二项分布（2）课件高二下学期数学人教A版选择性

7.4.1二项分布（2）复习引入独立地重复4.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作

.注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布.X～B(n，p)0

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678910例题例1：如图7.4-2是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入,小球下落的过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,…,10.用X表示小球最后落入格子的号码,求X的分布列.分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布.课本74页而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次,所以X~B(10,0.5).于是,X的分布列为因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数,解：设A=“向右下落”,则=“向左下落”,且P(A)=P()=0.5.X的概率分布图如右图所示：练习例题例2：甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.课本75页解法1：采用3局2胜制,甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1,前者是前两局甲连胜,后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为=0.648.类似地,采用5局3胜制,甲最终获胜有3种比分3:0或3:1或3:2.因为每局比赛的结果是独立的,甲最终获胜的概率为因为p2>p1,所以采用5局3胜制对甲更有利.p1=0.62+[×0.61×(1-0.6)1]×0.6=0.62+×0.62×0.4p2=0.63+×0.63×0.4+×0.63×0.42=0.68256.例2：甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？课本75页例2：甲、乙两选手进行象棋比赛,如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？=0.68256.p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)采用5局3胜制,不妨设赛满5局,用X表示5局比赛中甲胜的局数,则X~B(5,0.6).甲最终获胜的概率为因为p2>p1,所以采用5局3胜制对甲更有利.实际上,比赛局数越多,对实力较强者越有利.解法2：采用3局2胜制,不妨设赛满3局,用X表示3局比赛中甲胜的局数,则X~B(3,0.6).甲最终获胜的概率为=0.648.p1=P(X=2)+P(X=3)=×0.62×0.4+×0.63=×0.63×0.42+×0.64×0.41+×0.65课本75页采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜.所以赛满3局或5局，均不会影响甲最终获胜的概率.思考：为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率?一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下:

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p).反思归纳131.判断下列表述正确与否,并说明理由:解:(1)正确.每道题猜对答案与否是独立的，且每道题猜对答案的概率为0.25，故猜对答案的题目数X服从二项分布，即X~B(12,0.25).(1)12道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(12,0.25);(2)错误.每次抽到次品的概率为0.1，但由于是不放回抽样，所以每次是否抽到次品不独立，不满足二项分布的条件.(2)100件产品中包含10件次品,不放回地随机抽取6件,其中次品数Y~B(6,0.1).课本P77练习探究:

假设随机变量X服从二项分布B(n,p),那么X的均值和方差各是什么?我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50次正面朝上.(1)当n＝1时,X服从两点分布,X分布列为P(X＝0)＝1－p,P(X＝1)＝p,则有E(X)＝0×(1－p)+1×p＝p，D(X)＝02×(1－p)+12×p－p2＝p(1－p).根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X,我们猜想E(X)＝np.

探究：二项分布的均值与方差(2)当n＝2时,X分布列为P(X＝0)＝(1－p)2,P(X＝1)＝2p(1－p),P(X＝2)＝p2，则有E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2p.D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p).二项分布的均值与方差：下面对均值进行证明：证明：归纳总结181.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列;(2)E(X)=___,D(X)=___.解：练习课本P76192.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于（

）20随堂检测5.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是.(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；解：设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差.则ξ的分布列为26课堂