2024年中考数学复习专题22 直角三角形【十六大题型】（举一反三）（解析版）

专题22直角三角形【十六大题型】

♦题型梳理

【题型1由直角三角形的性质求解】..............................................................3

【题型2根据已知条件判定直角三角形】..........................................................8

【题型3利用勾股定理求解】....................................................................14

【题型4判断勾股数问题】......................................................................17

【题型5勾股定理与网格问题】.................................................................20

【题型6利用勾股定理解决折叠问题】...........................................................27

【题型7勾股定理与无理数】....................................................................34

【题型8利用勾股定理证明线段的平方关系】.....................................................36

【题型9勾股定理的证明方法】.................................................................43

【题型10以弦图为背景的计算】.................................................................48

【题型11利用勾股定理构造图形解决问题】.......................................................54

【题型12利用勾股定理解决实际问题】...........................................................57

【题型13在网格中判定直角三角形】.............................................................61

【题型14利用勾股定理逆定理求解】.............................................................67

【题型15图形上与已知两点构成直角三角形的点】.................................................71

【题型16用勾股定理解决实际生活问题】.........................................................76

，举一反三

【知识点直角三角形】

1.直角三角形的性质与判定

直角三角形的定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

直角三角形的性质:I)直角三角形两个锐角互余.

2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

3)在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

直角三角形的判定:1)两个内角互余的三角形是直角三角形.

2)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系a2+b2=c2,那么这个三角

形是直角三角形。

面积公式：=lcm（其中：c为斜边上的高，m为斜边长）

m

b

2.勾股定理

勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为C,那么。2+匕2=。2

变式：Q2=C2—/）2,b2=c2—a2,c=Va24-b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

勾股定理的证明方法（常见）：

方法一（图一）：4sA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4x：ab+（b—a）?=c?，化简可证.

方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4xjab+c2=2ab+，C2

大正方形面积为S=（a+b）2=a2+2ab4-b2,所以a?+b2=c2

方法三（图三）：S梯形="a+b＞（a+b），S梯形=2S「DE+SAABE=2•|ab+1c2,化简得证a?+b2=c2

。_________________「ba八人a।

口D

HQ：L

AcBabBbc

图一图二图三

勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，1即Q2+/J2=C2中，a,b,c为正整

数时，称Q,b,C为一组勾股数.

常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.

判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a,b,c；

2）确定最大的数c；

3）计算较小的两个数的平方。2+匕2是否等于‘a.

3.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a,b,c满足/+垓=。2,那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边.

【题型1由直角三角形的性质求解】

【例1】（2023•内蒙古包头•包头市第三十五中学校考三模）如图，在正方形48。）中，点E、/分别在边CD,BC

上，RDE=CF,连接尸,DG平分乙4。尸交力8于点G,若=70°,则/AG。的度数为.

【答案】55。/55度

【分析】根据正方形的性质可得=OC，/-ADE=Z.C=I.DAG=90°,AD\\BC,从而证明

DCF（SAS）,得〃ED=4DFC=LADF=70°,再由角平分线的定义可得乙40G=^ADF=35°,再根据直

角二角形的性质即可求解.

【详解】解：:四边形4BCD是正方形，

：.AD=DC,^ADE=Z.C=^DAG=90°,AD\\BC,

：.LADF=乙DFC,

^.LADE^LOC尸中，

（AD=DC

N4OE=ZC,

（DE=CF

/.AADE会△DCF（SAS）,

：.LAED=Z-DFC=Z-ADF=70°,

•・・DG平分4ADr，

：.AADG=^ADF=35°,

：.AAGD=90°-乙40G=55°,

故答案为:55。.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌

握正方形的性质和全等三角形的判定证明△ADE-△DCF是解题的关键.

【变式1-1]（2023•北京平谷•统考一模）如图,Rt△48c中，乙4cB=90。,CD_LAB于点。,则下列结论不

一定成立的是（）

A.zl+z2=90°B.41=30°C.zl=z4D.z2=z3

【答案】B

【分析】借助直角三角形两锐角互余，依次判断即可.

