第十三章-相交线-平行线（基础过关） 带解析

第十三章相交线平行线（基础过关）考试时间：90分钟注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（共6小题）1.如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短【答案】B【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线，∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．故选：B．【知识点】点、线、面、体、线段的性质：两点之间线段最短、垂线段最短、直线的性质：两点确定一条直线2.如图，∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5【答案】A【分析】根据同位角定义可得答案．【解答】解：∠1的同位角是∠2，故选：A．【知识点】同位角、内错角、同旁内角3.一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数为α，第二次拐弯∠B的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（）A．α﹣β B．180°﹣β+α C．360°﹣β﹣α D．β﹣α【答案】B【分析】过B作BF∥AD，求出AD∥BF∥CE，根据平行线的性质得出∠ABF＝∠A＝α，∠C+∠FBC＝180°，即可得出答案．【解答】解：过B作BF∥AD，∵CE∥AD，∴AD∥BF∥CE，∴∠ABF＝∠A＝α，∠FBC＝180°﹣∠C，∵∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝β，∴α+180°﹣∠C＝β，∴∠C＝180°﹣β+α故选：B．【知识点】平行线的判定与性质4.小颖学习了平行线的相关知识后，利用如图所示的方法，折出了“过已知直线AB外一点P和已知直线AB平行的直线MN”，下列关于MN∥AB的依据描述正确的是（）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．以上选项均正确【答案】D【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点P的直线，根据根据平行线的判定方法求解．【解答】解：由题图（2）的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA＝90°，由题图（3）的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE═∠NPE＝90°，所以∠MPE＝∠NPE＝∠AEP＝∠BEP＝90°，所以可依据同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行，或同旁内角互补，两直线平行判定AB∥MN，故选：D．【知识点】平行线的判定与性质5.如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，易证∠DEA与∠FDE、∠EAB，∠ACD与∠BAC、∠FDC间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．【解答】解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB，∵FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB，∴AB∥CN∥EM∥FD∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB．∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB，∠ACD＝∠BAC+∠FDC．又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC∴56°＝∠BAC+2∠FDE①，46°＝∠FDE+2∠BAC②．①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°，∴∠BAC+∠FDE＝34°③．①﹣③，得∠FDE＝22°．∴∠CDF＝2∠FDE＝44°．故选：C．【知识点】平行线的性质6.下列说法中，错误的是（）①a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系平行、相交、垂直三种．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】B【分析】利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论．【解答】解：当a与b平行时，虽然a与c相交，b与c相交，但a与b不相交，故①错误；在同一平面内，两条直线有两种的位置关系：平行、相交，故④错误；②③分别是平行公理及推论，正确．故选：B．【知识点】平行公理及推论、平行线、相交线、平行线的判定与性质二、填空题（共12小题）7.如图所示，EF⊥AB，∠1＝26°，则当AB∥CD时，∠2＝°．【答案】116【分析】由垂直的性质可得∠FEB＝90°，易得∠3＝64°，由平行线的性质定理可得结果．【解答】解：∵EF⊥AB，∠1＝26°，∴∠FEB＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣26°＝64°，∵AB∥CD，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣64°＝116°，故答案为：116．【知识点】平行线的判定与性质8.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE＝48°，则∠AOD为．【答案】138°【分析】利用垂线定义可得∠BOE＝90°，然后可得∠COB的度数，再利用对顶角相等可得答案．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠BOE＝90°，∵∠COE＝48°，∴∠COB＝90°+48°＝138°，∴∠AOD＝138°，故答案为：138°．【知识点】垂线、对顶角、邻补角9.如图，直线a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1＝57°，则∠2的度数是．【答案】33°【分析】根据平行线的性质即可求出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠ABC﹣∠1＝33°．∵a∥b，∴∠2＝∠ABD＝33°，故答案为：33°．【知识点】垂线、平行线的性质10.如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝5cm，则点P到直线l的距离是cm．【答案】3【分析】根据点到直线的距离的概念确定出是哪条线段的长度即可得．【解答】解：点P到直线l的距离是点P到直线l垂线段的长度，∵PB⊥l，且PB＝3cm，∴点P到直线l的距离是3cm，故答案为：3．【知识点】点到直线的距离11.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝78°，则∠AOF等于．