电路基础与实践（第4版）课件：非正弦周期电流电路稳态

非正弦周期电流电路稳态分析

非正弦周期函数的傅里叶级数展开式非正弦周期量的基本知识非正弦周期电流电路的稳态分析非正弦周期电流电路稳态分析

8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式8.2非正弦周期量的基本知识8.3非正弦周期电流电路的稳态分析非正弦周期电流电路稳态分析

引例：滤波电路滤波电路主要作用是滤除电路中不需要的信号，保留有用信号。滤波电路有低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等。低通滤波电路就是将高频信号滤除，只保留低频信号的电路；高通滤波电路就是将低频信号滤除，只保留高频信号的电路；带通滤波电路就是将某一频段内的信号通过，而将其他频段的信号滤除的电路；带阻滤波电路则是将某一频段内的信号滤除，而将其他频段的信号通过的电路。非正弦周期电流电路稳态分析

图8-1所示的RC低通滤波电路是比较简单的滤波电路，在该仿真电路中，u1幅值为1V、频率为100Hz；叠加一个u2幅值为0.1V、频率为1kHz把这两个信号源串联，模拟一个非正弦周期函数。那么有该信号的波形在示波器上显示，相当于低频信号叠加高频干扰的效果，经过RC低通滤波之后，输出电压uo为频率100Hz的正弦信号，高频成分被滤除。图8-1RC低通滤波电路仿真非正弦周期电流电路稳态分析

答案是肯定的，理论依据就是傅里叶级数展开法，应用该方法可将任意非正弦周期量分解为一系列不同频率的正弦量之和，然后根据线性电路的叠加定理，求解各次谐波信号单独作用然后代数叠加即可。这就是本章要研究的内容。图8-1RC低通滤波电路仿真在实际工程应用中，很多情况下，信号是非正弦周期函数。这种信号的电路分析计算很不方便。在图8-1中，的非正弦周期信号用两个正弦信号叠加来模拟。是否所有的非正弦周期函数都能用一系列不同频率的正弦信号叠加来表示？2024/12/276:24培养目标知识目标能力目标素养目标1)掌握非正弦周期电压、电流的概念。2)熟练掌握非正弦周期函数的傅里叶级数展开式3)熟练掌握非正弦量有效值、平均值平、均功率的求解方法。熟练掌握非正弦周期电路的分析方法。1)能够正确描述非正弦周期函数的特点。2)会对函数进行傅里叶级数展开3)会计算非正弦周期量有效值、平均值平、均功率。4)能够对非正弦周期电路进行分析计算。5)会对非正弦周期电路进行仿真分析。1）具有创造性思维、创新意识和实践能力。2）具有良好合作交流能力及团队协作精神。3）具有安全意识，自觉遵守规章制度。4）具有良好的工程意识，严谨的工作作风，自觉遵守工程规范。5）具有社会责任心与节能和环境保护意识。8.1非正弦周期函数的傅里叶级数展开式一、非正弦周期电流电路的基本概念

变化的周期T和频率f

（a）（b）（c）图8-1几种常见的周期非正弦波（a）尖形波（b）矩形波（c）三角波谐波分析法图8-2谐波分析法分析示意图图8-3矩形波的合成

二、非正弦周期函数的傅里叶级数展开式

1．三角形式的傅里叶级数展开式给定的周期函数f（t）的周期为T，角频率则f（t）的傅里叶级数展开式为利用三角函数公式式中a0，ak，bk称为傅里叶系数，可由下列积分求得:

各系数之间存在如下关系

A0是f（t）一周期时间内的平均值，称直流分量。k=1的正弦波称为基波；k=2的正弦波称为二次谐波；k=n的正弦波，称为n次谐波。当k为奇数时称为奇次谐波；k为偶数时，称为偶次谐波。非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。表1.1部分电器图形符号2．指数形式的傅里叶级数展开式式中的Fk是复常数。

利用欧拉公式，我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数例8-1已知矩形周期电压的波形如图8-4所示。求u（t）的傅里叶级数。

图8-4矩形波解图示矩形周期电压在一个周期内的表示式为

由式8-3可知:由此可得当k为奇数时当k为偶数时

三、非正弦周期函数的傅里叶级数展开式的简化

综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简化。3）周期函数为偶函数时，即满足f（t）=f（-t）波形对称于纵轴。如全波整流波形、矩形波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk=0，即无正弦谐波分量，只含余弦谐波分量，因为余弦函数本身就是偶函数。

