高等数学第七章习题课 欢迎加入湘潭大学期末考试复习资料库研发工作室QQ群：928812498

一阶微分方程的习题课(一)一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题解法及应用

第七章欢迎加入湘潭大学期末考试复习资料库研发工作室QQ群：928812498班级集体复印复习资料超级便宜！！拒绝高价垄断！！！请各班学委/班长先联系群主哦！一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程齐次方程线性方程代换自变量例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)

这是一个齐次方程，令y=ux,化为分离变量方程:方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为例2.求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(伯努利方程)(分离变量方程)原方程化为令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为例3.设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353题2求以为通解的微分方程.提示:消去

C

得P353题3

求下列微分方程的通解:提示:

令u=xy,化成可分离变量方程:提示:

这是一阶线性方程,其中P353题1，2，3(1),(2),(3),(4),(6),(9),(10)提示:

可化为关于

x

的一阶线性方程提示:

为伯努利方程,令提示:可化为伯努利方程令公式提示:

为可降阶方程,令原方程化为,即则故原方程通解提示:令二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.关键问题是正确建立数学模型,要点:P354题5.

已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.提示:

设曲线上的动点为M(x,y),令X=0,得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线在纵二阶微分方程的习题课(二)二、微分方程的应用

解法及应用一、两类二阶微分方程的解法

第七章欢迎加入湘潭大学考试资料群：579654451一、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解2.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法练习题:P353题2

(2);3(6),(7);

4(2)；

解答提示P353题2(2)

求以为通解的微分方程.提示:

由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为P353题3

求下列微分方程的通解提示:(6)令则方程变为特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思考若(7)中非齐次项改为提示:原方程通解为特解设法有何变化?P354题4(2)

求解提示:

令则方程变为积分得利用再解并利用定常数思考若问题改为求解则求解过程中得问开方时正负号如何确定?特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解:代入方程定A,B,得得处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:例2.且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:最后求得思考:

设提示:

对积分换元,则有解初值问题:答案:

作业

P3533(1)(7)

(7);4(2)；