全国小学数学教师教学设计比赛一等奖数学七年级上册（人教2024年新编）《从算式到方程》教学设计

5.1.1从算式到方程教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次方程”5.1方程第1课时，内容包括方程及一元一次方程的概念；根据问题中的数量关系，设未知数建立方程模型.2.内容解析方程是初等代数学的核心内容，是解决实际问题的一种重要的数学模型．方程的出现是从算术方法发展到代数方法的一个重要标志．方程随着实践的需要而产生，它是具备了“含有未知数”特征的等式，它使得实际问题中的已知数与未知数通过等式连接起来．列方程描述问题中的相等关系，解方程使问题中的未知数转化为确定的解，这种以方程为工具解决问题的思想即“方程思想”，它在本章中占有重要地位．一元一次方程是最简单的代数方程．解任何一个代数方程（组）最终都要化归为一元一次方程．一元一次方程是具备了“含有一个未知数，未知数的次数是一次”两个特征的整式方程（即等号两边都是整式的方程）．整式方程一般是按照其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，也就是方程的命名是根据未知数的个数定“元”，根据未知数的最高次数定方程的次数．一元一次方程中的“一元”指方程仅含有一个未知数，“一次”指未知数的次数为1．基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：方程及一元一次方程的概念，方程思想．二、目标和目标解析1.目标（1）了解方程及一元一次方程的概念．（2）通过列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想．2.目标解析达成目标（1）标志是：学生知道方程是含有未知数的等式，一元一次方程是含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程；能准确判断一个等式是否为方程和一元一次方程，能举出方程及一元一次方程的具体例子．达成目标（2）标志是：学生通过尝试用算式和方程两种方法解决实际问题，认识到方程的优越性，经历从实际问题中建立方程模型并认识它的结构特征的过程，体会出方程是解决问题的有力工具，并在运用的过程中对方程思想有更深入的体会．三、教学问题诊断分析在小学阶段，学生已经习惯了用算术的方法解决实际问题，而对于如何设未知数，如何寻找相等关系，如何用含有未知数的式子表示相等关系，虽然已经有所接触，但是还不够熟悉，从算术方法过渡到代数方法的思维转变还是有一定困难．因此，本节课教学时应该进行有针对性的问题引领．通过思考，让学生比较算术方法和代数方法，体会方程在解决问题中的优势，从而更重视对方程的学习．基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从列算式到列方程的思维习惯的转变．四、教学过程设计（一）创设情境，提出问题本章引入：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？师生活动：学生审题之后教师提问：（1）你会用算术方法解决这个问题吗？教师展示问题，学生分组讨论解决问题的方法，学生代表展示结果，教师及时给予肯定或帮助，并说明算术解法不便捷．教师提出进一步学习新解法的必要性．在学生尝试算术方法解决问题之后，教师提问：（2）此题中涉及哪些量，这些量之间有什么关系？如何表示？（3）你认为应引进什么样的未知量？如何用方程表示这个问题中的相等关系？（4）列方程的依据是什么？教师与学生一起进行分析，引导学生找出相等关系列出方程．师：本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题.方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具.解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析问题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而获得实际问题的答案.怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要问题.通过解决本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法.在小学，我们利用算术方法解决了很多实际问题.接下来，我们将引入方程解决一些实际问题.首先来认识一下什么是方程.学生根据小学学习的简易方程回答：含有未知数的等式叫作方程.师：下面，我们引入一种新的方法来解决这个问题.解：甲、乙两队的行进速度是已知的，行进的时间和路程是未知的.如果设两队行进的时间为xh，根据“路程＝速度×时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为1.2xkm和0.8xkm，从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为(1.2x+1)km和(0.8x+3)km.甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，因此1.2x＋1＝0.8x＋3.【设计意图】让学生感受问题1用算术解法不容易解决，使学生认识到进一步学习新解法的必要性．问题2：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？师生活动：教师提出问题，学生思考回答．【设计意图】这是一个行程问题，用未知量表示路程、时间、速度，让学生体会到用字母也可以表示数量，找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．体会一个问题中的相等关系往往不止一个，所以列出方程的角度不是唯一的．（二）合作探究问题1：用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？师生活动：学生和教师共同完成本题.解：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x－5)元.因为用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，所以3x=4(x－5).由这个含有未知数x的等式可以求出大水杯的单价，进而可以求出小水杯的单价.问题2：如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000mm2，长和宽的比为8:5（即宽是长的）.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？师生活动：学生和教师共同完成本题.解：如果设这枚纪念币的长为xmm，则纪念币的宽可以表示为xmm，面积可以表示为x2mm2.已知纪念币的面积为4000mm2，所以.由这个含有未知数x的等式可以求出这枚纪念币的长，进而可以求出纪念币的宽.【设计意图】进一步让学生感受找出相等关系是列方程的关键所在，通过对问题的思考有助于分析问题．（三）比较方法，明确意义问题3：比较列算式和列方程解决这个问题各有什么特点？师生活动：教师提出问题，学生思考、回答．学生回答问题之后，教师进一步提出：你能归纳列方程的步骤吗？【设计意图】让学生知道用算术方法解题时，列出的算式只能用已知数，而用方程解决问时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数，也就是说，在方程中未知数（字母）可和已知数一起表示问题中的数量关系．同时让学生初步了解列方程的步骤．（四）定义方程，感受过程问题4：你能归纳出方程的定义吗？师生活动：教师引导学生结合上面等式的特征，给出方程的定义．归纳：像这样，先设出字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程（equation）.学生归纳出定义之后，提问：你能举出方程的一个例子吗？教师：列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程.【设计意图】这是首次正式给出方程的定义，学生在小学已经学过简易方程，通过举例可让学生回顾已经学过的知识．（五）典例分析例1：根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？解：（1）设这所学校的学生人数为x，那么女生人数为0.52x，男生人数为(1－0.52)x.等量关系：女生人数－男生人数=80，列方程：0.52x－(1－0.52)x=80.（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5m，扩大后的绿地面积是500m2，求正方形绿地的边长.解：（2）设正方形绿地的边长为xm，那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m.根据“扩大后的绿地面积是500m2”，列方程：x2＋5x=500.师生活动：教师出示问题，学生独立完成，学生代表分析并展示结果．【设计意图】通过例题的学习，让学生再次熟悉列方程时的设未知数、寻找相等关系、列出方程的过程，为一元一次方程的定义奠定基础．（六）归纳总结，巩固发展问题5：（1）怎样从实际问题中列出方程？（2）列方程的依据是什么？师生活动：学生针对上面的问题做进一步思考、归纳，教师帮助学生规范语言，并展示结论.分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.这个过程可以表示如下:针对训练：1.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60－x）支.等量关系：x支铅笔的售价+（60－x）支圆珠笔的售价=87，列方程：1.2×0.8x+2×0.9(60－x)=87.【设计意图】归纳得出分析实际问题中的数量关系并利用其中的相等关系列出方程的方法．通过习题进行巩固．（七）合作探究问题6：对于方程4x=24，容易知道x=6可以使等式成立，对于方程1700+150x=2450，你知道x等于什么时，等式成立吗？