江西省吉安市遂川县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

江西省吉安市遂川县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．x(x−1)=0 B．ax2−ax=2 C．x2．若点A(m，n)在反比例函数A．m+n=6 B．m−n=6 C．mn=6 D．m3．如图所示，由三个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（）A． B． C． D．4．已知△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，且斜边长分别2和4，则两个三角形的面积比为（）A．1：2 B．1：2 C．5．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A．38 B．58 C．236．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC和AD边上，BE=2，AF=6，AE∥CF，则△ABE的面积为（）A．6 B．8 C．12 D．16二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知ab=13，则8．一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为.9．若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则11．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，AC=2，AD⊥BC垂足为D，DE∥AC，则ED长为．12．如图，菱形ABCD中，AD=4，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，点P在菱形的边上，若DE=DP，则CP的长为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）解方程：x2（2）如果四条成比例线段线段的长分别为2，3，6，a，求a的值．14．新能源汽车越来越多地进入普通家庭，调查显示，截止2023年中旬某市新能源汽车拥有量为18.9万辆．已知2021年中旬该市新能源汽车拥有量约为2.15．如图是4×6正方形网格，已知格点A，B，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，以AB为对角线，作一个正方形；（2）在图2中，取格点C，作∠BAC，使sin∠CAB=216．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过点D作DE∥AC，交BC于点E．求证：BDAB17．在一个不透明的袋中装有一个红球和两个2个绿球，这些球除颜色外都相同．（1）随机摸一个球，摸到的是红球的概率为，摸到的是黄球是事件；（2）小新从袋中随机摸出一个球，放回后，又再摸出一个球，求摸到一个红球和一个绿球的概率．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，D为AB的中点，DE⊥BC，垂足为E，DE=2，求EC的长．19．如图，已知一次函数y=34x+m的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=24x(x>0（1）求m，n的值；（2）求AC的长．20．如图1是某校操场上的一种漫步机，图2是其侧面结构示意图，已知主支架AB长为120cm，且与水平地面基架BD的夹角为70°，前支架CD与AB所成的∠DCB=45°，扶手AE长为30cm，∠EAB=135°．（参考数据：cos70°≈0.342，sin70°≈0.940，tan70°≈1.222（1）求∠CDB的度数；（2）求漫步机的高度（点E到BD的距离）．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．九年级某班在学习了教材P23页的数学活动后，某数学小组经讨论组织了一次综合与实践活动，经历了如下过程：将大小相同的标准小等边三角形按如图所示的方式进行摆放，根据图形中的规律，解决如下问题：（1）问题提出在下列三个图中，标准小等边三角形的个数分别是：图1中共有个，图2中共有个，图3中共有个；（2）操作发现按此规律摆放下去，猜想第四个图形中，共有标准小等边三角形的数为个；（3）数学思考按以上规律摆放下去，是否存在最后两个图形标准小等边三角形的个数总数为265个的情况？如果存在，求最后这个图形中标准小等边三角形的个数；如果不存在，说明理由．22．如图，△ABC中，AC=8，BC=10，CD是⊙O直径，且平分∠ACB，BC交⊙O于点E，BD是⊙O的切线．（1）求BE的长；（2）求⊙O直径CD和tan∠ACD的值．六、（本大题共12分）23．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出，如图，正方形ABCD中，P在CD边上任意一点（不与点C重合），以P为旋转中心，将PA逆时针旋转90°，得到PM，连接AM，AM，PM分别交BC于点E，F．（1）操作发现，当∠DAP=35°时，∠BAE的度数为，∠EFM的度数为．（2）数学思考，连接BM，当P为CD中点时，求证：∠CBM=45°；（3）拓展应用，若AB=4，AF是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：

A：x(x−1)=0，是一元二次方程，x2-x=0，符合题意

B：ax2−ax=2，a有可能等于0，则是一元一次方程，不符合题意

C：x2−故答案为：A

【分析】根据一元二次方程的定义及一般式ax2+bx+c=0（a≠0）进行判定即可。2．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意

反比例函数y=6x的图象上点的坐标特征是xy=6

点A(m，n)故答案为：C

【分析】根据反比例函数y=kx（k3．【答案】D【解析】【解答】解：从正面看，可以看到两个正方形，后面的正方形在正面看不到，故画两条虚线表示它的存在。故答案为：D

【分析】通过一定的空间想象能力掌握简单几何体的三视图。4．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意

△ABC与△DEF都是等腰直角三角形

∴三个内角分别都是90°，45°，45°

∴△ABC~△DEF

∴相似比=故答案为：C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可以判定两三角形必然相似，面积比等于相似比的平方。5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：48=1故选D．【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．6．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示