【答案】51°【分析】由已知条件和观察图形，利用对顶角相等、角平分线的性质和垂直的定义，再结合平角为180度，就可求出角的度数．【解答】解：∵∠BOC＝∠AOD＝78°，OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝39°．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠AOF＝180°﹣∠EOF﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣39°＝51°．故答案为：51°．【知识点】角平分线的定义、垂线、对顶角、邻补角12.如图所示的网格式正方形网格，A、B、P是网格线交点，则∠PAB+∠PBA＝°．【答案】45【分析】利用平行线的性质可得∠B＝∠BAC，然后利用角的和差关系可得答案．【解答】解：∵PB∥AC，∴∠B＝∠BAC，∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠BAC＝∠PAC＝45°，故答案为：45．【知识点】平行线的性质13.如图，AB∥CD∥EF，且CF平分∠AFE，若∠C＝20°，则∠A的度数是．【答案】40°【分析】由CD∥EF，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠CFE的度数，结合角平分线的定义可求出∠AFE，由AB∥EF，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠A的度数．【解答】解：∵CD∥EF，∠C＝20°，∴∠CFE＝∠C＝20°．又∵CF平分∠AFE，∴∠AFE＝2∠CFE＝40°．∵AB∥EF，∴∠A＝∠AFE＝40°．故答案为：40°．【知识点】平行线的性质、角平分线的定义14.如图，AB∥CD，∠FGB＝150°，FG平分∠EFD，则∠AEF的度数等于°．【答案】60【分析】利用平行线的性质计算出∠GFD的度数，进而可得∠EFD的度数，然后再利用平行线的性质可得答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠FGB＝150°，∴∠GFD＝30°，∵FG平分∠EFD，∴∠EFD＝60°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝60°，故答案为：60．【知识点】平行线的性质15.两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有．【答案】①③④【分析】根据垂线、对顶角、邻补角定义进行逐一判断即可．【解答】解：两条直线相交所构成的四个角，①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；故答案为：①③④．【知识点】垂线、对顶角、邻补角16.如图，将一条对边互相平行的纸带进行折叠，折痕为MN，若∠AMD′＝42°时，则∠MNC′＝度．【答案】111【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可解决问题．【解答】解：由翻折可知：∠DMN＝∠NMD′＝（180°﹣42°）＝69°，∵AD∥BC，∴∠DMN+∠MNC＝180°，∴∠MNC＝111°，由翻折可知：∠MNC′＝∠MNC＝111°，故答案为111．【知识点】平行线的性质17.如图，已知直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝．【答案】210°【分析】由直线l1∥l2，推出∠3+∠4＝180°，又∠2＝∠1+∠4，由此可得结论．【解答】解：如图．∵直线l1∥l2，∴∠3+∠4＝180°，∵∠2＝∠1+∠4，∴∠3+∠4+∠2＝180°+∠1+∠4，∵∠1＝30°，∴∠2+∠3＝180°+30°＝210°．故答案为210°【知识点】平行线的性质18.如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为．【答案】70°【分析】先由AB∥MN知∠A+∠ACN＝180°，结合∠A度数得出∠ACN的度数，再由CB平分∠ACN知∠ACB＝∠ACN＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解答】解：∵AB∥MN，∴∠A+∠ACN＝180°，又∵∠A＝40°，∴∠ACN＝180°﹣∠A＝140°，∵CB平分∠ACN，∴∠ACB＝∠ACN＝70°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，故答案为：70°．【知识点】平行线的性质三、解答题（共7小题）19.如图，AB⊥BF，CD⊥BF．∠BAF＝∠AFE，求证：∠DCE+∠E＝180°．【分析】由垂线的性质得出AB∥CD，由内错角相等得出AB∥EF，得出CD∥EF，由平行线的性质即可得出∠DCE+∠E＝180°．【解答】证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF，∴AB∥CD，∵∠BAF＝∠AFE，∴AB∥EF，∴CD∥EF，∴∠DCE+∠E＝180°．【知识点】平行线的判定与性质20.如图，AD是∠BAC的角平分线，点E是射线AC上一点，延长ED至点F，∠CAD+∠ADF＝180°．（1）试说明AB∥EF．（2）若∠ADE＝65°，求∠CEF的度数．【分析】（1）由角平分线的定义得∠CAD＝∠DAB，根据内错角相等两直线平行证明AB∥EF；（2）由平行线的性质得ADE＝∠DAB，∠CEF＝∠CAB，根据角的等量代换得∠CEF＝2∠ADE＝2×65°＝130°．【解答】解：如图所示：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠CAD＝∠DAB，又∵∠CAD+∠ADF＝180°，∴∠DAB+∠ADF＝180°，∴AB∥EF；（2）∵AB∥EF，∴∠ADE＝∠DAB，∠CEF＝∠CAB，∴∠CEF＝2∠ADE，∵∠ADE＝65°，∴∠CEF＝2∠ADE＝2×65°＝130°【知识点】平行线的判定与性质21.已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点G，H；GM平分∠FGB，∠3＝60°．求∠1的度数．【分析】依据对顶角相等以及平行线的性质，即可得到∠4＝60°，∠FGB＝120°，再根据角平分线的定义，即可得出∠1＝60°．【解答】解：∵EF与CD交于点H，（已知），∴∠3＝∠4．（对顶角相等），∵∠3＝60°，（已知），∴∠4＝60°．（等量代换），∵AB∥CD，EF与AB，CD交于点G，H，（已知），∴∠4+∠FGB＝180°．（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FGB＝120°．∵GM平分∠FGB，（已知），∴∠1＝60°．（角平分线的定义）．【知识点】平行线的性质22.如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°∠COF＝34°（）∴∠EOF＝°∵OF是∠AOE的角平分线∴∠AOF＝＝56°（）∴∠AOC＝°∵∠AOC+＝90°∠BOO+∠EOB＝90°∴∠BOD＝∠AOC＝°（）【答案】【第1空】已知

