第一章《相似三角形》巩固复习练习2023学年青岛版九年级数学上册

青岛版九年级数学第一章《相似三角形》巩固复习一、选择题若两个相似多边形的面积之比为4：9，则这两个多边形的周长之比为(    )A.2：3 B.2：3 C.4：9 D.16：81如图，在矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于

(

)A.5−12

B.5+12

C.如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则▱ABCD的周长为A.21

B.28

C.34

D.42如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG=8，则△CEF的周长为(    )A.16

B.17

C.24

D.25如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF=EC，连结EF，DE，DF，M是FE中点，连结MC，设FE与DC相交于点N.则4个结论：①DE=DF；②∠CME=∠CDE；③DG2=GN⋅GE；④若BF=2，则MC=2A.4 B.3 C.2 D.1如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(    )A.AB2=BC⋅BD

B.AB如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2,4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，则CD的长度是(    )A.1

B.2

C.25

D.以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的12后得到△A'B'O，若B点坐标为(4,−6)，则B'的坐标为(    )A.(2,−3) B.(−2,3) C.(2,−3)或(−2,3) D.(2,−3)或(−2,−3)二、填空题如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F.若∠AED=∠B，且AG：GF=3：2，则DE：BC=______．

已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边分别长为5，7，8，△DEF的最长边与最短边的差为6，那么△DEF的周长是______．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD<BC，∠ABC=90°，且AB=3，点E是边AB上的动点，当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，则AE=______．

如图，△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是______．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF//AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2=PE⋅PF．

如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE=∠A．

(1)求证：△DFC∽△CBE；

(2)若AD=4，CD=6，DE=3，求DF的长．

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BE平分∠ABC.BE分别与AC，CD相交于点E，F．

(1)求证：△AEB∽△CFB；

(2)求证：AECE=ABCB；

(3)若CE=5，EF=25，BD=6.求AD的长．

【问题探究】

(1)如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．

①请探究AD与BD之间的位置关系：______；

②若AC=BC=10，DC=CE=2，则线段AD的长为______；

【拓展延伸】

(2)如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α(0°≤α<360°)，作直线BD，连接AD，当点B，D，E

如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．

(1)求证：OE=OF；

(2)若AD=4，AB=6，BM=1，求BE的长．

如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB．

(1)求证：BD⊥EC；

(2)若AB=1，求AE的长；

(3)如图2，连接AG，求证：EG−DG=2AG．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：∵两个相似多边形的面积之比为4：9，

∴两个相似多边形的对应边的比为2：3，

∴两个相似多边形的周长的比为2：3，

故选：B．

利用相似多边形的性质解决问题即可．

本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查了折叠，矩形的性质，相似多边形的性质等知识，可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．

【解答】

解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，

∴四边形ABEF是正方形，

∵AB=1，

设AD=x，则FD=x−1，FE=1，

∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，

∴EFFD=ADAB，

1x−1=x1，

解得x1=1+523.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答.根据平行四边形的性质得AB//CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．

【解答】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CF，AB=CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴DEAE=FDAB=12，

∵DE=3，DF=4，

∴AE=6，AB=8，

∴AD=AE+DE=6+3=9，

∴平行四边形ABCD4.【答案】A

【解析】【分析】

本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．

先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．

【解答】

解：∵在▱ABCD中，CD=AB=10，BC=AD=15，∠BAD的平分线交BC于点E，

∴AB//DC，∠BAF=∠DAF，

∴∠BAF=∠F，

∴∠DAF=∠F，

∴DF=AD=15，

同理BE=AB=10，

∴CF=DF−CD=15−10=5；

∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=10，BG=8，可得：AG=6，

∴AE=2AG=12，

∴△ABE的周长等于10+10+12=32，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10=1：2，

