全国小学数学教师教学设计比赛一等奖数学七年级上册（人教2024年新编）《线段的比较与运算》教学设计

6.2.2线段的比较与运算教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第六章“几何图形初步”6.2直线、射线、线段第2课时，内容包括线段的比较；线段的和差、等分点；两点之间，线段最短．2.内容解析线段是很简单的几何图形，但也是构成其他图形的基本元素，几何图形性质的研究大多最终化归到对其所包含的线段数量或位置关系的研究，所以线段的大小、和差、等分点都是重要的几何知识，是学习其他图形与几何知识的基础．而线段比较所用到的“叠合法”来源于生产生活实践，是几何图形比较大小的基本方法；“度量法”本质上是叠合法的抽象运用，体现了合同变换的性质，但度量法可以用数量来验证大小，所以更具“说理论证”的意味．“两点之间，线段最短”的基本事实刻画了线段的重要性质，在许多问题尤其是有关线路长短之类的几何不等式问题中是一个基本出发点，在实际生活中有广泛的运用．“物体的形状、大小和位置关系是几何中研究的内容”，这就要求对几何图形要定性研究与定量研究相结合，将对图形的认识与对数量的认识统一起来才能揭示其本质．从本课起这种数量化思想将是进一步学习图形与几何的重要思想．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：线段比较的方法；相关作图；两点之间，线段最短的基本事实．二、目标和目标解析1.目标（1）掌握比较线段大小的方法．（2）理解线段的和、差及中点的概念，掌握有关作图．（3）掌握“两点之间，线段最短”的基本事实，理解两点的距离的定义．2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够熟练运用叠合法和度量法比较线段的大小；会表示线段的大小关系；会画一条线段等于已知线段．达成目标（2）的标志是：学生能够分别用图形和符号来表示线段之间的和差关系；能够由等分点确定数量关系，或由数量关系确定等分点，综合运用几何语言的能力有所提高．达成目标（3）的标志是：学生通过思考、探究、比较得到“两点之间，线段最短”的基本事实，并能举例说明其实际应用；理解两点的距离是指连接两点的线段的长度，而不是线段本身．三、教学问题诊断分析虽然学生在小学阶段已经学习了一些几何知识，但将对图形的认识与对数量的认识结合起来，是学生未曾深入体验过的．尤其用作图来表示线段的和、差等数量关系，是文字语言、图形语言与符号语言的综合运用，对于刚刚进入几何语言学习的学生而言，是比较困难的学习任务．学生在前一学段对两点之间，线段最短已有所体会，但学生容易将两点的距离与连接两点的线段混淆，教学中应加强对这两个概念的辨析．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：与线段和、差有关的几何作图．四、教学过程设计（一）比较线段的大小问题1：怎样比较两个同学的高矮？有什么方法来验证你的判断?师生活动：教师提出问题，学生首先通过直观观察作出判断，然后独立思考验证方法．学生容易想到度量法．这时教师可再追问：“如果没有刻度尺又该怎么办呢?”组织学生小组讨论，教师巡视指导并启发学生从“问题1”和“比身高”中获得思路，在小组内达成一致后，请小组代表边阐述边演示本组的做法，其他同学补充完善．引导学生归纳线段比较的两种方法：度量法和叠合法、教师结合学生的演示，提示运用叠合法的要点，最后由教师板演示范．【设计意图】让学生在自主探索中掌握比较线段大小的方法．问题2：判断线段AB和CD的大小：图①图②图③（1）如图①，线段AB和CD的大小关系是ABCD；（2）如图②，线段AB和CD的大小关系是ABCD；（3）如图③，线段AB和CD的大小关系是ABCD．师生活动：教师提出问题，学生自主完成，然后详细叙述判断的依据；教师点评矫正．【设计意图】巩固学生对叠合法的掌握，并训练数学语言的运用．由对比较方法的研究，自然过渡到对比较结果的关注，引导学生认识线段的大小关系与数的大小关系一样，有大于、小于、等于三种情况，表示方法也相同．（二）作一条线段等于已知线段问题3：（1）上节课我们学习了直线、射线和线段，下面请同学们在练习本上任意画一条线段（图1），并把它表示出来；（2）你还能再作出一条与它同样大小的线段来吗？想一想，然后说一说你的想法．图1师生活动：教师提出问题，学生思考并用自己的语言描述自己的想法．如果学生只回答出“度量法”，教师可追问：如果没有带刻度的尺子怎么办？然后组织学生适当讨论，并引导学生尝试用圆规来作图．最后教师对两种方法进行适当的总结归纳，并板演尺规作法．【设计意图】作一条线段等于已知线段是几何的基本作图，也是本课后续知识学习的基础，要让学生准确掌握．向学生渗透几何研究中有“数”与“形”两种不同的方法.（三）线段的性质问题4：（1）如图6，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线．图6（2）你能举出“两点之间，线段最短”在生活中的一些应用吗？什么叫做“两点的距离”？师生活动：教师提出问题，学生经过观察、思考作出最短线路．教师组织学生讨论验证，共同总结出线段的基本性质“两点之间，线段最短”和两点的距离的概念．【设计意图】引导学生经历由直观感知到猜想验证再到归纳概括的认知过程，有利于学生对此结论的理解，在知识产生、发展的过程中积累认知经验，学会学习．（四）针对训练1.如图，AB+BCAC，AC+BCAB，AB+ACBC（填“>”“<”或“=”）.其中蕴含的数学道理是.>；>；>；两点之间线段最短．2.下列说法正确的是（D）A．连接两点的线段叫做两点间的距离B．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离C．连接两点的直线的长度，叫做两点的距离D．连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离3.如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.解：图略；两点之间线段最短．4.把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？A，B两地间的河道长度变短.5.在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.解：画出汽车站的位置如图：（五）线段的运算问题5：如图2，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段之间的和、差关系吗？