《函数y=Asin（ωx＋ψ）的图象》教学设计

7/19《函数的图象》教学设计一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题．(二)学习目标1．理解参数A(A﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对函数图象的影响．2．掌握正弦型函数的变换过程，会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象．3．y=Asin(ωx+φ)，x[0，)(其中A﹥0，ω﹥0)中各量的物理意义．(三)学习重点1．φ对函数图象的影响．2．掌握正弦型函数的变换过程．3．理解A(A﹥0)，ω(ω﹥0)，φ的物理意义．(四)学习难点通过探究理解参数A(A﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对y=Asin(ωx+φ)图像的影响，尤其注意区别先伸缩后平移和先平移后伸缩两种变换过程的不同．二、教学设计(一)课前设计1．预习任务参数A(A﹥0)，ω(ω﹥0)，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响．=1\*GB3①函数y=sinx图象上所有点向左(φ﹥0)，或向右(φ﹤0)平移|φ|个单位长度y=sin(x+φ)的图象．=2\*GB3②y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短(ω﹥1)或伸长(0﹤ω﹤1)到原来的倍，纵坐标不变y=sin(ωx+φ)的图象．=3\*GB3③函数y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(A﹥1)或缩短(0﹤A﹤1)到原来的A倍，横坐标不变y=Asin(ωx+φ)的图象．2．预习自测A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响：函数图象的纵向伸缩变换(振幅变换.)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)图象的影响：函数图象横向伸缩变换(周期变换.)φ对y=sin(x+φ)图象的影响：函数图象的左右平移变换(平移变换.)(二)课堂设计1．知识回顾(1)三角函数的图象．(2)三角函数的值域和定义域．(3)三角函数的性质．新课讲解活动一：请用五点作图法画出函数y=sinx的图象．【设计意图】使学生能准确作出y=sinx的图象，并为后面的图象变换提供必要的保障．问题一：观察下列图象与正弦曲线有什么关系？【设计意图】直接切入本节课题，引导学生思考参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响．探究一：在同一坐标系中用“五点法”画出函数y=3sinx，xR和函数y=sinx，xR的简图，再观察它们与函数y=sinx，xR的图象关系．(作图并观察、讨论、回答上述探究，教师用几何画板动态演示变化过程，引导学生发现并归纳出A对图象的影响．)结论一：一般地，函数y=Asinx，xR(A>0且A≠1)的图象，可以看作把函数y=3sinx，xR图象上所有的点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到．【设计意图】复习巩固“五点作图法”，让学生直观感知图象的变化规律，由特殊到一般的学习方法，即培养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力，增强学生的合作意识．探究二在同一坐标系中画出函数y=sin3x，xR和函数y=sinx，xR的简图，再观察它们与函数y=sinx，xR的图象关系．(作图并观察、讨论、回答上述探究，教师用几何画板动态演示变化过程，引导学生发现并归纳出ω对图象的影响．)结论二：一般地，函数的图象，可以看作把函数图象上所有的点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．【设计意图】让学生直观感知图象的变化规律，由特殊到一般的学习方法，即培养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力．探究三在同一坐标系中画出函数的简图，再观察它与函数的图象关系．(作图并观察、讨论、回答上述探究，教师用几何画板动态演示变化过程，引导学生发现并归纳出对图象的影响．)结论三：一般地，函数y=sin(x+φ)，xR(φ≠0)的图象，可以看作把函数y=sinx，xR(图象上所有的点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移|φ|个单位而得到【设计意图】让学生直观感知图象的变化规律，由特殊到一般的学习方法，即培养学生的动手作图习惯，同时也提高了学生的观察能力以及抽象概括能力．探究四：由正弦函数如何变换得到函数y=sin(2x+)？猜想：变换过程1y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)变换过程2y=sinxy=sin2xy=sin(2x+)【设计意图】观察函数解析式，容易发现参数ω、φ都发生了变化，根据已有的知识基础，自然地提出本节核心问题：两种变换能否任意排序？问题1：按照变换过程1由函数y=sinx的图象如何变换得到y=sin(2x+)的图象？变换过程2呢？(学生小组合作，在两种变换过程中选择一个进行研究)变换过程1：(1)将y=sinx图象上各点左平移个单位长度，得到y=sin(x+)的图象；(2)再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短(ω﹥1)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图象．变换过程2：(1)将y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω﹥1)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin2x的图象；问题2：第二种变换方法，平移量是还是？为什么？【设计意图】这部分内容是本堂课的难点，通过提问探究、数形结合的方法打破学生的错误直觉，使学生直观的从形中感受数的严谨．(2)再将y=sin2x图象上各点左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图象．问题3：类似的，你能讨论出参数A(A﹥0)对y=Asin(2x+)的图象的影响吗？【设计意图】巩固A对正弦函数图象的影响，让学生通过观察变换过程中的变量和不变量总结规律．问题4：通过上述研究讨论，请归纳总结正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法．归纳总结：函数y=Asin(ωx+φ)的图象可以由y=sinx的图象经过以下变换而得到．方法一方法二1．作出函数y=sinx的图象1．作出函数y=sinx的图象2．将y=sinx图象上各点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移|φ|个单位，得到y=sin(x+φ)的图象．(平移口诀：左正右负)2．