2024年中考数学二轮题型突破题型9 二次函数综合题 类型12 二次函数与圆的问题（专题训练）

类型十二二次函数与圆的问题（专题训练）

1.（2023•浙江温州•统考中考真题）如图1,A8为半圆。的直径，C为3A延长线上一点.CD

3

切半圆于点。，BELCD,交CD延长线于点E,交半国于点尸，己知04=5，AC=1.如

图2,连接4；,尸为线段防上一点，过点尸作4c的平行线分别交CE,BE于点M,N,

过点尸作a7_L4笈于点H.设尸"="，MN=y.

（I）求CK的长和y关于X的函数表达式.

Q）当PH<PN,且长度分别等于尸“，PN,4的三条线段组成的三角形与.BCE相似时,

求。的值.

⑶延长PN交半圆。于点。，当阳=5-3时，求MN的长.

【答案】⑴CE弋，y=-x+4

。IN

⑵a荒或黑

【分析】（1）如图【，连接0D,根据切线的性质得出0D_LCE,证明QO〃AE,得出C彳D=C£O

CECD

即可得出8=3；证明四边形APMC是平行四边形，得出空=券，代入数据可得

3DCCE

25

y=-jX+4；

（2）根据.8CE三边之比为3:4:5,可分为三种情况.当P":/W=3:5时，当PH:PN=4:5

时，当F”.PN=3:4时,分别列出比例式，进而即可求解.

X1

（3）连接AQ,BQ,过点。作QG_L4B于点G,根据lan/BQG=tan/04B=F=：,得

3%3

出BG=:QG=；X,由AB=AG+8G=«=3,可得户白，代入（1）中解析式，即可

JJJ1U

求解.

【详解】（I）解：如图1,连接OO.

B

m\

•・・8切半圆。于点D,

BODICE.

3

\-OA=-AC=[,

2t

：,OC=~,

2

r.CD=2.

BE上CE,

/.OD//BE,

.CDCO

~CE~~CB

5

即2

C£-4

：.CE=-

5

如图2,ZAFB=ZE=90°.

AF//CE.

'：MN//CB,

四边形APMC是平行四边形,

〜n,PHPHx5

,CM=PA=--------==—=—x

,•sinZlsinC33.

5

..MNME

•~BC='CE

165

---------X

.y_53

,,4-16'

~5

.25.

••y=------x+4.

12

25

（2）-五1+3,PH<PN,BCE三边之比为3:4:5（如图2）,

・・•可分为三种情况.

i）当PH:PN=3:5时，

5255

PN=-PH,——x+3=-x,

3123

4

解得x=］，

.416

••a=-x=—.

315

ii）当PH:PN=4:5时,

5255

PN=-PH,---x+3=-x,

4124

9

解得x弋，

.327

..a=—x=—.

440

iii）当PH:PN=3:4时,

4254

PN=-PH,---x+3=-x,

3123

解得工=当，

41

.560

,•a=—x=—.

341

（3）如图3,连接4Q,BQ,过点。作QGJLA8于点G,

HG=PQ=NQ+PN=^x.

4

•JAH=-xf

3

/.AG=AH+HG=3x,

x1

tanZ.BQG=tan/.QAB,

3x3

AG=；QG=；.r,

109

・•・AB=AG+BG—x=3,x=—,

310

251717

・•・），=一gx+4=[,即MN的长为?.

12oo

【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，函数解析式,

分类讨论，作出辅助线是解题的关键.

2.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，抛物线），=«炉十灰+5与x轴交于八,8两点，与），

轴交于点CAZ?=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线、=丘-1交于点。，与工轴交

⑴求直线及抛物线的表达式；

⑵在抛物线上是否存在点使得是以A。为直角边的直角三角形?若存在，求出

所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点3为圆心，画半径为2的圆，点。为8上一个动点，请求出。。+；幺的最小值.