【详解】解：Rt/k/lBC中，

*：LACB=90°,

r.zl+Z2=90°,故A正确；

CDLAB,

・・・〃DC=zCDB=90。，

Azi+Z3=90°,

'：LACB=90°,

.,.Z3+Z4=9O°

.*.zl=z4,故C正确；

VzCDF=90°,

；・42+匕4=90。，

Vz3+z4=90°

・・・/2=乙3,故D正确；

•.•/l不一定是30。，故B符合题意

故选:B.

【点睛】本题.主要考查了三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余这一性质来解题是关键.

【变式1-2］（2023•江苏镇江・统考二模）如图，分别以△4BC的边4C和48向外作等腰RtzMCE和等腰心△

ABD,点M、N分别是BC、CE中点，若MN=26，则四边形BCED的面积为一.

D

BMC

【答案】24

【分析】连接BE,CD交于点H,根据三角形中位线定理可得BE=2MN=46，然后证明

DAC(SAS),可得BE1CD,再利用对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半即可解决问题.

【详解】解：如图，连接BE,CD交于点H,BE交AD于G,

•・•点M、N分别是BC、CE中点，MN=24

BE=2MN=48，

在等腰Rt△%(;£1和等腰Rt/iABD,AB=AD,AE=AC,ABAD=Z-CAE=90°,

•••/.BAD+Z.DAE=Z.CAE4-Z.DAE,

•••Z.BAE=Z-DAC,

在AD4C中，

(AB=AD

l^BAE=/-DAC，

IAE=AC

.-.ABAEaDACHAS'),

BE=DC,乙ABE—Z.ADC»

v/.ABE+乙BGA=90°,

.-.Z.ADC+Z.BGA=90°,

•••/.BGA=乙DGH,

・••Z.ADC+乙DGH=90°,

:.Z.DHG=90°,

:.BE1CD,

vBE=DC=4百，

二四边形8CED的面积=-xBE-CD=-x4x/3x473=24.

22

故答案为：24.

【点睛】本题考查「全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，对角线互相垂直的四边形面积，三

角形中位线定理，解决本题的关键是得到^BAEDAC.

【变式1-3］(2023•河南信阳•二模)【阅读理解】如图1,小明把一副三角板直角顶点。重叠在一起.如图2固

定三角板4。氏将三角板C。。绕点。以每秒15。的速度顺时针旋转，旋转时间为£秒，当。。边与。8边重合时

停止转动.

【解决问题】

(1)在旋转过程中，请填出乙40C、乙8。。之间的数量关系；

(2)当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；

(3)当440C、△4。8、乙80c中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线0C是乙1。8的“优线”，请直接写

出所有满足条件的t值.

［答案］(l)AAOC+乙BOD=180°

(2)有，。。平分4/1。氏。8平分"OD,理由见解析

(3)t=2,3,4,9,12

【分析】(1)由题意，根据题目分析、然后画出图形可得结论;

(2)依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解；

(3)依据题意，将所有可能情形杭理并分类讨论可得£的值.

【详解】(1)解：①如图，Z-AOC+Z-BOD=180°,理由如下：

由题意得，2。。4=90。一乙4OC,^COB=90°-^AOC.

：.LAOC+Z-BOD=Z.AOC+Z.DOA+Z,AOC+乙COB

=LAOC+90°-Z,AOC+Z.AOC+90°-Z.AOC

=180°,

A

②如图，/.AOC+Z-BOD=180",埋由如下：

由题意得，/-DOA=900-Z,DOBt乙COB=90。一乙DOB.

：,LAOC+乙BOD=Z.DOA+乙DGB+乙COB+乙BOD

=90°-乙DOB+乙DOB+90°-乙DOB+乙BOD

=180°,

综上，/-AOC+乙BOD=180°.

故答案为：Z.AOC+LBOD=180°；

(2)解：有，0。平分乙AOB,。8平分4COO.

如图所示，理由如下：

当运动时间为9秒时，Z/10C=15ox9=135o,

：,LBOC=Z-AOC-Z-AOB=135°-90°=45°.