∴△CEF的周长为16．

故选：A．

5.【答案】A

【解析】解：正方形ABCD中，AD=CD，

在△ADF和△CDE中，AD=AD∠A=∠DCE=90°AF=EC，

∴△ADF≌△CDE(SAS)，

∴∠ADF=∠CDE，DE=DF，故①正确；

∴∠EDF=∠FDC+∠CDE=∠FDC+∠ADF=∠ADC=90°，

∴∠DEF=45°，

连接BM、DM．

∵M是EF的中点，

∴MD=12EF，BM=12EF，

∴MD=MB，

在△DCM与△BCM中，DM=MBBC=CDCM=CM，

∴△DCM≌△BCM(SSS)，

∴∠BCM=∠DCM=12∠BCD=45°，

∴∠MCN=∠DEN=45°，

∵∠CNM=∠END，

∴∠CME=∠CDE，故②正确；

∵∠GDN=∠DEG=45°，∠DGN=∠EGD，

∴△DGN∽△EGD，

∴DGGE=GNDG，

∴DG2=GN⋅GE；故③正确；

过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH=45°，

∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，

∴MH是△BEF的中位线，

∴MH=12BF=1，

∴CM=2MH=2故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④．

故选：A．

正根据全等三角形的性质得到∠ADF=∠CDE，DE=DF，故①正确；推出∠DEF=45°，连接BM、DM.根据直角三角形的性质得到MD=MB6.【答案】A

【解析】解：∵△ABC∽△DBA，

∴BDAB=ABBC=ADAC；

∴AB2=BC⋅7.【答案】B

【解析】【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．

直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点C的坐标，即可得出答案．

【解答】解：∵点A(2,4)，过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，

∴C(1,2)，则CD的长度是：2．

故选B．8.【答案】C

【解析】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的12后得到△A'B'O，

∵B点坐标为(4,−6)，

∴B'的坐标为(4×12,−6×12)或(−4×12,6×12)，即(2,−3)或(−2,3)，

故选：9.【答案】3：5

【解析】解：∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，

∴△ADE∽△ACB，

∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，

∴DEBC=AGAF(相似三角形的对应角平分线的比等于相似比)，

AG：FG=3：2，

∴AG：AF=3：5，

∴DE：BC=3：5，

故答为3：510.【答案】40

【解析】解：设△DEF的最长边为x，最短边为y，依题意，则有：

x:y=8:5x−y=6，解得：x=16，y=10；

∴△ABC和△DEF的相似比为1：2，周长比也是1：2；

∵△ABC的周长=5+7+8=20，

∴△DEF的周长为40．

根据相似三角形的对应线段成比例可得出△DEF的最长边与最短边的比例关系，进而可求出这两边的长，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求出△DEF的周长．

此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应线段成比例，周长比等于相似比．11.【答案】32或1【解析】【分析】

本题考查了直角三角形相似的性质和判定，当两个直角三角形相似时，要分情况进行讨论；正确画图是关键，注意不要丢解。

分情况讨论：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用角平分线的性质和直角三角形30度角的性质分别可得AE的长。

【解答】

解：分两种情况：

①当∠CED=90°时，如图1，

过E作EF⊥CD于F，

∵AD//BC，AD<BC，

∴AB与CD不平行，

∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∠BEC=∠CDE=∠ADE，

∵∠A=∠B=∠CED=90°，

∴∠BCE=∠DCE，

∴AE=EF，EF=BE，

∴AE=BE=12AB=32，

②当∠CDE=90°时，如图2，

∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，∠CEB=∠CED=∠AED=60°，

∴∠BCE=∠DCE=30°，

∵∠A=∠B=90°，

∴BE=ED=2AE，

∵AB=3，

∴3AE=3，

∴AE=1，

综上，AE的值为32或1．

故答案为312.【答案】4或325【解析】解：∵点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动．

∴AP=t，CQ=2t，AQ=16−2t，

∵∠BAC=∠PAQ，且以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，

∴APAC=AQAB或APAB=AQAC，

∴t8=16−2t16或t13.【答案】证明：连接PC，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD是△ABC的对称轴．