【答案】⑴直线AD的解析式为产x-l；抛物线解析式为产炉-6x+5；（2）存在，点M的

坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；（3）标

【分析】（1）根据对称轴“3,AB=4,得到点4及”的坐标，再利用待定系数法求解析

式即可；

(2)先求出点力的坐标，再分两种情况：①当/D4"=90。时，求出直线4A7的解析式为

y=-x+\

y=-x+l,解方程组，即可得到点M的坐标：②当NAZW=90。时，求出国

y=x2-6x+5

线0M的解析式为y=-x+5,解方程组1'=一：+：.即可得到点M的坐标；

[y=x--6x+5

(3)在人"上取点尸，使BF—1,连接CF,证得黑=当，又，PBF—ZARP,得到

PBAB

一PBFs一ABP,推出a*=:尸A,进而得到当点C、P、尸三点共线时，尸C+；B4的值最小,

即为线段C/的长，利用勾股定理求出CF即可.

【详解】(1)解：•・•抛物线的对称轴x=3,AB=4,

・•・4(l,0),B(5,0),

将人(1,0)代入直线＞，=h1,得及-1_0,

解得女=1,

・•・直线的解析式为尸x-l；

将A(l,0),8(5,0)代入)，=次2+左+5,得

。+〃+5=0(a=1

'CZ«A,解得(AA»

25a+5/?+5=0[Z?=-6

，抛物线的解析式为y=』_6x+5；

(2)存在点M,

•••直线AO的解析式为，=x-l,抛物线对称轴x=3与x轴交于点£.

・•・当x=3时，y=x-l=2,

・•・。(3,2),

①当NC=90。时，

设直线/W的解析式为y=-x+c,将点A坐标代入，

得T+c=0,

解得c=l,

•••直线AM的解析式为)，=T+1,

y=-x+l

解方程组〈

y=x2-6.r+5

x=\x=4

得＜或，

y=0y=-3

•••点”的坐标为（4,—3）；

②当NADW=90。时，

设直线OM的解析式为广-x+d,将0（3,2）代入,

得-3+1=2,

解得d=5,

・•・直线DM的解析式为y=-x+5,

y=-x+5

解方程组

y=x2-6.r+5

[x=0x=5

解得或＜

［），=5)'=0

・•.点M的坐标为（0,5）或（5,0）

综上，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）；

（3）如图，在上取点尸，使B尸=1,连接CF,

VPB=2,

.BF1

••=一,

PB2

..PB2\

•=-=-，、

AB42

.BFPB

■•---=----，

PBAB

又：/PBF=ZABP,

:・_PBFS_ABP,

唱啜!即**

：.PC+-PA=PC+PF>CF,

2

・•・当点C、P、广三点共线时，PC+JPA的值最小，即为线段C尸的长,

•・•。。=5,。产=OB-1=5-1=4,

:-CF=y]0C2+OF2=7F+47=向，

・•・PC+；PA的最小值为"T.

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三

角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识

点是解题的关键.

3.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，二次函数），-6x+8的图像与工轴分别交于点

AB（点A在点3的左侧），直线/是对称轴.点P在函数图像上，其横坐标大于4,连接小PB,

过点尸作PM_L/,垂足为M,以点用为圆心，作半径为「的圆，PT与M相切，切点为丁.

⑴求点A区的坐标；

⑵若以朋的切线长PT为边长的正方形的面积与4PM的面积相等，且M不经过点

（3,2）,求长的取值范围.

【答案】（1）4（2,0）,8（4,0）：⑵IvPMv8或夜<PM<2或PM>2

【分析】（1）令），=。求得点4B的横坐标即可解答；

(2)由题意可得抛物线的对称轴为x=3,设P(见病―6〃?十8),则〃(3,加一6〃?+8)；如

图连接M7,则皿_LPT,进而可得切线长口为边长的正方形的面积为(〃L3>-产；过点

P作轴，垂足为凡可得SpA8=；AB・P”=〃72-6m+8；由题意可得

。〃―3)2-产=m2_66+8,解得r=1；然后再分当点M在点N的上方和下方两种情况解答

即可.

【详解】(1)解：令>=0,则有：x2-6x+8=0,解得：x=2或x=4,

.・.A(2.0),8(4,0).