【第2空】56

【第3空】∠EOF

【第4空】角平分线的定义

【第5空】22

【第6空】∠EOB

【第7空】22

【第8空】同角的余角相等【分析】根据角平分线的定义、余角的概念解答．【解答】解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝56°，∵OF是∠AOE的角平分线，∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义），∴∠AOC＝22°，∵∠AOC+∠EOB＝90°，∠BOO+∠EOB＝90°，∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），故答案为：已知；56；∠EOF；角平分线的定义；22；∠EOB；同角的余角相等．【知识点】对顶角、邻补角、角平分线的定义、余角和补角23.如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠M＝∠N，请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），∴AB∥（），∴∠BAE＝（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∴∠BAE﹣∠1＝﹣∠2，即∠MAE＝，∴∥NE（），∴∠M＝∠N（）．【答案】【第1空】CD

【第2空】同旁内角互补，两直线平行

【第3空】∠AEC

【第4空】∠AEC

【第5空】∠NEA

【第6空】AM

【第7空】内错角相等，两直线平行

【第8空】两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的性质和判定，结合图形完成说理过程，并填写推理依据．【解答】解：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知）∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAE＝∠AEC（两直线平行，内错角相等）∵∠1＝∠2（已知），∴∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2，即∴∠MAE＝∠AEN，∴AM∥NE（内错角相等，两直线平行）∴∠M＝∠N（两直线平行，内错角相等），故答案为：CD，同旁内角互补两直线平行，∠AEC，∠AEC，∠NEA，AM，内错角相等两直线平行，两直线平行内错角相等．【知识点】平行线的判定与性质24.如图，已知射线CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，E，F在射线CB上，且满足DB平分∠ADF，DE平分∠CDF．（1）求证：CD∥BA；（2）若左右平移AB，则∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值是否会改变，若不变，求出它们的值，若改变，请说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可证明；（2）根据平行线的性质可得出∠DBC＝∠BDA，从而得出答案．【解答】解：（1）∵CB∥DA，∠C＝∠DAB＝120°，∴∠CDA＝180°﹣∠C＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDA+∠DAB＝180°，∴CD∥BA；（2）不变，理由如下：∵CB∥DA，∴∠DBF＝∠ADB，∵DB平分∠ADF，∴∠FDB＝∠ADB，∴∠FDB＝∠ADB＝∠DBF，∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠EDB＝∠FDE+∠FDB＝∠CDA＝×60°＝30°；∴∠DEC﹣∠DBF＝∠EDB＝30°；∵∠DBA＝∠ABC﹣∠EDB，∴∠DEC+∠DBA＝∠DEC+60°﹣∠DBF＝30°+60°＝90°．∴∠DEC﹣∠DBF和∠DEC+∠DBA的值不变，分别是30°和90°．【知识点】平行线的性质、平移的性质25.阅读下⾯材料，完成（1）～（3）题．数学课上，⽼师出示了这样⼀道题：如图1，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EP⊥FP，∠1＝60°．求∠2的度数．同学们经过思考后，⼩明、⼩伟、⼩华三位同学⽤不同的⽅法添加辅助线，交流了⾃⼰的想法：⼩明：“如图2，通过作平⾏线，发现∠1＝∠3，∠2＝∠4，由已知EP⊥FP，可以求出∠2的度数．”⼩伟：“如图3这样作平⾏线，经过推理，得∠2＝∠3＝∠4，也能求出∠2的度数．”⼩华：“如图4，也能求出∠2的度数．”（1）请你根据⼩明同学所