图2师生活动：学生观察并回答，教师点评矫正并板书示范线段和、差的记法：AC－AB=BC，AC－BC=AB，AB+BC=AC.【设计意图】由大小关系递进到和差关系，引导学生由形到数来认识图形；明确用符号表示线段和、差的方法，学习几何语言；为后面的线段和、差作图进行铺垫．问题6：（1）如图3，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和？a与b的差呢？图3（2）反思以上作图过程，总结作图方法．师生活动：教师提出问题，学生自己动手尝试作图；如遇困难教师提示学生从“问题3”中寻找思路，并展开适当讨论．选学生代表叙述作图方法，教师结合学生的叙述，边矫正边板演示范．师生共同总结：作线段的和可看成线段的“拼接”，作线段的差可看成线段的“裁剪”，本质上都是确定端点和方向后作一条线段等于已知线段．【设计意图】让学生掌握线段和、差的作图方法，将用图形表示和差与用符号表示和差结合起来．（六）典例分析例1：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b.解：如图，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a.在线段AC上作线段AD=b，则线段DC=2a－b.（七）合作探究问题7：（1）如图4，已知线段a，求作线段AB，使AB=2a．将线段AB折叠，你有什么发现？你能描述线段中点的概念吗？图4（2）类似地，线段还有三等分点、四等分点……，你认为该怎样描述三等分点和四等分点的概念？它们又包含了怎样的数量关系？（3）怎样用折叠法得到线段的四等分点？师生活动：学生讨论交流后回答；教师总结归纳．明确中点的概念：如图5，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点，其中的数量关系可表示为：AM=BM=AB.图5【设计意图】层层递进地学习，既让学生掌握等分点的概念，更让学生理解等分点是怎样产生的，掌握由等分点产生的数量关系，让学生将作图、语言描述、符号表示紧密结合起来，综合学习运用几何语言．（八）典例分析例2：若AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?解：因为C是线段AB的中点，所以AC=CB=AB=×6=3（cm）.因为D是线段CB的中点，所以CD=CB=×3=1.5（cm）.所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5（cm）.例3：如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，因为E、F分别是AB、CD的中点，所以，，所以EF=BE+BC+CF=．因为EF=24，所以6x=24，解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.例4：A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（C）A．1cmB．9cmC．1cm或9cm D．以上答案都不对解：分以下两种情况进行讨论：①当点C在AB之间上，故AC=AB－BC=1cm；②当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．变式训练：已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（D）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cm（九）针对训练1.如图，点C是线段AB的中点，（1）若AB=6cm，则AC=3cm.（2）若AC=6cm，则AB=12cm.2.如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是(C)A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=ABD.CB=AB3.判断正误：（1）若P是线段AB的中点，则AP＝BP．（√）（2）若AP＝BP，则P是线段AB的中点．（×）4.给你一根绳，不量取，你能找到它的中点吗？（对折即可.）5.已知，如图AC=CD=DE=EF=FB①点C是的中点，是的一个三等分点，又是的一个四等分点，也是的一个五等分点；②CF=++；AC=AE－；③AD＝AC，AE＝AC，AC＝AF，AC＝AB；④AD＝AE，AE＝AB.①AD；AE；AF；AB；②CD；DE；EF；CE；③2；3；；；④；.6.如图，线段AB=4cm，BC=6cm，若点D为线段AB的中点，点E为线段BC的中点，求线段DE的长.答案：DE的长为5cm.（十）当堂巩固1.下列说法正确的是（C）A.两点间距离的定义是指两点之间的线段B.两点之间的距离是指两点之间的直线C.两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度D.两点之间的距离是两点之间的直线的长度2.如图，AC=DB，则图中另外两条相等的线段为AD＝BC.3.已知线段AB=6cm，延长AB到C，使BC=2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为15cm.4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是－3，1，若BC=5，则AC=．11或1师生活动：学生独立完成，教师巡视指导并展示部分学生作品进行点评．【设计意图】培养学生对线段大小的观察和估计能力，及寻找途径验证猜想的意识．引导学生通过分析，有条理地安排解题步骤，培养解决问题的综合能力.（十一）能力提升1.如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．解：因为AC=AB+BC=4+3=7(cm)，点O为线段AC的中点，所以OC=AC=×7=3.5（cm），所以OB=OC－BC=3.5－3=0.5（cm）．2.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以AD=AB+BC+CD=10x.因为M是AD的中点，所以AM=MD=5x，所以BM=AM－AB=3x.因为BM=6，即3x=6，所以x=2.故CM=MD－CD=2x=4，AD=10x=20．（十二）感受中考（2024•吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是．【解答】解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，故答案为：两点之间，线段最短．