我们来试一试．师生活动：学生针对上面的问题做进一步思考、归纳，师生共同总结：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．求方程解的过程叫作解方程．【设计意图】通过填表格尝试的方法，使学生体会方程的解的形成过程及解的概念．（八）典例分析例2：（1）x=2，是方程2x=3的解吗？（2）x=10，x=20是方程3x=4(x－5)的解吗？解：（1）当x=2时，方程2x=3的左边=2×2=4，右边=3，方程左、右两边的值不相等，所以x=2不是方程2x=3的解；当时，方程2x=3的左边=，右边=3，方程左、右两边的值相等，所以是方程2x=3的解.（2）当x=10时，方程3x=4(x－5)的左边=3×10=30，右边=4×(10－5)=20，方程左、右两边的值不相等，所以x=10不是方程3x=4(x－5)的解.当x=20时，方程3x=4(x－5)的左边=3×20=60，右边=4×(20－5)=60，方程左、右两边的值相等，所以x=20是方程3x=4(x－5)的解.针对训练：1.检验x=3是不是方程2x－3=5x－15的解.解：把x=3分别代入方程的左边和右边，得左边＝2×3－3=3，右边＝5×3－15=0.∵左边≠右边，∴x=3不是方程的解.2.x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x－(1－0.52)x=80的解？解：当x=1000时，方程左边=0.52×1000－(1－0.52)×1000=520－480=40，右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解.当x=2000时，方程左边=0.52×2000－(1－0.52)×2000=1040－960=80，右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.【设计意图】了解方程的解的概念，巩固方程的解的概念．（九）新知讲解问题7：方程有多种类型，本章我们先来研究一类最简单的方程.观察1.2x＋1＝0.8x＋3；3x=4(x－5)；0.52x－(1－0.52)x=80.它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生对列出的方程进行特征分析，教师可以提示：方程的特征可以从未知数的个数和次数等来观察．教师：只含有一个未知数（元），未知数的指数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫作一元一次方程．【设计意图】运用三个问题巩固列方程的一般步骤，强调列方程是依据了相等关系，进一步让学生体会相等关系是列方程的关键，在归纳方程特征的过程中，培养学生观察、分析、归纳的能力．针对训练：1.下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？（1）2x+1；（2）2m+15=3；（3）3x－5=5x+4；（4）x2+2x－6=0；（5）－3x+1.8=3y；（6）3a+9>15；（7）.2.若关于x的方程2x|n|-1－9=0是一元一次方程，则n的值为.变式训练：方程(m+1)x|m|+1=0是关于x的一元一次方程，则m=.参考答案：1.方程：（2）、（3）、（4）、（5）、（7）；一元一次方程：（2）（3）．2.2或－2；1．【设计意图】让学生巩固对方程与一元一次方程的概念的认识．（十）当堂巩固1.x=1是下列哪个方程的解（B）A.1－x=2B.2x－1=4－3xC.D.x－4=5x－22.若x=1是方程x2－2mx+1=0的一个解，则m的值为（C）A.0B.2C.1D.－13.下列方程：①；②3x=11；③；④y2－4y=3；⑤x+2y=1．其中是方程的是①②③④⑤，是一元一次方程的是②③．（填序号）4.根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？（3）一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底．解：（1）设沿跑道跑x周.400x=3000，是一元一次方程.（2）设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20－x)支.0.3x+0.6(20－x)=9，是一元一次方程.（3）设上底为xcm，则下底为(x+2)cm.，是一元一次方程.5.已知方程(m－2)x|m|-1+3=m－5是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．解：因为方程(m－2)x|m|-1+3=m－5是关于x的一元一次方程，所以|m|－1=1，且m－2≠0，得m=－2.所以原方程为－4x+3=－7.【设计意图】通过练习，巩固本几节课知识，同时让学生再次巩固列方程的基本步骤，在给学生数学知识的同时，渗透建立数学模型地想方法.（十一）课堂小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）一元一次方程的三个特征各指什么？