全国小学数学教师教学设计比赛一等奖数学七年级上册（人教2024年新编）《解一元一次方程实际问题与一元一次方程（第1课时产品配套问题和工程问题）》教学设计

5.3实际问题与一元一次方程（第1课时产品配套问题和工程问题）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次方程”5.3实际问题与一元一次方程第1课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决配套、工程等问题.2.内容解析配套问题、工程问题等是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有一定的代表性.这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这些问题的探究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：配套问题、工程问题的探究过程．二、目标和目标解析1.目标（1）理解配套问题、工程问题的背景，分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系列方程解决问题.（2）掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.2.目标解析（1）理解问题相关的概念，能够找出解决问题所需的关键量，并利用一元一次方程将之求出．（2）经历配套问题、工程问题的探究过程，掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程．三、教学问题诊断分析学生在小学阶段及前面学习对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中准确找到题目中隐含的相等关系．四、教学过程设计（一）回顾旧知小学我们学过工程问题，请回答下列问题：1.一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，两人合作3天完成的工作量是，此时剩余的工作量是.；；；．2.一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.；；；．工作量、工作时间、工作效率的关系：1.工作量=___________×____________；工作时间；工作效率．2.工作时间=___________÷____________；工作量；工作效率．3.工作效率=___________÷____________.工作量；工作时间．（二）新课导入从前面几节课的学习中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具.从本节课开始，我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题.生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺栓和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？（三）典例分析例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母.1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？解：设应安排x名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得2000(22－x)＝2×1200x.解方程，得x＝10.所以22－x＝12.答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.师生活动：学生思考，教师适时引导：本题需要我们解决的问题是什么？题目中哪些信息能解决人员安排的问题？螺母和螺栓的数量关系如何？学生确有困难，教师可提示学生列出表格．师生归纳：生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路：1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力．针对训练：1.如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32－x)块，五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32－x)条．依题意，得2×5x=6(32－x),解得x=12，则32－x=20.答：白皮20块，黑皮12块.2.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1立方米钢材可做40个A部件或240个B部件.现要用6立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？解：设应用x立方米钢材做A部件，则应用(6－x)立方米做B部件.根据题意，列方程：3×40x=(6－x)×240.解得x=4.则6－x=2.共配成仪器：4×40=160（套）.例2：整理一批图书，由1人整理需要40h完成.现计划由一部分人先整理4h，然后增加2人与他们一起整理8h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人进行整理？解：设先安排x人整理4h，根据题意得等量关系：前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1可列方程，解方程，得4x+8(x+2)＝40，4x+8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：应先安排2人进行整理.师生活动：师生共同思考，教师适时点拨，帮助学生分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间；工作总量=各部分工作量之和.【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问题和解决问题的能力．针对训练：1.加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12－x）天.依题意，得.解得x=8.答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.2.有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成.甲做了几小时后，因另有紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h.求甲做了几小时？解：设甲做了xh.依题意，得.解方程，得x＝16.答：甲做了16小时.【设计意图】在教师引领完成例题之后，依次给出练习，使学生获得的解题经验得以巩固，并通过应用练习转化为能力．（四）总结归纳师生活动：教师引导学生共同归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：这一过程一般包括审、找、设、列、解、检、答等步骤，正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.【设计意图】让学生对列方程解决实际问题有一个整体的感知，形成知识体系．（五）当堂巩固1.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天.如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得：.解方程，得x=8.答：要8天可以铺好这条管线.2.收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成.求这块水稻田的面积．解：设这块水稻田的面积为x亩.依题意，得.解方程，得x＝36.答：这块水稻田的面积为36亩.【设计意图】考查学生对建立方程模型解决这些问题的一般方法的掌握．（六）能力提升1.某人一天能加工甲种零件50个或加工乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件配成一套，30天制作最多的成套产品，若设x天制作甲种零件，则可列方程为.2×50x=20(30－x)2.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为.3.某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）解：设用x立方米的木材做桌面，则用(10－x)立方米的木材做桌腿.根据题意，得4×50x=300(10－x)，解得x=6，所以10－x=4，可做方桌为50×6=300（张）.答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.4.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要几小时完成？解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：.解得x=6.答：剩下的部分需要6小时完成.5.一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：.解得x=13.答：乙队还需13天才能完成．【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（七）感受中考（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间.【解答】解：设这次小峰打扫了xh，则爸爸打扫了(3－x)h，根据题意得：.解得：x=2.答：这次小峰打扫了2h.【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．（八）课堂小结1.本节课学习的主要内容是什么？2.分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？3.通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳用一元一次方程解决实际问题的方法．（九）布置作业P140：习题5.3：第2、3、4、5题.五、教学反思本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习了有理数、整式的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有理数，知道了用字母可以表示具有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深入，他们的代数变形能力正逐步提高．本节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合运用，也是七上教材“数与代数”领域的压轴内容．列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生有层次、有梯度地学习．列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．第五章一元一次方程5.3实际问题与一元一次方程（1）【教学目标】1.经历配套问题的解决过程，抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想，发展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解决实际问题，发展模型观念；3.体会一元一次方程的应用价值.【教学重点】抽象建立一元一次方程模型解决实际问题的步骤和基本思想.【教学难点】抽象建立一元一次方程模型解决实际问题基本思想.【教学过程】 一、情境导入前面我们学习了解一元一次方程的解法，从前面的学习中我们看到方程是解决问题的一种很好工具，本节课开始我们将探究如何用一元一次方程解决实际问题，本节课的课题是5.3实际问题与一元一次方程（1）（板书课题）合作探究活动一：解决问题初步总结例1.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺栓或2000个螺母。1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名?教师活动：追问1.问题中的已知量、未知量有哪些，量与量之间有什么关系？追问2.确定的未知量是什么？你想设什么量为？追问3.你选用的等量关系是什么？列出的方程是什么？追问4.如何解方程？追问5.如何检验未知数的值是否符合问题？追问6.检验后还要做什么？学生活动：分析题意，寻找等量关系，列方程，解方程，检验，作答.教师活动：指导学生，并示范写出解答过程：解:设应安排名工人生产螺栓，名工人生产螺母.根据螺母数量应是螺栓数量的2倍，列得方程.（追问：设应安排x名工人生产螺母，应该怎样列方程）解方程，得.进而.答:应安排10名工人生产螺栓，12名工人生总结归纳：问题中“每天生产的螺母数量是螺栓数量的2倍时，它们刚好配套”是列方程的依据.这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据.活动二：归纳用一元一次方程解实际问题的步骤教师活动：问题：从上面的用一元一次方程解实际的过程，你能归纳出用一元一次方程解实际问题的一般步骤吗？师生共同归纳：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤包括:这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确定答案.正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.用框图表示为：活动三：用一元一次方程解实际问题例2.整理一批图书，由1人整理需要完成.现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理?师生共同分析:设先安排人整理，如果把总工作量设为1，则人均效率(一个人完成的工作量)为，人先整理完成的工作量为，增加2人后再整理完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量.学生解答，教师指导，并示范写出解答：解:设先安排人整理.根据先后两个时段的工作量之和等于总工作量，列得方程得.解方程，得.答:应先安排2人进行整理.观察归纳：这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题.办公室买进一包A4纸，计划每天用25张，可以用20天．由于节约用纸，实际每天少用了5张，这包纸实际可以用多少天？师生共同分析:设这包纸实际可以用x天，根据“总