(2)解：•••抛物线过A(Z0),6(4,0)

••・抛物线的对称轴为K=3,

设P{nt,nT-6/n+8),

PMLI,

/.M(3,1-6/〃+8),

如图：连接M7,则M7'_P7',

・•・PT2=PM2-MT-=(7H-3)2-r2,

・•・切线PT为边长的正方形的面积为(〃L3)2，

过点尸作尸”上工轴，垂足为“，则：SPAR=^-ABPH=m--6/??+8,

(〃Z-3)2-r2=m2-6m+8

Vr>0,

假设〔M过点N(3,2)则有以下两种情况：

①如图1：当点M在点N的上方，即“(3,3)

，"/一6〃?+8=3,解得:〃?=5或，〃=1,

,:m>4

m=5；

②如图2：当点M在点N的上方，即M(3,l)

m2—6m+8=1>解得:m=3±&»

Vm>4

in=3±叵;

综匕PM=〃?-3=2或后.

，当〔“不经过点(3,2)时，|<月W<血或&<03<2或分/>2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论

思想是解答本题的关键.

4.(2023・四川自贡•统考中考真题)如图，抛物线y=-g/+公+4与x轴交于4-3,0),3两

(1)求抛物线解析式及3,。两点坐标；

⑵以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；

⑶该抛物线对称轴上是否存在点E,使得ZACE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在,

请说明理由.

O

【答案】⑴抛物线解析式为«(1,0),C(0,4)；⑵仇-2,-4)或Q(Y,4)

或0（4,4）；⑶£卜1，7j

【分析】（1）将点4-3,0）代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令x,），=0,

即可求得8,C两点的坐标；

（2）分三种情况讨论，当AB,AC8C为对角线时，根据中点坐标即可求解；

（3）根据题意，作出图形，作AG_LCE交于点G,尸为AC的中点，连接GO,G尸，则AO,CG

在《户上，根据等弧所对的圆周角相等，得出G在）'=T上，进而勾股定理，根据尸G=|建

立方程，求得点G的坐标，进而得出CG的解析式，即可求解.

4

【详解】（1）解：•・•抛物线丁=-§/+方丫+4与戈轴交于4（-3,0）,

4,

.,.--x（-3）--3/?+4=0

Q

解得：b=J,

4«

・•・抛物线解析式为y=一§%+4,

当x=0时，y=4,

・•・C（O,4）,

4ft

当y=0时，0=----x2—x+4

33

解得：Ai=-3,x2=1,

4（1,0）

（2）・・・A（-3,0）,8（1,0）,C（0,4）,

设。（〃】,〃）,

•・•以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形

当人A为对角线时，=一=y,「;一=F-

2222

解得：加=-2,〃=-4,

・•・0（-2,-4）；

当AC为对角线时，言上=浮，亨=母

2222

解得：〃?=-4,〃=4

.・・D（-4,4）

-3+/10+10+40+〃

当8C为对角线时,

2222

解得：〃?=4,〃=4

・•・。（4,4）

综上所述，以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，。（-2,-4）或。（T,4）或。［4,4）

（3）解：如图所示，作AG_LCE交于点G,尸为4c的中点，连接GO,G尸,

・•・/GC是等腰直角三角形,

.♦・4。。0在（尸上,

VA(-3,0),C(0,4),

/1-1,2),22=5»

AC=\/A0+COGF=-AC=-

22

ZAOG=ZACG=45°,

・・・G在)'=T上,

3)+(--2)2=(1

设G（f,T）,则6尸=t+-

2j

7

解得：4=-展G=。（舍去）

,・,点。/为

设直线CG的解析式为），=依♦+4

77

：,-=--k+4

22

解得：攵=g.

・•・直线CG的解析式），=Jx+4

VA（-3,0）,8（1,0）,

••・抛物线对称轴为直线x==丑=-1,

1,、27

当户一1时，-X（-l）+4=y,

（27、

:.E-1,—.

\'7

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周

角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键.

5.（2023•四川乐山・统考中考真题）已知（公）1）,（七,达）是抛物。1：）=-；/+版（卜为常数）

上的两点，当占+了2=0时，总有

（1）求匕的值;

（2）将抛物线G平移后得到抛物线。2：），=-；（.¥-m）2+1（,“>0）.

探究卜.列问题：

①若抛物线G与抛物线C：有一个交点，求〃?的取值范围；

②设抛物线与工轴交于A，B两点,与），轴交于点C,抛物线C?的顶点为点七，ABC外

接圆的圆心为点尸，如果对抛物线G上的任意一点P,在抛物线C?上总存在一点。，使得

点P、。的纵坐标相等.求律长的取值范围.