∵ABCD是正方形

∴AD∥BC，AB=BC

∵AE∥CF

∴AECF是平行四边形

∴EC=AF=6

∴BC=BE+EC=2+6=8

∴AB=BC=8

故答案为：B【分析】根据正方形的性质可得到判定平行四边形的条件，由平行四边形的性质可计算出正方形的边长，三角形的底和高都已知则面积可求。7．【答案】4【解析】【解答】解：a+bb=ab+1

∵ba=13

∴ab+1=18．【答案】0【解析】【解答】x2－2x＝0a=1，b=-2，c=0，△=b2-4ac=（-2）2-4×1×0=4＞0，x1x2=ca故答案为0.【分析】根据根与系数的关系先证明方程有解，再计算x1x2即可.9．【答案】2【解析】【解答】解：根据题意

正方形的周长是8

则边长为8÷4=2

对角线AC=故答案为：2

【分析】由正方形周长公式先求边长，再根据勾股定理求出斜边AC。10．【答案】10【解析】【解答】解：根据题意

∵sinA=故答案为：10

【分析】根据三角函数正弦函数的定义，正弦值等于对边比斜边，对边已知，斜边AB可求。11．【答案】3【解析】【解答】解：如图所示

∵∠BAC=90°，AD⊥BC

∴△ADC~△BAC

∴ACCD=BCAC=42

∴CD=12AC=1故答案为：3

【分析】掌握相似三角形的性质定理并灵活应用求边长；从已知条件入手，可知图中的三个直角三角形都是相似的，可由相似三角形的性质定理对应边成比例求出未知边。12．【答案】22或4−22【解析】【解答】解：根据题意，菱形ABCD中，

AD=CD=4，∠A=∠C=45°，DE⊥AB

∴DE=AE=AD22=422=22

∴DP=DE=22

当P在CD上时

CP=DC-DP=4-22

当P在BC上时，过P作PH⊥CD于H

∵∠C=45°

设CH=x

∴CH=PH=x,CP=2x，DH=4-x

∴DP2=DH2+PH2即222=4-x2+故答案为：22或4−22

【分析】题中点P在菱形的边上，并没有指明哪边，P点不唯一，故需要分别讨论；当P在CD上时，可以根据图示直接求得；当P在BC上时，根据给定的45°角想到等腰直角三角形的性质，想到求CP要把它放在直角三角形里面来求，故作辅助线得到等腰直角三角形，由勾股定理可求；当P在AB上，则P与E点重合，不符合题意；当P在AD上时，仍然作辅助线找到等腰直角三角形，借助勾股定理解三角形。13．【答案】（1）解：x(x−3∴x−3=0，x−1=0∴解得x1=1，（2）解：∵2，3，6，a成比例，∴23∴a=9．【解析】【分析】（1）掌握解一元二次方程的解法，观察本题各项系数，可以用十字相乘法分解因式求解比较简便；

（2）了解成比例线段的含义：同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a：b=c：d（或ab14．【答案】解：设2021年底至2023年底该县汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，得2.解得x1=−4（不符合题意，舍去），答：2021年中旬至2023年中旬该市汽车拥有量的平均增长率为200%．【解析】【分析】典型的一元二次方程解决增长率问题；期初数量×（1+x）n=期末数量，x是平均增长率，n是增长周期数，本题中n=2。15．【答案】（1）解：如图1，正方形ACBD即为所求；（2）解：如图2，格点C即为所求；【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形的判定定理，先找AB的垂直平分线，再确定等长的格点，最后顺次连接；

（2）记住特殊角的三角函数值，可知∠CAB=45°，根据正方形对角线的性质，过AB中点O作AB的垂线，垂线上任意一点连接A和O都可以构成直角三角形，再确定与OA等长的OC找到格点C。16．【答案】证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD∵DE∥AC，∴∠EDC=∠ACD=∠BCD，△BDE∽△BAC∴BDAB=DE∴BDAB【解析】【分析】从问题入手，看到成比例线段想到先看线段所在的三角形是否相似；已知DE∥AC可直接判定△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质对应边成比例BDAB=DE17．【答案】（1）13（2）解：列出表格如下：第一次第二次红绿1绿2红（红，红）（红，绿1）（红，绿2）绿1（绿1，红）（绿1，绿1）（绿1，绿2）绿2（绿2，红）（绿2，绿1）（绿2，绿2）由表可知，一共有9种情况，摸到一个红球和一个绿球的有4种情况，∴摸到一个红球和一个绿球的概率=4【解析】【解答】解：根据题意