将y=sinx图象上各点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sinωx的图象．3．将所得图象上各点的横坐标缩短(当ω﹥1时)或伸长(当0﹤ω﹤1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象．3．将所得图象上各点向左(当φ﹥0时)或向右(当φ﹤0时)平移个单位，得到y=sin(ωx+φ)的图象．(注:平移单位是相对于一个而言的)4．将所得图象上各点的纵坐标伸长(当A﹥1时)或缩短(当0﹤A﹤1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象．4．将所得图象上各点的纵坐标伸长(当A﹥1时)或缩短(当0﹤A﹤1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象．【设计意图】通过学生讨论，教师用几何画板演示，完整总结出正弦曲线变换得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的方法，体会由简到杂，由特殊到一般的思想方法．探究五y=Asin(ωx+φ)，(其中A﹥0，ω﹥0)中各量的物理意义．当函数y=Asin(ωx+φ)，(其中A﹥0，ω﹥0)表示一个振动量时：A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”．T：往复振动一次所需要的时间,称为“周期”．f：单位时间内往复振动的次数,称为“频率”．称为相位．φ：x=0时的相位φ称为初相．(注：若A﹤0，ω﹤0，φ就不是初相，此时应先用诱导公式将x前的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相φ．)例1．函数y=sinx的图象经过一个变换,可得到函数y=cosx的图象,则这个变换为()A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【知识点】三角函数图象的平移转换．【数学思想】三角函数的图象与性质【解题过程】y=sinx=cos(-x)=cos(x-)，故y=sinx的图象向左平移个单位长度即可得到y=cosx的图象．【思路点拨】确定影响平移方向和平移量的量φ．【答案】B．同类训练函数经过怎样的变换能够得到？【知识点】正、余弦函数图像的变换.【数学思想】转化的思想.【解题过程】，故将向右平移个单位长度后得到.【思路点拨】通过诱导公式，适当的变更函数名.例2．将函数y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数解析式为.【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】三角函数的图象的平移，伸缩变换．【解题过程】把y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象，再将所得图象向左平移个单位得到y=sin(x-)的图象．【思路点拨】由左加右减的原则，以及伸缩变换，推出结果．【答案】．同类训练为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)【知识点】正弦函数图像的变换.【数学思想】转化和数形结合的思想.向左平移个单位向左平移个单位横坐标扩大为原来3倍2sinx2sin(x+)横坐标扩大为原来3倍.故选C.【思路点拨】观察x前系数，确定横坐标是扩大还是缩小.【答案】C.例3．已知函数y=3sin3x．(1)作出函数在上的图象．(2)求(1)中函数的图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积．【知识点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象；正弦函数的图象．【数学思想】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的图象和性质．【解题过程】解：(1)令函数y=3sin3x中，3x的值取，π，，2π，，可得xy30﹣303故函数在上的图象，如下图所示：(2)由图可得函数的图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积S=S△ABC=【思路点拨】(1)由已知中函数解析式为y=3sin3x，当时，，分别令3x的值取，π，，2π，，然后利用五点法可得函数的图象；(2)根据(1)中函数的图象，利用割补法可求函数图象与直线y=3所围成的封闭图形的面积．【答案】(1)如上图(2)2π同类训练：函数f(x)=sinx+2|sinx|，x∈［0,2π］的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____________.【知识点】绝对值，正弦函数的图像.【数学思想】数形结合的思想方法.【解题过程】作图如下:由图知k∈(1,3).【思路点拨】函数图像交点问题，往往采取数形结合的方法，通过作图辅助解题.【答案】k∈(1,3).三．课堂总结知识梳理由y=sinx变换到y=Asin(ωx+φ)的两种方法．yy=sinx沿x平移|φ|个单位横坐标伸长或缩短y=siny=sinωxy=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=sin（ωx+φ）横坐标伸长或缩短y=sin（ωx+φ）y=sin（ωx+φ）纵坐标伸长或缩短纵坐标伸长或缩短yy=Asin（ωx+φ）重难点归纳参数A，ω，φ函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响．(1)振幅变化，由A的变化引起；(2)周期变化，由ω的变化引起；(3)相位变化，由或φ的变化引起．(三)课后作业基础型自主突破1．为了得到函数y=sin(2x﹣)，xR的图象，只需将函数y=sin2x，xR的图象上所有的点()A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【知识点】函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．【数学思想】把y=sin(2x﹣)变形为y=sin2(x﹣)，然后结合函数图象的平移得答案．【解题过程】解：∵y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣)，∴为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．【思路点拨】本题考查函数图象的平移变换，关键是注意x的变化．【答案】D．2．要得到函数y=cos(-)的图象，只需将函数y=sin的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】使用诱导公式进行角的互化．【解题过程】解：y=cos(-)=sin(-+)=sin(+)=sin[(x+)]故把y=sin的图象向左平移个单位，即得函数y=sin[(x+)]的图象，即得到函数y=cos(-)图象．【思路点拨】本题考查诱导公式，以及y=Asin(ωx+φ)图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．【答案】A．能力型师生共研3．