7g

【答案】⑴0;（2）①2K〃区2+2&②QOKQ

【分析】（1）根据X=-；片+例,必=一；¥+法2，且玉+工2=0时，总有）’1=）’2，变形后即

可得到结论：

（2）按照临界情形，画出图象分情况讨论求解即可.

【详解】（1）解：由题可知：,=-；工：+姐,、2=-；芯+公2

X+与=0时，总方>,]=>2，

+ZZX|——+纵2,

则；（为+%）（%—-％）=。，

，一6（%一玉）=0总成立，且为一看工0,

/.Z?=0：

（2）①注意到抛物线。2最大值和开口大小不变，"，只影响图象左右平移下面考虑满足题意

的两种临界情形：

（/,）当抛物线G过点（0,0）时，如图所示，

解得6=2+2&或2-2血（舍），

综上，2<//?<2+2\/2>

②同①考虑满足题意的两种临界情形:

（/）当抛物线G过点（0，-1）时，如图所示,

(")当抛物线。2过点(2,0)时.，如图所示,

综上2垃工4，

如图，由圆的性质可知，点E、尸在线段的垂直平分线上.

HB=in+2-ni=2，

FB=FC,

:.FH2+HB?=FG2+GC?，

设FH=i,

:.r+2

Y

mm~.2/八

-2------1\t+nr-4=0,

uI4)

m59d3卜。,

【4

.•m>25/2,

m2«_

------1*0,

4

m~3

--2r+3=O,H即nt=----1—>

482

2y/2<m<4.

5757

即?4尸

2222

EF=FH+\,

79

:.-<EF<-

22

【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、垂径定理、解一元二次方程等知识，数形结合

和分类讨论是解题的关犍.

6.(2023•四川宜宾・统考中考真题)如图，抛物线)，=加+笈+c与x轴交于点A(<0)、

6(2,0),且经过点。(一2,6).

⑴求抛物线的表达式；

⑵在x轴上方的抛物线上任取一点M射线AN、用V分别与抛物线的对称轴交于点P、Q,

点。关于x轴的对称点为Q'，求的面积；

⑶点M是)，轴上一动点，当NAMC最大时，求M的坐标.

【答案】(l)y=-1/-|x+6；(2)5(3)2W(0,12-475)

【分析】(1)设抛物线的解析式为)，=a(x+4)(X-2),代入点。的坐标，确定〃值即可.

(33、

(2)设N+6,直线AN的解析式为)，=公+"宜线3N的解析式为

尸川+q,表示出尸，Q,Q'的坐标，进而计算即可.

(3)当M是)，轴与经过A,C,M三点的圆的切点是最大计算即可.

【详解】(1)•・•抛物线y=o?+加+c与x轴交于点A(-4,0)、8(2,0),

:.设抛物线的解析式为>=“1+4)。-2),

•・•经过点C(-2,6),

・・・6=4-2+4)(-2-2),

解得〃=-3=，

4

y=--(-v+4)(x-2),

)，=-九二t+6

-42

(2)如图，当点N在对称轴的右侧时,

,.3->3/3/n227

・y=——厂——x+6=——(x+1)+——，

424V74

直线BN的解析式为=您+q,

-4k+b=()2P+q=4

3,33,3

nik+h=--nr-—m+6mp+q=-[m--^m+6

42

323

33工—m~—〃？+6

——m2~——/M+O

k=^2___P_=--------\------

机+4m-2

解得3

.-377/2-6m+24裙+3m-12

b=-------------------2__________

in+4q-rn-2、

32_。八

，直线AN的解析式为、一4"+3，/66+24,直线BN的解析式为

y=

〃？+4〃？+4

333

—m—/〃+6—m~+3m-12

-42...2__________

yv--------------------A-------------------------------

m-2in-2

323A9,9

xiz1-m—"7+6□2x1Gd—/n—AW+10(、

当下7时，2x(_])+也=624」2——=_2z_2y

m+4'7m+4tn+44、7

323

——m~——tn+6r—nr+3m-12—m2+-/??-18Q

x,2_42

y=———1——(-9十-----------------------------------------------------------------------=1(〃1+4)'

in-2m-2m-1

AQ(—1；9(m+4)),。(7,一京9〃?+4)),

44

og27

J也，=一/一2)+2+4)+

・c_127__81

如图，当点N在对称轴的左侧时,

+4)}e<-l,-1(m+4)L

4、

g927

/.PC，=--(w-2)+-(/n+4)=y,

I2781

••SpQ'=­x—x3o=—.