（3）从实际问题中列出方程的关键是什么？【设计意图】通过归纳，加深学生对所学内容的理解，培养学生独立分析、归纳概括的能力，充分发挥学生的主体作用.（十二）布置作业P118：习题5.1：第1、3、5、6题.五、教学反思一元一次方程是“数与代数”领域一块重要的内容，是所有代数方程的基础，也是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位．理解和掌握本节内容，是后续进一步学习一元一次方程的解法及其应用，以及其他方程和不等式等内容的基础和铺垫．学生在前一学段已经学习了简单方程相关内容，如：会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，对方程有了初步的感性认识，这些基本的、朴素的认识为进一步学习一元一次方程的解法和应用奠定了基础．本节内容是在前面学习基础上的进一步发展，即对一元一次方程做更系统、更深入的学习和研究，更加突出方程作为解决实际问题重要模型的思想渗透，强调创设未知向已知转化的条件．我们生活在一个丰富多彩的世界里，这里蕴藏着大量的涉及数量关系的实际问题，这为学习“一元一次方程”提供了大量的现实素材．在本节学习中，实际问题情境贯穿于始终，对方程概念的引入也是在解决实际问题的过程中进行的．因此，本节教学要充分关注方程的现实背景，要通过大量丰富的实际问题，反映出方程来源于实际又服务于实际，深化对方程是解决现实问题重要数学模型的认识．鉴于本章的学习对象是七年级学生，在教学中要尽量避免过多直接使用“数学模型”等词语，而要通过具体例子反复强调方程在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立数学模型的思想．5.1.1从算式到方程（1）——方程(教案新教材)5.1方程5.1.1从算式到方程（1）——方程【教学目标】1.让学生经历从现实情境中抽象未知数，用含未知的等式表示等量关系的活动，让学生理解方程的本质是表示两个代数式的量之间的等量关系.2.认识什么是方程，体会列方程的方法.3.体验建立方程模型解决实际问题，发展模型观念.【教学重点】用含未知的等式表示等量关系.【教学难点】用含未知的等式表示等量关系.【教学过程】 一、情境导入探究1.问题：甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？你能用小学学过的算术方法解决这个问题吗？本章我们将学习一种新的方法，通过列方程来解决这个问题，怎样根据问题中的数量关系列方程？怎样解方程？这是本章研究的主要问题。通过学习本章中丰富多彩的问题，你将初步感受方程的作用，并学习利用一元一次方程解决问题的方法。首先我们来认识一下方程，本节课学习5.1.1从算式到方程（1）——方程（板书课题）二、合作探究方程是含有未知数的等式，它是应用广泛的数学工具，解决许多实际问题时，人们经常用字母表示其中的未知数，通过分析问题中的数量关系，列出方程表示相等关系，然后解方程求出未知数，从而获得实际问题的答案.活动一：探究什么是方程探究2.在问题1中的问题我们怎样用小学学习的算术方法来求呢？请同学们试一试.学生活动：复习用算术方法解决问题.教师活动：追问：你能说出所列出的式子意义吗？探究3.我们怎样来用列等式的方法来解决上面的问题？教师活动：追问1.这个问题中哪些量是已知的？哪些量是未知的？追问2.路程、速度、时间之间的等量关系怎样表示？追问3.甲队在途中追上乙队，这时甲乙在同一位置，他们距离大本营路程之间有怎样的关系？追问4.如果设两队行进的时间为，两队距大本营的路程如何表示？学生活动：根据教师追问，探究问题.师生共同得出结论：甲队距离大本营的路程＝乙队距离大本营的路程可以表示为：教师活动：通过本章学习可以从含有未知数的等式中解出未知数的值，，从而求出后甲队追上乙队.探究4.问题1.用买12个大水杯的钱，可以买16个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？学生活动：寻找已知与未知量之间的等量关系.教师活动：追问1.大小水杯单价之间具有什么样的等量关系？追问2.大小水杯钱数之间具有什么样的等量关系？追问3.如果求出大杯的单价，怎样得到小杯的单价？师生共同得出结论：设大水杯的单价为元，那么小水杯的单价为元，依题意得：归纳：由这个含有未知数的等式可以求出，进而求出大小杯的单价.探究5.问题2.一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4000，长和宽的比为8：5（即宽是长的）.这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？学生活动：寻找已知与未知量之间的等量关系.教师活动：追问1.长方形的长与宽之间有什么等量关系？由面积建立怎样的等量关系？追问2.如果设长方形的长为，得到的等量关系是什么？师生共同得出结论：设长方形的长为，那么宽为，依题意得：观察归纳：上面两个问题，都是先设未知数，然后根据问题中的等量关系，列出一个含有未知数的等式，这样的等式叫作方程.