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A﹥0，|φ|﹤)的图象如图所示，为了得到g(x)=sin2x的图象，只需将f(x)的图象()向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【知识点】三角函数的图象和性质【数学思想】由f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式；函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象变换．【解题过程】由图象可知A=1，=-=，即周期T=π=,所以ω=2，所以f(x)=sin(2x+φ)又f()=sin(2×+φ)=-1，即sin(+φ)=1，所以+φ=+2kπ，kZ，即φ=+2kπ，kZ，因为|φ|﹤，所以当k=0时，φ=，所以f(x)=sin(2x+)g(x)=sin2x=sin[2(x-)+]，所以只需将f(x)的图象向右平移个单位，即可得到g(x)=sin2x的图象．【思路点拨】根据图象求出A，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式，根据函数解析式之间的关系即可得到结论．【答案】A．4．函数y=2sin(x-)的周期、振幅、初相分别是()A．4π，﹣2， B．4π，2， C．2π，2，﹣ D．4π，2，﹣【知识点】y=Asin(ωx+φ)中各参数的物理意义．【数学思想】三角函数的图象与性质的应用，三角函数的图象中周期、振幅、初相的意义．【解题过程】解：∵函数y=2sin(x-)，∴ω=，周期T==4π；振幅A=2；初相φ=-．【思路点拨】由函数解析式，根据三角函数的图象中周期、振幅、初相的意义，求出其周期、振幅和初相．【答案】D．5．要得到函数y=2cos(2x+)的图象．可以由诱导公式先把它变成y=2sin()然后由y=sinx的图象先向平移个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，就可以得到y=2cos(2x+)的图象．【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】利用诱导公式把函数y=2cos(2x+)化为y=2sin(2x+)，然后再由左加右减，上加下减的原则，以及伸缩变换，推出结果即可．【解题过程】函数y=2cos(2x+)=2sin(2x++)=2sin(2x+)，由y=sinx的图象先向左平移个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即可得到y=2cos(2x+)的图象．故答案为：2x+；左；；；2．【思路点拨】考查诱导公式的化简，三角函数的图象的平移，伸缩变换，化简是第一位的，注意平移时先φ，后ω，不影响φ的数值．探究型多维突破6．将函数y=2cos(x+)的图象作怎样的变换可以得到函数y=cosx的图象？【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律．【解题过程】将函数y=2cos(x+)图象上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=2cos(x+)的图象，再将曲线上各点纵坐标变为原来的，再将图象向右平移个单位，得到函数y=cosx的图象．【思路点拨】考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律．7．已知函数y=3sin(x-)，说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的．【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律．【解题过程】方法一：“先平移，后伸缩”．先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象；再把y=sin(x-)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象；最后将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象．方法二：“先伸缩，后平移”．先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x)的图象；再把y=sin(x)图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)的图象；最后将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin(x-)的图象．【思路点拨】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．8．函数y=cos(2x+φ)(−πφ﹤π)的图象向右平移个单位后，与函数y=sin(2x+)的图象重合，则|φ|=____．【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．【数学思想】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解题过程】函数y=cos(2x+φ)(−πφ﹤π)的图象向右平移个单位，得平移后的图象对应的函数解析式为y=cos[2(x-)+φ]=cos(2x+φ−π)，其图象与函数y=sin(2x+)重合，2x+φ−π=2x+−+2kπ，，φ=−+π+2kπ，，φ=+2kπ，，又−πφ﹤π，φ=．【思路点拨】三角函数的图象与性质，注意取值范围．【答案】．自助餐1.用五点作图法作y=2sin4x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是()A．0，，π，，2πB．0，，，，πC．0，，，，D．0，，，，【知识点】五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.【数学思想】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【解题过程】由“五点法”作图知：令4x=0，，π，，2π，解得x=0，，，，，即为五个关键点的横坐标.【思路点拨】根据y=sinx的第一个周期内五个关键点：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，﹣1)，(2π，0)，计算求得y=2sin4x的五个点的横坐标.【答案】C．2.为了得到函数y=sin(2x﹣)，x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点()A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【数学思想】函数y=Asin(ωx+φ)图象的平移变换.【解题过程】∵y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣)，∴为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度.【思路点拨】把y=sin(2x﹣)变形为y=sin2(x﹣)，然后结