周期函数表示为在电路中遇到的非正弦周期函数，大多都具有某种对称性。在对称波形的傅里叶级数中，有些谐波分量不存在。因此利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。1）周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数的平均值等于零，傅里叶级数展开式中a0=0，无直流分量。2）周期函数为奇函数时，即满足f（t）=-f（-t），波形对称于原点。则a0=0，ak=0此时

例8-2试把图8-5所示振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。

图8-5三角波解电压基波的角频率为函数为奇函数，则a0=0，ak=0，此时可得四、非正弦周期函数的傅里叶级数查表求法

表8-1几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式8.2非正弦周期量的基本知识一、有效值、平均值平、均功率

1．有效值周期函数f（t）的有效值定义式为

以周期电流为例，有效值定义式为若将电流i分解成傅里叶级数将该表达式代入电流i效值定义式得将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开，结果有以下四种类型:电流i的有效值可按下式计算

同理，非正弦周期电压的有效值为所以，非正弦周期电流和电压的有效值等于各次谐波有效值平方和的平方根。各次谐波有效值与最大值之间的关系为例8-3

已知非正弦周期电流的傅里叶级数展开式为i=100－63.7sinωt－31.8sin2ωt－21.1sin3ωtA，求其有效值。解先求各次谐波有效值所以由式8-5得电流i的有效值为112.9A

2．平均值

实践中还会用到平均值的概念。以电流为例，其定义为即非正弦周期电流的平均值等于此电流绝对值的平均值。式8-8也称为整流平均值，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值。例如，当时，其平均值为

同理，电压平均值的表示式为

注意：非正弦交流电路中的直流分量和平均值是二个不同的概念，应加以区分。3．平均功率设有一个二端网络，在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周期电流i，若选择电压和电流的方向一致，此二端网络吸收的瞬时功率和平均功率为

若一个二端网络，端口的非正弦周期电压和电流展开成傅里叶级数分别为

则二端网络吸收的平均功率为

将上式积分号内两个积数的乘积展开，分别计算各乘积项在一个周期内的平均值。因此，二端网络吸收的平均功率可按下式计算其中，是k次谐波的平均功率，

分析表明：1）非正弦交流电路的平均功率，等于直流分量功率和各次谐波平均功率之和。非正弦交流电路中，不同频率的各次谐波平均功率满足叠加性，而在直流电路和单一频率多电源正弦交流电路的有功功率不满足叠加性。2）非正弦交流电路中，同次谐波电压和电流形成平均功率，而不同次谐波电压和电流不形成平均功率。这是由于三角函数的正交性所决定的。例8-4流过R=10电阻的电流为

求其平均功率。解:根据式8-10得2有效值、平均值平、均功率的计算

非正弦周期电路的有效值和平均值平均功率的计算时应注意：等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值；等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的频率；等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率必须等于电路的实际功率。例8-5已知某无源二端网络电流为

端电压为

求二端网络吸收的平均功率。

解：首先确定各等效正弦量的频率和振幅（或有效值），再确定等效正弦量的初相位，然后根据式8-11可得例8-6设图8-6（a）所示电路中（1）求电流源的端电压及有效值；（2）求电流源发出的平均功率图8-6例8-6图解：首先考虑直流成分的作用。将电感短路，电容开路，作直流电路模型如图8-6（b）所示。电流源端电压中直流分量为U0=（10+2×2）=14V再令频率为的正弦电源作用，电路的相量模型如图8-6（c）所示用节点法求电流源端电压相量化简得解得电流源的端电压及其有效值分别为电流源发出的平均功率为8.3非正弦周期电流电路的稳态分析在8.1节中，已介绍了谐波分析法的概念，它是非正弦周期电流电路计算的基本方法，在这里把傅里叶级数，直流电路，交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中，就可以对其电路进行分析和计算。具体步骤如下:1）把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量，并根据精度的具体要求取前几项。2）分别计算各谐波分量单独作用于电路时的电压和电流。但要注意电容和电感对各次谐波表现出来的感抗和容抗的不同，对于k次谐波有

3）应用线性电路的叠加原理，将各次谐波作用下的电压或电流的瞬时值进行叠加。应注意的是，由于各次谐波的频率不同，不能用相量形式进行叠加。图8-7例8-7图例8-7

如图8-7（a）所示的矩形脉冲作用于图8-7（b）所示的RLC串联电路，其中矩形脉冲的幅度为100V，周