是“准直角三角形”；②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是________；(填序号)(3)如图②，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°.若P是直线l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．八、(本题满分14分)23.已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C.(1)如图①，若AD∥BC，求证：AC∥BD；(2)如图②，若BD⊥BC，CE与BD相交于点G，求证：∠DAE＋2∠C＝90°；(3)如图③，在(2)的条件下，若∠BAC＝∠BAD，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAE的度数．

答案一、1．C【点拨】根据三角形中任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边判断即可．2．C3．B【点拨】由三角形三个内角的度数之比为1︰2︰3，可设三个内角的度数分别为x，2x，3x，则x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.∴三个内角的度数分别为30°，60°，90°.∴这个三角形一定是直角三角形．4．A【点拨】∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD.∵△ABD的周长为11，∴AB＋AD＋BD＝11，∵AB＝5，∴AD＋BD＝6，即CD＋BD＝6，∴△BCD的周长为BD＋CD＋BC＝6＋3＝9.5．B【点拨】∵CE和AD分别是AB，BC边上的高，∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)AB·CE，∵AD＝12，CE＝16，∴12BC＝16AB，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).6．A【点拨】设FD与AB交于点G.∵AB∥DE，∴∠FGB＝∠EDF＝45°.∵∠FGB＝∠BAC＋∠AFD，∠BAC＝30°，∴∠AFD＝45°－30°＝15°.7．B【点拨】∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝eq\f(1,2)S△ABC＝12.∵BE是△ABD的中线，∴S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABD＝12.8．B【点拨】如果a＝b，b＝c，那么a＝c，故①为真命题；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故②为假命题；如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0或a＝b＝0，故③为假命题；如果a＝b，那么a3＝b3，故④为真命题．9．A【点拨】易知∠1＋∠A＝∠3＋∠E，∠4＋∠C＝∠2＋∠E，∴∠1＋∠A＋∠4＋∠C＝∠3＋∠E＋∠2＋∠E，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠E＝∠A＋∠C.∵∠E＝35°，∴∠A＋∠C＝70°.10．D【点拨】真命题有：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②；如果②③④，那么①.二、11．真【点拨】逆命题为如果一个三角形中有两个内角的度数和等于90°，那么这个三角形是直角三角形，是真命题．12．120°【点拨】连接AO并延长到点E.∵∠BOE为△ABO的外角，∠COE为△AOC的外角，∴∠BOE＝∠B＋∠BAO，∠COE＝∠C＋∠CAO，∴∠BOE＋∠COE＝∠B＋∠BAO＋∠C＋∠CAO，即∠BOC＝∠B＋∠BAC＋∠C.∵∠BAC＝70°，∠B＝30°，∠C＝20°，∴∠BOC＝70°＋30°＋20°＝120°.13．∠1＋∠3＝2∠2【点拨】∵EF∥BC，∴∠B＝∠3.∵∠1，∠2分别是△ABC和△ABD的外角，∴∠1＝∠BAC＋∠B＝∠BAC＋∠3，∠2＝∠BAD＋∠B＝∠BAD＋∠3，∴∠BAD＝∠2－∠3，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC＝2∠BAD，∴∠1＝2∠BAD＋∠3.∴∠1＝2(∠2－∠3)＋∠3，整理，得∠1＝2∠2－∠3，即∠1＋∠3＝2∠2.14．6【点拨】如图，连接DE.∵△ABC的面积是24，AD是△ABC的中线，∴△ACD的面积为12.∵GD是△GBC的中线，∴S△CGD＝S△BGD.∵E，F分别是CG，BG的中点，∴S△AEG＝eq\f(1,2)S△ACG，S△GED＝eq\f(1,2)S△CGD，S△DGF＝eq\f(1,2)S△DGB，∴S△DEG＝S△DGF.∴S阴影＝S△AGE＋S△DGE＝eq\f(1,2)S△ACG＋eq\f(1,2)S△CDG＝eq\f(1,2)S△ACD＝6.三、15．【解】(1)逆命题：如果a＝0，b＝0，那么a＋b＝0.此逆命题是真命题．(2)逆命题：如果一个数是3，那么这个数的平方是9.此逆命题是真命题．16．【证明】∵∠1＝∠2，∴AB∥CE，∴∠A＝∠4.又∵∠3＝∠A，∴∠3＝∠4，∴AC∥DE.四、17．【解】同意，理由如下：因为a2－b2＝ac－bc，所以(a＋b)(a－b)＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0.因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a＋b－c>0，所以a－b＝0，即a＝b，所以△ABC一定是等腰三角形．18．【解】∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，∠C＝90°，∠ABC＝40°，∴∠CAB＝180°－90°－40°＝50°.∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝25°.∵∠EAB＋∠AEB＋∠EBA＝180°，∴∠AEB＝180°－25°－40°＝115°，∵∠AEB＝∠CED，∴∠CED＝115°，∵BD⊥AB，∴∠DBA＝90°.∴∠D＝90°－∠DAB＝90°－25°＝65°.五、19．【解】连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠CPD＋∠DCP.∵∠2是△CEP的外角，∴∠2＝∠EPC＋∠ECP，∴∠1＋∠2＝∠CPD＋∠DCP＋∠EPC＋∠ECP＝∠ECD＋∠α＝90°＋40°＝130°.20．【解】(1)∵在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2，∴20－8<2m－2<20＋8，解得7<m<15.∴m的取值范围是7<m<15.(2)分两种情况：①当AB＝AC时，2m－2＝20，解得m＝11.此时△ABC的周长＝20＋20＋8＝48；②当BC＝AC时，2m－2＝8，解得m＝5.∵7<m<15，∴此种情况不合题意．综上所述，m的值为11，△ABC的周长为48.六、21．【解】(1)因为∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD，所以AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(8×15,17)＝eq\f(120,17)(cm)，故AD的长为eq\f(120,17)cm.(2)因为AE为BC边上的中线，所以BE＝CE，所以△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋AE＋CE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝15－8＝7(cm)，故△ACE和△ABE的周长的差是7cm.(3)因为∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝15cm，所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×8×15＝60(cm2)．因为AE是边BC上的中线，所以S△ABE＝S△AEC，所以S△ABE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)×60＝30(cm2)，故△ABE的面积是30cm2.七、22．(1)【证明】∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABD，∴2∠ABD＋∠A＝90°，∴△ABD是“准直角三角形”．(2)①③【点拨】∵∠B＝70°，∠C＝10°，∴∠B＋2∠C＝90°，∴△ABC是“准直角三角形”，故①正确；∵△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴∠B＝eq\f(1,2)(90°－∠A)＝15°，故②错误；∵在“准直角三角形”中，内角α与β满足2α＋β＝90°，∴α＋β＜90°，∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确．(3)∠APB的度数为10°或20°或40°或110°.八、23．(1)【证明】∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，∵∠BDA＝∠C，∴∠DAE＝∠BDA，∴AC∥BD.(2)【证明】∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠BGA＋∠C＝90°