■:乙COD=90°,

:.4BOD=乙COD-乙BOC=90°-45°=45°,

:.乙BOC=乙BOD=45°,

，08平分乙。0。，

LBOD=45°=、AO8,

，0。平分乙力。8；

（3）解：由题意得，/-AOB=90%Z,AOC=（15t）°.

当/80C=244。。时，LAOC=30%

/.15t=30,解得t=2；

当，为0B=2440C,OC在ZAOB内部时，^AOC=45°,

/.15t=45,解得£=3；

当/4OC=2/B0C时，^AOC=60°,

A15t=60,解得£=4；

当，4。8=24B0CI时，Z.AOC=135°,

A15t=135,解得£=9；

当/40C=2N/O2U寸，Z.AOC=180%

A15t=180,解得t=12；

综上，t=2,3,4,9,12.

【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键.

【题型2根据已知条件判定直角三角形】

【例2】（2023•福建漳州•统考一模）在下列条件中：①乙4+48=",②N4482c=1:5:6,③N4=90°-

乙B,@44=乙5=乙（；中，能确定△力8c是直角三角形的条件有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90度即可.确定△48C是直角三角形.

【详解】解：由三角形内角和定理得乙力+乙8+乙。=180。，

①当"1+乙B=4C时，2zC=180°,zC=90°,能确定△力8c是直角三角形；

②当44N&4c=1:5:6时，zC=-4—X18O°=9O°,能确定A48C是直角三角形；

1+5+6

③当乙4=90。一48时，LA+Z-B=Z.C=90°,能确定△力8C是直角三角形；

④当乙4=匕8=4。时，Z/4+zF=ZC=60°,不能确定△48C是直角三角形；

综上可知，能确定△48C是直角三角形的条件有3个，

故选C.

【点睛】本题考查直角二角形的判定，解题的关键是熟练运用二角形内角和定理.

【变式2-1］（2023•陕西西安•一模）如图，已知锐角三角形A8C,用尺规作图法在BC上作一点P,使得乙8+

^PAB=90°.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】过点A作力P18C于点P,点P即为所求.

【详解】解：如图，点P即为所求.

•••Z.APB=90°,

•••Z.B+乙PAB=90°.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【变式2-2］（2023•湖北武汉•校考模拟预测）如图，。。经过的顶点4,C及4B的中点0,且D是AC的

中点.

B

D/

A,C

O

(I)求证：△/IBC是直角三角形；

(2)若。。的半径为1,求极：8C的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】(1)连接CD,根据。是向C的中点，可得£M=OC,所以乙再根据点。是力B的中点,

可推得DC=OB,所以NB=NOCB,然后利用三角形内角和定理即可解决问题；

(2)连接。。并延长交。。于点E,连接4E,证明△/1/)£1〜△C8A,可得当二,，代入值即可解决问题.

CBBA

【详解】(1)证明：如图，连接CD,

・.・。是此的中点，

・・・DA=DC,

：.z.DAC=Z.DCA,

•・•点。是AB的中点，

：,DA=DB,

：.DC=DB,

=乙DCB,

'：LBAC++Z,ACB=180°,

：,LBAC++Z.DCA+乙DCB=180°,

・・・24+=180°,

・••血C+iB=90。，

・•・AABC是直角三角形；

(2)解：如图，连接。。并延长交。。于点E,连接力E,

・・・DE是。0的直径，

/.zDi4F=90°,

•・•。是/if的中点,

，曲=CD,

：,LDEA=Z.BAC,

*：£DAE=LBCA=90%

**•AADEs&CBA,

•ADDE

••—CB———BA

〈O。的半径为1,点。是的中点,

：,DE=2,AD=-AB,

2

・•・泗”，

BCAB

：-\AB2=2BC,

：,AB2=4BC,

：.AB2'.BC=4.