问题3.辨别下列式中哪些是方程：在①；②；③；④；⑤中，方程共有（）师生共同完成：【解析】含有未知数的等式是方程．在①；②；③；④；⑤中②③④是方程．活动二：了解方程的数学史教师活动：介绍数学史：我国古代，一般用“天元”“地元”“人元”等表示未知数.17世纪，法国数学家向卡儿最早使用等字母表示未知数，这种做法一直沿用至今.方程溯源见课本.活动三：列方程的方法探究6：讨论用算术方法与用方程方法解决问题的体会.讨论：算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数，不含未知数；而方程是根据问题中的相等关系列出的等式，其中既含有已知数，也含有用字母表示的未知数，这为解决许多问题带来了方便.例1.根据下列问题，设未知数并列方程：（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少学生？（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽，扩大后绿地面积是，求正方形绿地的边长.教师活动：（1）追问1.问题中的已知量与未知量有哪些？男女生数之间的等量关系是什么？追问2.如果这个学校的学生数为，怎样用方程表示这个等量关系？（2）追问1.问题中的已知量与未知量有哪些？加宽前后正方形的面积有什么等量关系？追问2.如果设正方形的边长为，怎样用方程表示等量关系是什么？教师活动：示范写出解题过程，并让学生说明方程左右两边表示什么意思.探究7.讨论归纳列方程解决问题的方法学生根据上面的解决问题的方法讨论归纳列方程解决问题的方法：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程.这个过程也就是步骤可以表示如下:1.分析问题中的已知量未知量及量与量之间的关系；2.设确定需要求的未知量；3.找出等量关系，列方程.三、强化巩固1.练习1、2、3.部分学生板演，其余学生独立完成，教师评价订正.2.拓展训练：某校组织师生春游，如果单独租用45座的客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位，设全校师生共有x人，则所列方程为（

）A． B．C． D．【解析】设全校师生共有x人，则需租用45座的客车辆，根据“如果单独租用60座的客车，可少租一辆，且余30个空座位”即可列出方程．设全校师生共有x人，则所列方程为：，四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.什么是方程？2.列方程的方法步骤？学生小组合作对思想方法总结：通过本节课的学习体会到方程的本质是表示两个代数式的量之间的等量关系，体验了建立方程模型解决实际问题.五、作业布置必做作业：课本习题5.1第1、2、5题，课本复习题5第1题（1）（3）选做作业：1课本习题5.1第6题，复习题5第1题（2）（4）2.《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为尺，则符合题意的方程应为（

）A． B．C． D．【解析】解：设井深x尺，将绳三折测之，则绳长为，将绳四折测之则绳长为，根据题意，得．故选：D．附：板书设计例1.学生练习板演（拓展训练）例1.学生练习板演（拓展训练）课题：5.1.1从算式到方程（1）——方程活动一：探究什么是方程方程：活动二：了解方程的数学史活动三：列方程的方法步骤：5.1.1从算式到方程（2）——方程解与一元一次方程(教案新教材)第五章一元一次方程5.1方程5.1.1从算式到方程（2）——方程解与一元一次方程【教学目标】1.让学生从用含未知的等式表示等量关系的活动中，体会方程解和解方程概念.2.理解认识什么是一元一次方程.【教学重点】方程解和一元一次方程的概念.【教学难点】方程解与解方程的区别.【教学过程】 一、情境导入探究1.问题1：一辆客车和一辆卡车同时从A地、B两地相向而行，客车的行驶速度是，卡车的行驶速度是，A，B两地间的距离为，两车多少小时后相遇？学生活动：分析量与量间的关系，列方程.教师活动：追问1.所要求的量是什么？客车和卡车行驶的路程之间的等量关系是什么？怎样设未知数，并列方程？师生共同完成：设两车相遇，则客车行驶的路程为，卡车行驶的路程为，根据题意，得.提出问题导入课题：列方程是解决问题的重要方法，要想得到实际问题的解，还需要求出方程中的未知数的值，本节课学习5.1.1从算式到方程（2）——方程解与一元一次方程二、合作探究活动一：什么是方程的解、解方程探究2.问题1中得到的方程是，观察可以得出，时，方程的左边，和方程右边相等，所要求的未知数的值就是2.回忆上节课学习的引例，列出的方程是，的取值是5，当时，方程左、右两边是否相等？学生活动：左边，右边，方程左、右两相等.教师活动：什么是方程的解一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解。如上面的是方程的解，是方程的解.求方程解的过程叫解方程.方程的解与解方程的区别.学生活动：讨论两者的区别.活动二：方程解的应用例1.（