A224

81

综上所述，S

（3）当.AMC的外接圆与QW相切，切点为M时，NAMC最大,

设外接圆的圆心为E,。是异于点M的一点，连接QI,QC,QA交圆于点7,

则44MC=4TC,根据三角形外角性质，得N4TO/4QC,故NAMC＞乙4QC,

工/AMC最大,

设0A与圆交于点儿连接ME,根据切线性质,

/.ZEMO=ZWA=90°,

作直径〃N,连接MN,

4HMN=琳，ZMNH=NMAH,

;EM=EH,

:•乙EMH=4EHM,

/.90。-/EMH=90。-NEHM,

・•・NOMH=ZMNH=AMAH,

:•一OMHs、OAM,

.OMOH

'，~OA~~OM，

・•・OM2=OA・OH，

设OM=y,OH=x,plijAH=4-x,

：.y2=4x,

，y=2\fx,

过点七作所_L3,垂足为"过点C作CG_LQ4,垂足为G,交EM『点、P,

根据垂径定理，得A尸=尸〃=手，四边形£MOF是矩形，

根据。（一2,6）,得CD=PM=OG=2,CG=6

4+xx

PE=EM-PM=---2=-,

22

/.CP=CG-PG=CG-OM=6—2>/x»

在直角二角形HSC中,

・•・仁）2+（6—24）2=（管尸，

・・・工+16=124，

・・・a+my=（124y，

/.X2-1I2X+256=0.

解得玉=56-246，通=56+24石>4（舍去），

•*.y=2^=2756-24^=2^6-2^=2（6-2^）=12-4>?5>

故0M=12-4芯,

・••当NAMC最大时，M812-4瓶）.

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，垂径定理,

勾股定理，矩形的判定和性质，三角形的外接阿I，相似三角形的判定和性侦，用方程的思想

解决问题是解本题的关键.

7.（2023•湖北恩施・统考中考真题）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知抛物线

y=--x2+云+c与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B.

备用图

⑴如图，若4（0,6），抛物线的对称轴为x=3.求抛物线的解析式，并直接写出），26时x

的取值范围；

⑵在（1）的条件下，若p为y轴上的点，c为x轴上方抛物线上的点，当CPBC为等边三

角形时，求点〜，c的坐标；

⑶若抛物线y=-；x2+6+c经过点仪典2）,E（〃,2）,且〃?<〃，求正整数〃?,

〃的值.

【答案】(l)y=-1+3x+606W6

⑵。

(3)m=2,〃=7或〃?=3,//=4

【分析】（1）根据A（0,6）,抛物线的对称轴为x=3,待定系数法求解析式即可求解：当

丫=行时，求得x的范围.进而结合函数图象即可求解：

（2）①连接AI^AC,AC交对称轴于点Q,由A及C尸四点共圆，得/BAC=NBPC=60°,

证明，物的CQ8,求出点D的电标，确定直线入。的解析式，进而求得C点的坐标，设

P（0,p）,PB=PC,勾股定理即可求解；②由①可得NQ44=60°,则当C与A重合时也存

在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解.

（3）根据抛物线），=-3/+笈经过点0（九2）,石（几2）,F（l-l）,可得抛物线对称为

直线一（+力+c=_］则〃+。=一：，则。=一!一〃，进而令），=2,求得力的范围，

2222

进而根据函数图象可知加=2或〃?=3,进而分别讨论求得〃的值，即可求解.

【详解】（1）解：・・・川0,6），抛物线的对称轴为x=3.

c=>/3

------r=3

c=x/3

解得：

・••抛物线解析式为y=--%2+3x+G,

当尸⑺时，即一#+3、+6=百

解得：$=0,々=6,

J当石时，0WxW6

（2）解:①如图所示，连接AB,AC,AC交对称轴于点Q,

・.,A(0,现8(3,0)

・・・OA=6,OB=3,

贝hanNOAB=G

/.ZCMB=60°,NB4P=120。，

•・•PBC为等功三角形，

r.ZPCB=ZPBC=60°,

••・NPAB+NPCB=180°,

・••A,比C,P四点共圆,

AZZMC=ZBPC=60°,

*/BD〃OA,

J.ZABD=ZOAB=(^f.