B

E

【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形用似的判定和性质，直角三角形的判定，熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式2-3](2023・湖南邵阳•统考一模)如图，已知抛物线经过原点。，顶点为4(1,1),且与直线y=%-2

(1)求抛物线的解析式及点。的坐标;

⑵求证：AASC是直角三角形；

(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN_Lx轴与抛物线交于点M,则是否存在以。，M,N为顶点的

三角形与aABC相似？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-/+2%；C(-1,-3)

(2)见解析

(3)存在，N点、,其坐标为0)或《,0)或(一1,0)或(5,0)

【分析】(1)可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点

坐标；

(2)分别过A、C两点作"由的垂线，交x轴于。、E两点，得出ZiBEC和△AD8为等腰直角三角形,进而可

得出/ABC=90。,即可得到答案；

(3)设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当AMON和△A8C相似时，利用

三角形相似的性质可得粤=能或罂=等，可求得N点的坐标.

ABBCBCAB

【详解】(1)•・•顶点A的坐标为(1,1),

・•・设抛物线的解析式为y=a(x-I/+1,

又1•抛物线过原点，

AO=a(0-I)2+1,

解得。=-1,

・•・抛物线的解析式为y=-(x-1产+1,即y=-x2+2x,

联立抛物线和直线解析式可得?=一"+2”，

(y=x-2

解噬记或仁二;，

・・・B(2,0),C(-l,-3)；

(2)如图，分别过4、C两点作x轴的垂线，交x轴F。、E两点，

・・・AZ10B和△8EC为等腰直角三角形，

：.AABO=/-CBO=45°,即248c=90°,

・・・A/8C是直角三角形；

(3)存在，点N的坐标为停,0)或6,0)或(一1,0)或(5,0),理由如下：

假设存在满足条件的点N,

设押(%,0),则MQ—/+2x),

.'.ON=|x|,MN=\-x2+2x|,

由(2)在和CEB中，可分别求得48=BC=3yf2,

•・•MNJL》轴于点N,

：.Z.ABC=乙MNO=90°,

••・当4MNC^A/IBC相似时有翳=，或黄=等，

①当翳=,时，则有^^件二界，即|讣|-无+2|=拉|,

•・•当％=0时，M、。、N不能构成三角形，

，x工0,

/.\-x+2|=^,即一x+2=±5

解得％=(或%=孑此时N点坐标为信0)或((,0)；

②当翳=等时，则有上青=3即田•1+2|=3|讣

BCAB3V2VZ

：.\-x+2\=3,

即-X+2=±3,解得'=-1或x=5,此时N点坐标为(一1,0)或(5,0).

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为C，0)或6,0)或(-1,0)或(5,0).

【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾

股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等.在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的

坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应.本题考查知

识点较多，综合性较强，难度稍大.

【题型3利用勾股定理求解】

【例3】（2023・广东•模拟预测）如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,。是矩形的对称中心，点E、F分

别在边力0、BC上,连接。OF,若AE=3F=2,则。£+。5的值为（）

j二ED

BFC

A.2V2B.5V2C.V5D.275

【答案】D

【分析】连接AC，BD,过点。作。M14D于点M,交BC于点、N,利用勾股定理求得0E的长即可解题.

【详解】解：如图，连接AC,BD.过点。作。M_L4。于点M,交8C于点N,

•・泗边形A8C。是矩形，

0A=0D=0B

0M1AD

•••AM=DM=3

1

0M=2AB=2

•••AE=2

•••EM=AM-AE=1

0E=>JEM2+OM2=+22=Vs

同理可得OF=VS

OE+OF=2x/5

故选：D.

【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键.

【变式3-1](2023•河北保定・统考二模)在平面直角坐标系中，点4(1,2),8(-3/)，当线段AB最短时，b的

值为()

A.2B.3C.4D.0

【答案】A

【分析】根据两点之间的距离公式即可求得b的值.

【详解】解：根据两点之间的距离公式得：

AB=7(-3-l)2+(b-2)2=J16+(匕一2产,

当匕=2时，AB有最小值，最小值为4.

因此当=2时，4。最短，

故选A.

【点睛】本题考查平面直角坐标系中动点问题、二次函数的最值，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键.

【变式3-2】(2023上•辽宁沈阳•八年级校联考阶段练习)如图，四边形A8CQ的对角线力C,BD交于点O.若

ACLBD,AB=4,CD=通,则BC?+4。2=

【答案】21

【分析】根据勾股定理即可解答.