∴PC=PB，∠PCE=∠ABP．

∵CF//AB，∴∠PFC=∠ABP(两直线平行，内错角相等)，

∴∠PCE=∠PFC．

又∵∠CPE=∠EPC，

∴△EPC∽△CPF．

∴PCPE=PFPC(相似三角形的对应边成比例)．

∴PC【解析】要证线段乘积式相等，常常先证比例式成立，要证比例式，须有三角形相似，要证三角形相似，须根据已知与图形找条件就可．

证明线段乘积式相等，常常先证比例式成立这是十分重要的方法之一，本题主要考查的是相似三角形性质的应用．

14.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC，CD//AB，

∴∠A+∠B=180°，∠DCE=∠BEC，

∵∠DFE=∠A，

∴∠DFE+∠B=180°，

而∠DFE+∠DFC=180°，

∴∠DFC=∠B，

而∠DCF=∠CEB，

∴△DFC∽△CBE；

(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴CD//AB，BC=AD=4，

∵DE⊥AB，

∴DE⊥DC，

∴∠EDC=90°，

在Rt△DEC中，CE=DE2+DC2=32+62=35，

∵△DFC∽△CBE，

∴DF：【解析】(1)利用平行四边形的性质得AD//BC，CD//AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，∠DCE=∠BEC，再证明∠DFC=∠B，则可判断△DFC∽△CBE；

(2)利用平行四边形的性质得到BC=AD=4，利用平行线的性质得DE⊥DC，则利用勾股定理可计算出CE=35，然后利用相似比求出DF的长．

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．15.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，

∵CD为AB边上的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠A=∠BCD，

∵BE是∠ABC的平分线，

∴∠ABE=∠CBE，

∴△AEB∽△CFB．

(2)证明：∵∠ABE=∠CBE，∠A=∠BCD，

∴∠CFE=∠BCD+∠CBE=∠A+∠ABE，

∵∠CEF=∠A+∠ABE，

∴∠CEF=∠CFE，

∴CE=CF，

∵△AEB∽△CFB，

∴AECF=ABCB，

∴AECE=ABCB．

(3)解：如图，作CH⊥EF于H．

∵CE=CF，CH⊥EF，

∴EH=FH=5，

∴CH=EC2−EH2=52−(5)2=25，

∵∠BFD=∠CFH,∠CHF=∠BDF=90°，

∴△BFD∽△CFH，

∴DFHF【解析】(1)根据两角对应相等两三角形相似即可判断．

(2)首先证明CE=CF，利用相似三角形的性质即可解决问题．

(3)解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，AD即可．

本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

16.【答案】(1)①AD⊥BD ②

4

(2)若点D在BC右侧，

如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=7，CD=3，CE=1．

∴∠ACD=∠BCE，ACBC=3=CDCE

∴△ACD∽△BCE

∴∠ADC=∠BEC，

∵CD=3，CE=1

∴DE=DC2+CE2=2

∵∠ADC=∠BEC，∠DCE=∠CFD=90°

∴△DCE∽△CFD，

∴DEDC=DCCF=CEDF

即23=3CF=1DF

∴CF=32，DF=32

∴AF=AC2−CF2=532

∴AD=DF+AF=33

若点D在BC左侧，

∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=21，BC=【解析】解：【问题探究】

(1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴∠ADC=∠BEC=45°

∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°

∴AD⊥BD

故答案为：AD⊥BD

②如图，过点C作CF⊥AD于点F，

∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=2

∴DF=CF=1

∴AF=AC2−CF2=3

∴AD=AF+DF=4

故答案为：4

【拓展延伸】

(2)见答案

【问题探究】

(1)①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；

②过点C作CF⊥AD于点F，由勾股定理可求DF，CF，AF的长，即可求AD的长；

17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，AB//CD，BC=AD，

∴∠OAE=∠OVF，

在△AOE和△COF中，

∠OAE=∠OCFOA=OC∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴OE=OF；

(2)解：过点O作ON//BC交AB于N，

则△AON∽△ACB，

∵OA=OC，

∴ON=12BC=2，BN=12AB=3，

∵ON