・•・ZABD=PBC,

/.ZABP=NDBC,

VZBDC=ZMB=120°,PB=BC,

Z..PA^CDB(AAS),

，BD=BA=J(扃+32=26，则。(3,2@,

设直线AD的解析式为y=履+6

则弘+&=26

解得：&=立

3

所以直线AC的解析式为y=理工+百

联立

y=--x2+3x+\/3

2人八

x=0x=--------+6

解得:…或3

y=3x/J-

VB(3,0),设P(O,p),

PC=PB

22

A/7+3=^_173+6^+06__|_〃、

解得：p=3x/3-1

・•・p（o,375_g}

②由①可得NOAB=60。，当C与点A重合时，PBC为等边三角形

则尸与C对称，此时C（0,G）,P（0,-V3）,

综上所述；-普+6,3石一|；尸（0,3石一野或C（0,母尸（0,一石）;

（3）解：•••抛物线产-；/+bx+c经过点。（机,2）,£（〃,2）,

・•・抛物线对称为直线x=?=〃，~+b+c=-\

22

则力+c=—!，则c=一：一>

22

...抛物线角串析式为y==_g（x-〃1+g/

・•・顶点坐标为上

当3/一8_^=2时，

解得：b=1-V6=1+^6

・・・〃?<〃，且机〃为正整数，过点:（1,-1）,则当、=1时y<0,

二•"?=2或，〃=3,

当〃?=2时，将点（2,2）代入解析式yn—gV+bx—》—1

9

解得：b=-

*.*in+n=2b

贝|J〃=7,

当相=3时，将点（3,2）代入解析式丁=一:12+法—〃一：

7

解得：b=a

*.*m+n=2b

贝ij〃=4,

综上所述,ni=2,〃=7或〃？=3,〃=4.

【点睛】本题考查了二次函数的性侦，根据特三角困数求角度，恻内接四边形对角互补，二

次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.如图1,在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=ax2+Z?x+c,与x轴分别相交于A、B两点,

与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点*,y）的坐标值：

X•••-10123•••

y•••03430•••

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值；

（3）如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作。/_Lx轴，垂足为F,AABD

的外接圆与。尸相交于点E.试问：线段所的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

【答案】⑴y=-(x-l)2+4；/(1,4)；(2)Vl3+1；(3)是，1.

【分析】

(1)依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；

(2)利用平移和找对称点的方式，将4Q+QP+PC的长转化为依+1+PC,再利用两

点之间线段最短确定/比'+1C的最小》等卜CE的反，加1后即能确定产七+1+VC的最小

值；

(3)设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到

D点的距离，求出q和。的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值.

【详解】

解：(1)由表格数据可知，顶点坐标为(1,4)

设抛物线解析式为：y=〃(x—l『+4,

将点(0,3)代入解析式得：3=a+4,

。=—1,

・•・抛物线解析式为：y=—(x—iy+4,顶点坐标M(L4).

(2)由表格可知，抛物线经过点A(-1,0),C(0,3),

如图3,将A点向上平移一个单位，得到

则A4'//PQ,AA'=PQ,

・•・四边形A4'PQ是平行四边形，

・•.PA'=QA,

作A关于UQ的对称点E,则£(3,1),

・•・PA'=PE^

AQ+QP+PC=PE+\+PC,

当P、E、C三点共线时，PE+PC最蛹

设直线CE的解析式为：y=mx+〃，

n=3

将C、E两点坐标代入解析式可得：I.」

3m+n=l

n=3

2,

m=——

3

・•・直线CE的解析式为：y=--x+3,

3

令x=l,则y，

J

/7、I________________

・・.当尸时，p、E、C三点共线，此时PE+PLEC=，（3-0）2+（1-3）2二拒最短，

AAQ+QP+PC的最小值为V?3+l.