【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（十三）课堂小结回顾本节课的学习，你掌握了哪些知识？师生活动：教师提出问题，先请学生独立回顾思考，然后叙述收获，教师补充完善：1.比较线段的大小；2.画一条线段等于已知线段；3.线段的和差、等分点；4.两点之间，线段最短；5.两点的距离．【设计意图】本课知识点较多，通过回顾与归纳，帮助学生梳理知识脉络，突出重点内容，构建完整知识体系，以养成良好的学习习惯．（十四）布置作业P167：习题6.2：第4、5题.P168：习题6.2：第8题.五、教学反思线段的基本事实“两点的所有连线中，线段最短”是一个重要的性质，在解决许多问题尤其是解决有关线路长短之类的几何不等式问题中有关广泛的应用．教学中要让学生通过思考、探究、比较得到以上的基本事实，并举例说明其应用．“作一条线段等于已知线段”是最常用、最基本的尺规作图问题，由于免去了度量，准确度更高些．在以后的几何学习和工程绘图中，经常应用．另外它可以帮助学生理解“尺规作图”的定义，为以后学习其它尺规作图打下基础．6.2.2线段的比较与运算（教案新教材）第六章几何图形初步6.1几何图形6.2直线、射线、线段6.2.2线段的比较与运算【教学目标】1．在具体情境中学习画一条线段等于已知线段，比较线段的长短，会进行线段的简单运算；2．体验两点之间线段最短的性质，并能初步应用；3．知道两点之间的距离和线段中点、等分点的含义；4．在图形的基础上发展数学语言，体会研究几何的意义．【教学重点】两点之间的距离和线段中点的含义.【教学难点】两点之间线段最短的性质，并能初步应用.【教学过程】 一、情境导入我们经常比较两同学的身高，两同学可以抽象为两条线段，不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一些运算.本节课我们来学习6.2.2线段的比较与运算（板书课题）为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段.二、合作探究活动一：作一条直线等于已知线段问题1：画一条线段等于已知线段AB，你能用哪些方法？学生讨论：画一条线段等于已知线段AB，可以先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段.教师追问：如果没有刻度尺，只有没有刻度的直尺圆规你能画吗？学生讨论并动手操作：先用直尺画直线，再用圆规在直线上截取CD=AB.问题2.在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.上面是用无刻度直尺“作一条线段等于已知线段”的尺规作图.上面两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用?学生讨论.活动二：比较线段的大小问题3.怎样比较两个同学的身高？比较两同学的身高实际就是比较两条线段的长短，你能从比身高中受到启发吗?学生活动：两名学生站在讲台比较身高，学生讨论受到的启发.教师追问：你能再举出一些比较线段长短的实例吗?学生讨论：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较.将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合，在上图中，点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说线段AB小于线段CD，记作AB<CD.教师追问：想一想，什么情况下线段AB大于线段CD，线段AB等于线段CD呢?两条线段的大小关系有几种情况？学生讨论：根据点B落在直线上的位置来判断，B落在点CD延长线上，AB>CD，B和点D重合，AB=CD；从上可以看出：两条线段的大小关系有三种：AB<CD，AB=CD，AB>CD.活动三、探究线段的基本事实问题4.探究：如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路.学生讨论：在图中，连接线段AB.把这些道路看成各种形状的软线，将它们展直，比较它们的长度.容易发现线段AB最短.教师追问：从上面的结论中，可以得到一个关于线段的基本事实，你能用自己的语言表述吗？学生描述：两点的所有连线中，线段最短.简单说成:两点之间，线段最短.教师追问：你能举出这个基本事实在生活中的一些应用吗?学生交流讨论.例1.如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是()A．两点之间，直线最短B．两点确定一条线段C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短师生共同完成：把弯曲的河道改直缩短航程的根据是：两点之间，线段最短．故选D.活动四：探究两点间的距离问题5.什么两点间的距离？学生讨论：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离.教师追问：两点之间的线段与线段的长度、两点间的距离的区别？学生讨论：线段是图形，线段的长度、两点间的距离是数量.活动五：探究线段的运算问题6.已知线段a与b，怎样求线段a与b的和、差？学生讨论：在直线上作线段AB=a，再在AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b(如下图(1)).设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b(如下图(2)).例2.如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b.问题：已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a-b，可以看成哪两条线段差？如何作？学生探究解答：如图，在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a.在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a-b.活动六：探究线段的等分点操作：在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点就是线段的中点.问题：如图(1)，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等(如图(2)(3)).怎样表示中点、三等分点、四等分点线段间的关系呢？学生讨论，得出如