【详解】解：-AC1FD,AB=4,CD=V5,

.•.在Rta/lOB中，。/12+。^2=4#=42=16,

.•.在RtaCOO中，OU+。。2=亦=（佝2=5,

又••在Rt△力。。叶上OA2+0D2=AD2,

在中，OB2+0C2=BC2,

22

ABC+AD

222

=（OB+OC）+（OA+。。2）

=(OB2+OA2)+(0。2+。。2)

=AB2+CD2

=16+5

=21.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键.

【变式3-3](2023•河南濮阳•统考三模)如图，在△480中，^BAD=90°,AB=2,AD=2A/3,将力B绕点

4逆时针旋转a度(0<a<90),得到力P,当△4。。是等腰三角形时，点。到4D的距离为.

【答案】写或1

【详解】本题考存了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，先在Rt^ABD中，利用勾股定理求出BD=4,

再根据旋转的性质可得：AB=AP=2,然后分两种情况：当O4=DP时；当P4=PD时；最后分别进行计

算，即可解答.

【解答】解：=90。，AB=2,AD=273,

•••BD=>JAB2+AD2=J22+(275)2=4,

由旋转得：AB=AP=2,

分两种情况：

当DA=DP时，如图：

过点。作OF_L4P,垂足为F,过点尸作PE_LAO,垂足为E,

AF=FP=^AP=1,

DF=y/AD2-AF2=J(2>/3)2-l2=/1T,

•••△AOP的面积=^AD・PE=^AP-DF,

2\[3PE=2xy/11,

解得：PE=亨，

••・点P至IJAD的E叵离为斗;

当PA=PD时,如图:

当点P落在8。的中点时，^iBP=BD=^BD=2,

vPA=PD=2,PGLAD,

•••AG—DG,

PG是△ABD的中位线，

PG=-2AB=1,

二点P至必。的距离为1；

综上所述：点P到力0的距离为亨或I,

故答案为：口等或1.

«5

【题型4判断勾股数问题】

【例4】（2023•四川泸州・统考二模）倜髀算经》是中国最占老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世

纪.《周髀算经》中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）

和4（股）时，径隅（弦）则为5,后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.观察下列勾股数：3,4,5；

5,12,13；7,24,25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,

弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10：8,15,17；...»若某个此类勾股数的勾为16,则其弦是.

【答案】65

【分析】根据题意可得，勾为m（m为偶数且mN4,根据所给的二组数找规律可得结论.

【详解】解：根据题意可得，勾为m（为偶数且mN4）,则另一条直角边（£）2-1,弦（5丫+L

2

则弦为.（蔡）+1=65,

故答案为：65.

【点睛】本题考杳勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键.

【变式4-1］（2023•黑龙江牡丹江•校考模拟预测）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长

为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三

角形；再经过一次“生长”后变成了图②；如此继续“生长”卜去，则第2015次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”

上所有正方形的面积和为

图①图②

【答案】2016a2

【分析】运用归纳的方法，根据勾股定理，先求出前几次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，然

后找到变化的规律，猜测第〃次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，从而获解.

【详解】解：生长之前面积设为So,第〃次“生长”后的面积为％,

:.=a2,

Si=Q2+Q2=2a2,

222

Sz=2a4-a=3a,

2

Sn=（n+l）a,

22

当n=2015时，S2OOo=（2015+l）a=2016a；

故答案为:2016a2.

【点睛】此题考查图形的变化规律、勾股定理，正确理解题中图形的变化规律、准确用代数式表示规律是解

答此题的关键.

【变式4-2］（2023•江苏南通・统考中考真题）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上

第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,Q=

c=|TH2+m是大于1的奇数，则力=（用含m的式子表示）.

【答案】m

【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到a,b为直用边，c为斜边，根据勾股定理即可得到匕的

值.

【详解】解：由于现有勾股数小b,C,其中a,b均小于c,

・•.a,Z?为直角边，。为斜边，

•••a2+b2=c2,

.5

得到:nf*-^m2+；+炉=Am4-1m2+:,

b2=m2,

:.b=±771,

,J7R是大于1的奇数，

:•b=m.

故答案为：m.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚a,b为直角边，c为斜边是解题的关键.

