2024年北京西城区高一上学期期末考数学试题含答案解析

第1页/共1页北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高一数学2024.1本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A.∀x≥1，x2≤1 B.∃x＜1，x2＞1 C.∀x＜1，x2＞1 D.∃x≥1，x2＞13.如图，在正六边形中，（）A B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.5.已知，则的最小值为（）A.－2 B.0 C.1 D.6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B. C. D.7.已知，，则（）A. B. C. D.8.已知集合，，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（）（参考数据：）A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________.12.下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分，则甲得分中位数是_____，乙得分的方差为_____．13.已知,为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____.14.函数.若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____.15.记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.①所有偶函数都具有性质；②具有性质；③若，则一定存在正实数，使得具有性质；④已知，若函数具有性质，则.其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；（3）写出函数的值域（结论不要求证明）.17.每年3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.（1）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率；（2）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.（1）求的值；（2）已知函数有两个不同的正数零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.条件①：；条件②：，；条件③：，.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.19.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）.年份20182019202020212022运行列数0.630821.241.51.6（1）计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；（2）从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率；（3）设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）20.已知函数.（1）求函数的零点；（2）求函数的图象与函数的图象的交点坐标；（3）若函数图象恒在直线的下方，求的取值范围.21.对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.（1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，①；②；（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；（3）若，求证：是的充分不必要条件.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高一数学2024.1本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A2.已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A.∀x≥1，x2≤1 B.∃x＜1，x2＞1 C.∀x＜1，x2＞1 D.∃x≥1，x2＞1【答案】C【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词，否结论即可【详解】命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1；故选：C．3.如图，在正六边形中，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正六边形的性质转换相等向量即可.【详解】.故选：C4.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别构造函数，，，利用函数的单调性解逐一判断四个选项即可.【详解】因为为增函数，所以时，有，A错误；，在上单调递减，在上单调递增，所以，不一定有，B错误；，在上单调递减，在上单调递减，，若，同号，则，若，异号，则，所以C错误；为增函数，，则，所以，所以，D正确.故选：D5.已知，则的最小值为（）A.－2 B.0 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求得最小值．【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B．6.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解.【详解】以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系下，，,，，所以,，，．故选：B7.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先将指数式化为对数式得到的表示，然后根据对数的运算性质求解出的值.【详解】因为，所以，因为，所以故选：B.8.已知集合，，若，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求出，，因为，且，所以，计算补集即可.详解】由，可得，即，所以；由，可得，即，所以；若，且，则有.故选：D9.已知为非零向量，且，，则“”是“存在实数，使得”成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“”与“存在实数，使得”的互相推出情况判断属于何种条件.【详解】当时，则，所以，所以，所以，所以，所以同向，所以；当“存在实数，使得且为非零向量”成立时，此时共线，又因为，不妨取，所以，此时不成立；所以“”是“存在实数，使得”成立的充分不必要条件，故选：A.10.一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出.【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，所以，整理得①，又分裂速度变化是连续的，则，整理得，所以，解得故选：B,第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为_____________.【答案】【解析】【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】解：根据题意，要使函数有意义，则需满足，解得且.所以函数的定义域为：故答案为：【点睛】本题考查函数定义域求解，是基础题.12.