随机摸一个，全部可能的结果是3种

随机摸一个，摸到红球的结果是1种

随摸到的是红球的概率为1÷3=13

故第一空填：13

只能摸到红色或者绿色球，不可能摸到黄球

摸到的是黄球是不可能事件

故第二空填：不可能

18．【答案】解：∵∠B=30°，DE=2，DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，BD=2DE=4，DEBE∴BE=23∵D为AB的中点，∴AB=2BD=8．∴cosB=AB即BC=16∴EC=BC−BE=16【解析】【分析】从已知条件入手，30°角所对的直角边等于斜边的一半，由DE可求BD，根据中点可知AB，则直角三角形ABC的三边都可知，根据余弦函数可求BE，如图所示BC-BE即可求出EC的长。19．【答案】（1）解：∵点B(4，n)在函数∴n=6，点B的坐标为(4，∵点B(4，6)在∴m=3（2）解：∵BC⊥x轴，垂足为C，∴OC=4，点C的坐标为(4，当y=34x+3=0∴A点的坐标为(−4，∴AC=4−(−4)=8．【解析】【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可求n，将B点坐标代入一次函数解析式可求出m；

（2）如图可知C点坐标（4，0），当一次函数值为0时对应的x值即A点的横坐标，同在x轴上，求C与A点横坐标的差，就得到AC的长。20．【答案】（1）解：在△CDB中，∵∠CBD=70°，∠DCB=45°，∴∠CDB=180°−∠CBD−∠DCB=65°；（2）解：过点A作BD的平行线AF，∵∠ABD=70°，∴∠FAB=110°，∵∠EAB=135°，∴∠EAF=∠EAB−∠FAB=25°，分别过点A，E作AM⊥BD于M，EN⊥AF于N，∵∠EAF=25°，AE=30cm，AB=120cm，∠ABD=70°，∴EN=sin∠EAN⋅AE=sin25°×30=0.AM=AB⋅sin70°=120×0.∴漫步机的高度为EN+AM=1.【解析】【分析】（1）将已知条件在图上标示出来，易由三角形内角和公式求得∠CDB的度数；

（2）漫步机的高度是点E到BD的距离，故先做辅助线表示出高度，可见高分两段：点E到过A的水平线的距离，可以先求出EA与水平方向的夹角，再由正弦值乘以AE来求；点A到底面BD的距离，可以用70°角的正弦值乘以AB来求，将两段高相加即可求出漫步机的高度。21．【答案】（1）4；9；16（2）25（3）解：∵图1中共有4=(1+1)图2中共有9=(2+1)图3中共有16=(3+1)图4中共有25=(4+1)……∴图n中共有(n+1)2依题意得，(n+1)2∵11∴n+1=11，∴存在，最后这个图形中标准小等边三角形的个数为12【解析】【解答】解：（1）如图所示

图1中共有标准小等边三角形4个，4=22

图2中共有标准小等边三角形9个.9=32

图3中共有标准小等边三角形16个，16=42

故第一空填：4，第二空填：9，第三空填：16

（2）按此规律猜想第四个图形中有标准小等边三角，52=25个，

故第一空填：25

【分析】（1）按照要求数出小等边三角形的个数，然后看图找规律；

（2）按照图形的规律预测下一图有25个，推测小等边三角形个数与每个图序数的对应关系；

（3）在前两问的基础上，设图序数为n，推测出小等边三角形个数是（n+1）2，依据题意可以计算出小等边三角形的个数总数为265个时对应的n值，进而可求最后这个图形中标准小等边三角形的个数。22．【答案】（1）解：连接DE，AD，∵CD是直径，∴∠DAC=∠DEC=90∵CD平分∠ACB，∴DA=DE，∵CD=CD，∴Rt△DEC≌Rt△DAC(HL)，∴AC=CE=8，∴BE=2．（2）解：∵BD是⊙O的切线，∴∠BDC=90∴△BDE∽△DCE，∴BE∴DE∴DE=AD=4，∴CD∴⊙O的直径CD=45∴tan∠ACD=AD【解析】【分析】（1）根据直径所对的角是圆周角定理先作辅助线得到两个直角三角形，易由已知条件证得它们全等，则AC=EC，进而由BE=BC-EC求得BE的长；

（2）根据切线性质得到直角三角形，有共同锐角的三个直角三角形相似，只需求DE，故证明△BDE∽△DCE即可，根据对应边成比例的性质可得DE，用勾股定理可求出直径；在（1）全等的条件下，根据正切函数定义可直接求值。23．【答案】（1）10°；55°（2）证明：过点M作MQ⊥DC交DC延长线于Q，MN⊥BC于N，则∠Q=∠MNC=∠BNB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC，∠D=∠BCD=90°，则∠D=∠Q=∠BCQ=∠MNC=∠BNB=90°，∠1+∠2=90°，∴四边形MNCQ为矩形，由旋转可知：PA=PB，∠APB=90°，则∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△ADP≌△PQM(AAS)，∴DP=MQ，AD=PQ，∵P为CD的中点，∴PD=PC=12CD=∴四边形MNCQ为正方形，∴MN=CN=MQ=12AD=∴MN=BN，∴△BMN是等腰直角三角形，∴∠CBM=45°；（3）解：连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠D=90°，由勾股定理可知AF=AB2+BF而BF=BC−CF，则当CF取最大值时，BF有最小值时，即：当CF取最大值时，AF有最小值，设D