【变式4-3](2023•四川泸州・统考中考真题)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾

2

股数a,b,。的计算公式：Q=g(m2-n2),b=mn,c=+n),其中m>n>0,m,n是互质的奇

数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先证明出小+炉=。2,得到小〃是直角三角形的直角边然后由血>九>o,m,71是互质的奇数

逐项求解即可.

[详解】,.,«=!(m2—n2),b=mn,c=1(m2+n2),

：,a2+b2=[l(m2-n2)]2+(mn)2=i(?n2-n2)2+m2n2=+^m2n2

Vc2=[i(m2+n2)]2=^(m2+n2)2=4-im2n2+^n4,

.*.G2+h2=c2.

"〃是直角三角形的直角边，

Vm,九是互质的奇数，

A.3=1x3»

；・当m=3,九=1时，a=^(ni2-n2)=4,b=mn=3,c=^(m24-n2)=5,

，3,4,5能由该勾股数计算公式直接得出;

B.5=1x5,

22

.•.当m=5,九=1时，Q=:（m2一/2）=12,/7=mn=5,c=|（ni+n）=13,

・・・5,12,13能由该勾股数计算公式直接得出；

C.6=2x3»8=2x4,

V?n,n是互质的奇数，

・・・6,8,1（）不能由该勾股数计算公式直接得出：

D.7=1x7,

22

.•.当血=7,〃=1时，Q=乙(血2一/2)=24,b=inn=7,c=-(m+n)=25,

22

：・7,24,25能由该勾股数计算公式直接得出.

故选：C.

【点睛】本题考杳了勾股数的应用，通过m>n>0,m,n是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的

值是解决本题的关键.

【题型5勾股定理与网格问题】

【例5】（2023・广东•统考中考真题）综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒

素材：一张正方形纸板.

步骤1：如图1,将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形：

步骤2：如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.

猜想与证明：

图1图2

⑴直接写出纸板上Z4BC与纸盒上“出心的大小关系;

⑵证明（1）中你发现的结论.

【答案】(1)4

(2)证明见解析•.

【分析】(1)和A4181cl均是等腰直角三角形,幺BC=44津£=45。；

(2)证明△ABC是等腰直角三角形即可.

【详解】(1)解：乙=

(2)证明：连接4C,

C

设小正方形边长为1,则4c=BC=71?+2?=遍,AB=Vl2+32=V10,

vAC2+BC2=5+5=业，

•・.△A8C为等腰直角三角形，

FiCi=BG=1,41cl1B1C1,

•••△48传1为等腰直角三角形，

•••乙ABC=Z-A1B1C1=45°,

故乙48c=乙4181G

【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键.

【变式5-1](2023•浙江温州・统考中考真题)如图，在2x4的方格纸4BCD中，每个小方格的边长为1.已

知格点P，请按要求画格点三角形(顶点均在格点上).

(1)在图中画一个等腰三角形PEF,使底边长为近，点E在8c上，点尸在AD上，再画出该三角形绕矩形力BCD

的中心旋转180。后的图形.

(2)在图中画一个Rt使NP=45。，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位

后的图形.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）底边长为企即底边为小方格的对角线，根据要求面出底边，再在其底边的垂直平分线找到在

格点上的顶点即可得到等腰△PEF,然后根据中心旋转性质作出绕矩形4BCD的中心旋转180。后的图形.

（2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可.

【详解】（1）（1）画法不唯一，如图1（PF=V2,PE=EF=y/S）,或图2（PE=五PF=EF=回.

【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的

线段.

【变式5-2】（2023•安徽•统考中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点4B,C,D

均为格点（网格线的交点）.

⑴画出线段A8关于直线CD对称的线段A]Bi：

（2）将线段力8向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段必为，画出线段&B2；

（3）描山线段48上的点M及直线CO上的点N,使得直线MN垂史平分

【答案】（I）见解析

⑵见解析

（3）见解析

【分析】（1）根据轴对称的性质找到4B关于直线CD的对称点，4,B],连接力1，/，则线段4当即为所求;

（2）根据平移的性质得到线段人82即为所求；

（3）勾股定理求得=BM=Vl2+32=V10,MN=Vl2+32=V10,则AM=MN证明△NPM=△MQA

得出NNMP+41MQ=90。，则则点M,N即为所求.

