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文档简介

贵州省贵阳市一中2025届高三压轴卷数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.2.设复数满足,在复平面内对应的点为,则不可能为()A. B. C. D.3.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.4.设,满足约束条件,若的最大值为,则的展开式中项的系数为()A.60 B.80 C.90 D.1205.已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称,则的单调递增区间为()A. B.C. D.6.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.7.设函数在定义城内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.8.设、分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则()A. B.0 C.1 D.39.已知命题:R,;命题:R,,则下列命题中为真命题的是()A. B. C. D.10.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为()A.8 B. C. D.11.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()A. B. C. D.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,复数且(为虚数单位),则__________,_________.14.已知函数,若恒成立,则的取值范围是___________.15.若函数,则使得不等式成立的的取值范围为_________.16.在中,角,,的对边长分别为,,,满足,,则的面积为__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(为实常数).(1)讨论函数在上的单调性;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.18.(12分)如图1,在等腰中,,,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且。将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且。(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩,某公司设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.(1)请你根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的:①根据上表数据计算的值;②已知该公司成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①:附②:对应一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.20.(12分)等差数列中,.(1)求的通项公式;(2)设,记为数列前项的和,若,求.21.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.22.(10分)如图,在直三棱柱中,,,为的中点,点在线段上,且平面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.2、D【解析】

依题意,设,由,得,再一一验证.【详解】设,因为,所以,经验证不满足,故选:D.【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义,还考查了推理论证能力,属于基础题.3、D【解析】

这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D【点睛】考查几何概型,是基础题.4、B【解析】

画出可行域和目标函数,根据平移得到,再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,,即,故表示直线与截距的倍,根据图像知:当时,的最大值为,故.展开式的通项为:,取得到项的系数为:.故选:.【点睛】本题考查了线性规划求最值,二项式定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5、D【解析】

先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式,从而得出的解析式,再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间,可得选项.【详解】因为函数的最小正周期是,所以,即,所以,的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为,由于其图象关于轴对称,所以,又,所以,所以,所以,因为的递增区间是:,,由,,得:,,所以函数的单调递增区间为().故选:D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性,对称性,单调性,图象的平移,在进行图象的平移时,注意自变量的系数,属于中档题.6、A【解析】

本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.7、D【解析】

根据的图象可得的单调性,从而得到在相应范围上的符号和极值点,据此可判断的图象.【详解】由的图象可知,在上为增函数,且在上存在正数,使得在上为增函数,在为减函数,故在有两个不同的零点,且在这两个零点的附近,有变化,故排除A,B.由在上为增函数可得在上恒成立,故排除C.故选:D.【点睛】本题考查导函数图象的识别,此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况,本题属于基础题.8、C【解析】

先根据奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数,,用替换,得,化简得,即令,所以,故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。9、B【解析】

根据,可知命题的真假,然后对取值,可得命题的真假,最后根据真值表,可得结果.【详解】对命题:可知,所以R,故命题为假命题命题:取,可知所以R,故命题为真命题所以为真命题故选:B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用,识记真值表,属基础题.10、D【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥,即可求出几何体的表面积.【详解】由三视图知几何体是四棱锥,如图,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,所以,故选:【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体,棱锥表面积的计算,考查了学生的运算能力,属于中档题.11、B【解析】

分别取、的中点、,连接、、,利用二面角的定义转化二面角的平面角为,然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,在中计算出,再利用勾股定理计算出,即可得出球的半径,最后利用球体的表面积公式可得出答案.【详解】如下图所示,分别取、的中点、,连接、、,由于是以为直角等腰直角三角形,为的中点,,,且、分别为、的中点,所以,,所以,,所以二面角的平面角为,,则,且,所以,,,是以为直角的等腰直角三角形,所以,的外心为点,同理可知,的外心为点,分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点,则点在平面内,如下图所示,由图形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半径为,因此,球的表面积为.故选:B.【点睛】本题考查球体的表面积,考查二面角的定义,解决本题的关键在于找出球心的位置,同时考查了计算能力,属于中等题.12、D【解析】

结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.【详解】由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积,下半部分的正三棱柱的体积,故该几何体的体积.故选:D.【点睛】本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】∵复数且∴∴∴∴,故答案为,14、【解析】

求导得到,讨论和两种情况,计算时,函数在上单调递减,故,不符合,排除,得到答案。【详解】因为,所以,因为,所以.当,即时,,则在上单调递增,从而,故符合题意;当,即时,因为在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,则在上单调递减,从而,故不符合题意.综上,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题是解题的关键.15、【解析】

分,两种情况代入讨论即可求解.【详解】,当时,,符合;当时,,不满足.故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的计算,考查了分类讨论的思想.16、.【解析】

由二次方程有解的条件,结合辅助角公式和正弦函数的值域可求,进而可求,然后结合余弦定理可求,代入,计算可得所求.【详解】解:把看成关于的二次方程,则,即,即为,化为,而,则,由于,可得,可得,即,代入方程可得,,,由余弦定理可得,,解得:(负的舍去),.故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)【解析】

(1)分类讨论的值,利用导数证明单调性即可;(2)利用导数分别得出,,时,的最小值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1),.当即时,,,此时,在上单调递增;当即时,时,,在上单调递减;时,,在上单调递增;当即时,,,此时,在上单调递减;(2)当时,因为在上单调递增,所以的最小值为,所以当时,在上单调递减,在上单调递增所以的最小值为.因为,所以,.所以,所以.当时,在上单调递减所以的最小值为因为,所以,所以,综上,.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)要证明线面平行,需证明线线平行,取的中点,连接,根据条件证明,即;(2)以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求两个平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取的中点,连接.∵,∴为的中点.又为的中点,∴.依题意可知,则四边形为平行四边形,∴,从而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则,,,,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,得.设平面的法向量为,则,即,令,得.从而,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题,意在考查空间想象能力,推理证明和计算能力,属于中档题型,证明线面平行,或证明面面平行时,关键是证明线线平行,所以做辅助线或证明时,需考虑构造中位线或平行四边形,这些都是证明线线平行的常方法.19、(1)列联表见解析,有把握;(2)①;②元时【解析】

(1)直接由题意列出列联表,通过计算,可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)①代入表中数据,结合公式求出;②由①中所得的线性回归方程,若售价为,单价利润为,日销售量为,进而可求出日利润,结合导数可求最值.【详解】解:(1)由题意知,采用促销中精英店的数量为,采用促销中非精英店的数量为;没有采用促销中精英店的数量为,没有采用促销中非精英店的数量为,列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.(2)①由公式可得:所以回归方程为②若售价为,单件利润为,日销售为,故日利润,解得.当时,单调递增;当时,单调递减.故当售价元时,日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验,考查了线性回归方程的求法,考查了函数最值的求解.在求函数的最值时,常用的方法有:函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.20、(1)(2)【解析】

(1)由基本量法求出公差后可得通项公式;(2)由等差数列前项和公式求得,可求得.【详解】解:(1)设的公差为,由题设得因为,所以解得,故.(2)由(1)得.所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,所以,由得,解得.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式,解题方法是基本量法.21、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.【解析】

(I)根据题目所给数据

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