下面茎叶图记录的是甲、乙两位篮球运动员在最近场比赛中的得分，则甲得分的中位数是_____，乙得分的方差为_____．【答案】①.②.【解析】【分析】利用中位数的定义和方差公式可求得结果.【详解】甲得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，甲得分的中位数为，乙得分由小到大排列依次为：、、、、，所以，乙得分的平均数为，方差为.故答案为：；.13.已知,为一组不共线的向量，且向量，，能使得的一组实数的值可以为_____，_____.【答案】①.1②.4（答案不唯一，即可）【解析】【分析】根据，可知，由平面向量基本定理可得.【详解】因为，所以存在实数使得，即，，由平面向量基本定理可得：，，即，所以.可取故答案为：1；414.函数.若，则的值为_____；若有两个零点，则的取值范围是_____.【答案】①②.【解析】【分析】若，代入计算出的值，再计算的值；先确定出在各自定义域内各有一个零点，然后列出关于零点的不等式组，由此求解出的取值范围.【详解】若，则；因为均至多有一个零点，所以在内有一个零点，在内有一个零点，且的零点为，的零点为，所以，由指数函数单调性可知，所以的取值范围是，故答案为：；.15.记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.①所有偶函数都具有性质；②具有性质；③若，则一定存在正实数，使得具有性质；④已知，若函数具有性质，则.其中所有正确结论的序号是_____.【答案】①②④【解析】【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④.【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数，对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对；对于②，对任意的，，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，故对任意的，，所以，具有性质；对于③，因为，且函数的值域为，所以，不存在实数，使得，③错；对于④，，因为，易知，因为，则，则，所以，，即，所以，，要使得恒成立，则，又因为，则，所以，若函数具有性质，则，④对.故答案为：①②④.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）用函数单调性定义证明：函数在上是减函数；（3）写出函数的值域（结论不要求证明）.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）先分析定义域是否关原点对称，然后根据与的关系作出判断；（2）先取值，然后再计算的正负，由此可完成证明；（3）先根据解析式分析时的值域，再结合奇偶性可求的值域.【小问1详解】是奇函数.证明如下：的定义域为，因为，都有，且，所以是奇函数.【小问2详解】任取，且，，因为，所以，，所以，所以，所以函数在上是减函数.【小问3详解】函数的值域为.证明如下：当时，，又因为为奇函数，所以当时，，综上可知，值域为.17.每年的3月21日是世界睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间的频率分布直方图如图所示（样本数据分组为，单位：小时）.（1）求图中的值，估计该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率；（2）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人该天睡眠时间不小于9小时的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为求解出的值，根据频率分布直方图中的数据可求睡眠时间不小于9小时的频率；（2）先根据频率分布直方图先求各睡眠时间段的频率并以此作为概率，然后根据对立事件的概率求解出结果.【小问1详解】因为，所以；该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的频率为：.【小问2详解】由题知，该校高一学生该天睡眠时间为小时的频率分别为：，，，，，用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间为小时的概率分别为，，，，，记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有一人该天睡眠时间不小于9小时为事件，则.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使存在并且唯一，并完成下列问题.（1）求的值；（2）已知函数有两个不同的正数零点.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）若，求的值.条件①：；条件②：，；条件③：，.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）若选条件①②：先计算出的值，再根据对称轴求解出，则结果可知；若选条件①③：先计算出的值，再根据最小值确定出对称轴，所以可求，则结果可知，若选择②③，则根据二次函数的性质可知存在但不唯一；（2）（i）先表示出，然后根据二次函数的零点分布列出不等式组，由此求解出的取值范围；（ii）根据以及（i）中的范围求解出的值.【小问1详解】若选择条件②③：则根据二次函数的性质可知，存在但不唯一；若选条件①②：由①得，由②得图象的对称轴为直线，所以，所以，满足要求；若选条件①③：由①得，由③得为的最小值，所以对称轴，所以，满足要求.【小问2详解】由（1）知，所以；（ⅰ）因为有两个不同的正数零点，所以，所以或，解得，所以的取值范围是.（ⅱ）因为，所以，又因为，所以.19.2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，成为纪念“一带一路”倡议十周年最隆重的活动.此次活动主题为“高质量共建‘一带一路’，携手实现共同发展繁荣”，而作为“一带一路”重要交通运输的中欧班列越来越繁忙.下表是从2018年到2022年，每年中欧班列运行的列数（单位：万列）.年份20182019202020212022运行列数0.630.821.241.51.6（1）计算中欧班列从2018到2022年的平均运行列数；（2）从2018年到2022年这5年中随机选取2年，求这两年运行列数和大于2.4（单位：万列）的概率；（3）设2018年，2019年，2020年运行列数的方差为，2020年，2021年，2022年运行列数的方差为，从2018年到2022年这5年的运行列数的方差为，试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）【答案】（1）万列（2）（3）【解析】【分析】（1）根据平均数计算公式求解出结果；（2）列出所有可能的结果，然后分析满足要求的结果数，根据比值求解出对应概率；（3）根据运行列数的数据变化情况作出判断.【小问1详解】从2018年到2022年运行列数的平均值为：，所以中欧班列从2018到2022年的平均运行列数为万列.【小问2详解】从2018年到2022年随机选取2年，所有可能的结果有10种，它们是：，，用表示“这两年运行列数和大于万列”这一事件，则中的结果有4个，它们是，故所求的概率.【小问3详解】.（理由：这三年运行列数增长较慢，数据变化幅度小，所以方差最小；，这五年运行列数增长很快，且的运行列数约是年的倍，数据变化幅度很大，所以方差最大.）20.已知函数.（1）求函数的零点；（2）求函数的图象与函数的图象的交点坐标；（3）若函数的图象恒在直线的下方，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据指对数的运算求解即可；（2）代入可得，再整理成关于的二次方程求解即