【详解】（1）解：如图所示，线段451即为所求;

一（1―/vUA1干・,J,

KT,

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（2）解：如图所示，线段力2%即为所求;

（3）解：如图所示，点M,N即为所求

'：AM=BM=Vl2+32=同,MN=Vl2+32=V10,

：.AM=MN,

又NP=MQ=1,MP=AQ=3,

AANPM三△MQ4

:•乙NMP=4MAQ,

又/M4Q+Z.AMQ=90°,

：.LNMP+Z.AMQ=90°

：.AM1MN,

.•・时/7垂直平分力从

【点睛】本题考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【变式5-3】（2023•吉林长春・统考中考真题）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边

长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点4、8均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中

按下列要求作△/8C,点C在格点上.

图①图②图③

(1)在图①中，△4BC的面积为土

(2)在图②中，△力BC的面积为5

(3)在图③中，△4BC是面积为T的速角三角形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶见解析

【分析】(1)以4B=3为底，设45边上的高为九，依题意得SMbcng/B—n(解得九=3,即点。在48上

方且到距离为3个单位的线段上的格点即可；

(2)由网格可知，AB=V32+I2=710,以AB=为底，设AB边上的高为h,依题意得S。8c=^AB-h=

5,解得/i=VT5,将48绕A或B旋转90。，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点C；

(3)作力B=V§,过点。作CDIL48,交于格点C,连接A、B、C即可.

【详解】(1)解：如图所示，

以48=3为底，设边上的面为h,

依题意得：S^ABC=\AB-h=\

解得：h=3

即点C在48上方且到48距离为3个单位的线段上的格点即可，

答案不唯一:

(2)由网格可知，

AB=启+12=V10

以=为底，设48边上的高为h,

依题意得：•h=5

解得：h=V10

将48绕A或8旋转90。，过线段的另一个端点作48的平行线，与网格格点的交点即为点C,

(3)如图所示，

作8。=48=遥，过点。作CDIL48,交于格点C,

图③

由网格可知，

BD=AB=V22+I2=V5,AD=V10,

・・.A是直角三角形，且481BD

\'CD\\AB

••SUBC-*80=

【点睛】本题考杳了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形II勺高的有关计算；解题的关键是熟练利用网

格作平行线或垂直.

【题型6利用勾股定理解决折叠问题】

【例6】（2023•黑龙江・统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形力BCD的边4）=5,040。=1:4,将

矩形A8C。沿宜线OE折叠到如图所示的位置，线段。5恰好经过点8,点C落在y轴的点G位置，点E的坐标

是（）

【答案】D

【分析】首先证明^力。〃〜△5G。，求出AB=CD=2,连结OC,设BC与。Ci交于点P,然后求出0C=

OC=2V5,可得q尸二2花一2,再用含EF的式子表示出EG，最后在RtafiTCi中，利用勾股定理构建方

程求出EF即可解决问题.

【详解】解：♦.•矩形力BCD的边力。=5,OA-.OD=1:4,

：,0A=1,OD=4,BC=5,

由题意知A8II0G，

LABO=Z.D1OClt

又・.・匕8力。="DG=90°,

AAOBDiG。，

•OA_D]C]

9

•AB~ODr'

由折叠知。。i=OD=4,0传1=DC=AB,

.I_AB

••布=7'

：.AB=2,即CO=2,

连接。C,设BC与OC1交于点F,

：.0C=y/OD24-CD2=V42+22=2低

'CLFOA=LOAB=匕ABF=90°,

・•・四边形04BF是矩形，

：,AB=OF=2,Z.BFO=90°=乙EFC\,OA=BF=1,

：.CF=5-1=4,

由折叠知OG=OC=2V5,EG=EC=CF-EF=4—EF,

:・CiF=OG-OF=2V5-2,

•・•在RtAEFG中，E产+G产=EQ2,

:.EF2+（275-2）2=（4-EF）2,

解得：EF=遥-1,

・••点E的坐标是（1一遍,2）,

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识,

通过证明三角形相似、，利用相似三角形的性质求出48的长是解题的关键.

【变式6-1］（2023•江苏扬州•统考中考真题）如图，已知正方形ABC。的边长为1,点£、尸分别在边AO、BC

上，将正方形沿着Er翻折，点B恰好落在CD边上的点夕处，如果四边形力BFE与四边形E/C。的面积比为

3：5,那么线段rC的长为.

【答案】I

【分析】连接8丁，过点广作FHIAD于点”，设CF=x,则Z)H=%,MBF=1-x,根据已知条件，分别表

示出4瓦EH,HD,证明三(ASA),得出EH="。=：-2%,在RtZkB'FC中，BrF2=B'C24-

CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

【详解】解：如图所示，连接BB',过点尸作尸，14D于点，，

•・•正方形48CD的边长为1,四边形4B/E与四边形E"D的面积比为3:5,

•・•5四边形48户£=6、1=~»

设CF=x,则0”=x,WijFF=l-x

i3

•••S四边形人川^二之。^9+8F)xAB=-

即：G4E+1-x)x1=1

：,AE=x--

4

：.DE=l-AE=--x,

4

：,EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

・・•折叠,

：.BBf±EF,

Azl+42=Z.BGF=90°,

Vz2+Z3=9O°,

Azl=Z3,

又FH=BC=l/EHF=zf

:.公EHFw^B'CB(ASA),

:・EH=B'C=--2x

4

在RtaB'/T中，B'F2=B'C2+CF2

即（1一%）2=%2+©一2。2

解得：%=，

o

故答案为；o

【点睛】本题考查了正方形的性质，折登的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

【变式6-2］（2023・辽宁盘锦•统考中考真题）如图，四边形A8CD是矩形，AB=瓜,BC=6.点E为边BC的

中点，点?为边上一点，将四边形力8EP沿EF折叠，点A的对应点为点4,点8的对应点为点ZT,过点夕

作B'HIBC于点从若夕，=2々，则尸。的长是.

【分析】分两种情况：当点尸在点£左侧时，设夕E交4。于点G,过点E作EM_LA0于点M,则四边形力3EM为

矩形AB=ME=V5,AM=BE=3,由折叠可知BE=B'E=3,乙BEF=cB'EF,由平行线的性质可得

乙GFE=乙BEF,于是乙GFE=LB'EF,FG=EG,利用勾股定理求得EH=1,证明△EMG〜△8'HE,利用

相似三角形的性质求得EG=学=FG,MG=y,于是FM=FG-MG=瓜力尸=3—V5,则FC=AD-

A凡代入计算即可得到答案；当点尸在点E右侧时，设交BC于点P,过点尸作FK1BC于点K,同理可得

B'E=3,FP=EP,四边形KCDF为矩形，FK=AB=灰，利用相似三角形的性质求得“=^-=EP,PK=

―,进而去除EK=EP-PK=^-虫=V5,则0F=CK=以＜一EK,代入计算即可求解.

222

【详解】解：当点F在点E左侧时，如图，设B'E交AD于点G,过点E作_L于点M,

则"ME=90°,

•・•点£为边8c的中点,

BE=CE=-BC=3,

2

•••四边形为BCD为矩形，BC=6,

AD=BC=6,Z-A=/.B=90°.AD\\BC,

:.Z.AMH=z_A==9U°,

四边形/BEM为矩形，

AB=ME=V6,AM=BE=3,

由折叠可知，BE=B'E=3,乙BEF=£B'EF,

•：AD\\BC,

•••Z.GFE=乙BEF,

：.£GFE=(B'EF,UPzGFF=Z.CEF,

FG=EG,

•••B'H1BC,

:.£B'HE=90°,

在中，EH=y/B'E2-BrH2=J32-(2V2)2=1,

•••ME±BC,B'H_LBC,

：,Z.EMG=乙B'HE=90°,

•••ADWBC,

Z.EGM=乙B'EH,

•••△EMGB'HE,

EM__EG__MG_prjEG_MG_

E'H~B'E~HE'~3~1-