（3）是；

理由：设ZXp,q）,

因为A、B两点关于直线x=l对称，

所以圆心位于该直线.上，

所以可设AABD的外接圆的圆心为O'（l,e）,

作O'N_LOF,垂足为点N,则N（p,e）,

由。/_LJV轴，

/.E〈p,2e-q）,

•••O'D=O'B,且由表格数据可知B（3,o）

（3-1）~+（0-《）~=（p-l『+（q-e）~,

化简得：4+/=（〃—1了+（4-6）2,

•・•点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为丁二-（工一1『+4,

•二4二一(p—1)+4,

・•・(〃-=4-%

1・4+/=4-g+(q—«)一,

丁qw0,

/.2e-q=-\,

E(p,-1),

AEF=b

即EF的长不变,为1.

【点睛】

本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、

平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握

相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量,

对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

9.如图，抛物线)，=(x+l)(x-a)(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为=43c的外心，且△以»与ZVICO的周长之比为Ji6：4,求此抛物线

的解析式：

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线丫=*+1)&-。)上是否存在一点P,使得

/CAP=/DBA?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,(一；，-1),

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,

0B=l,即可证明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作AABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=&〃，利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得ND=2NOAC=9()°,可得△DBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCs/XOCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

<3)如图，过点D作DHLAB丁H,过点C作AC的垂线，交x轴丁F,过点0作OG_LAC丁

G,连接AP交CF于E,可得AOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等接直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BII、DH的长，根

据NC4P=NOK4,ZBI1I>ZACE=9O°可证明△BHI)s/\ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(I)•・•抛物线y=(x+l)(x—4)(其中。＞1)与X轴交于A、B两点，交y轴于点C.

，当x=0时,y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-4)=0,

解得：X=T,x2=at

AA(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

.*.0B=l,0A=0C=a,

•••△OCA是等腰直角三角形，

/.Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图，作△ABC的外接圆OD,

•・•点D为4Abe的外心，

••・DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

AZ0AC=45°,AC=0〃，

VZBDC和NBAC是8c所对的圆心角和圆周角，

AZBDC=2ZBAC=90°,

：.ZDBC=45°,

；・ZDBC=Z0AC,

.,.△DBC^AOCA,

•・•ABCD与4ACO的周长之比为:4，

.BCMM

••--=-----,up---=--=-----»

AC442a4

解得：a=±2,

经检验：。=±2是原方程的根，

:.a=2,

2

，抛物线解析式为：y=(x+l)(x-2)=x-x-2.

(3)如图，过点D作DH_LAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OG_LAC于

G,连接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2x/2，

VZ0CA=45°,

AZ0CF=45",

•••△OCF是等腰直角三角形，

AF(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

*0+Z?=O

b=-2

k=-l

解得：\

b=-2

・•・直线CF的解析式为y=-x-2,

••,△OCA是等腰直角三角形，0G1AC,

AOG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

•・•点D为&ABC的外心，

・••点D在直线0G上，

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

设直线0G的解析式y初x,

:.m=-l,

・•・直线0G的解析式y=-x,

•・•点D为ZYABC的外心，

工点D在AB的垂直平分线上，

・••点I)的横坐标为二粤=!，

22

把x=!代入y=-x得y=-，，

22

11

..D(一,——)»

22

113

・・・DH=—,BHE+一二一，

222

VZCAP=ZDBA,ZBHI)=ZACE=90°,

AABHD^AACE,

3

*DHBH

'~CE=~AC,即52，

~CE25/2

解得：CE=^—，

3

•••点E在直线CF上，

••・设点E坐标为(n,-n-2),

，CE=而+(一〃-2+2尸=4^,

解得：/?=±|,

3

二242

..Et(—,—),Er?(一,

33-3

设直线AEi的解析式为y=k1x+b“

f2,人4

—k、+h=—

・・・•3।13,

2k}+4=0

k、=L

解得：12,

4=T

・•・直线AEi的解析式为），二gx-

同理：直线AE?的解析式为y=2x—4,

|y=*l

联汇直线AE.解析式与抛物线解析式得

y=x2-x-2

]_

2x.=2

解得：八(与点A重合，舍去)，

5()’2二°

Y二一

4

15

••Pi(—,—),

24

y=2x-4

联汇直线AE?解析式与抛物线解析式得

2

y=X-X-2,

X=1X-,=2

解得:c(与点A重合，合去)，

/二一21为=°

E2

1

综.上所述：存在点P,使得NC4尸=ND84,点P坐标为R(一一――)，P2(1,-2).

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键

10.如图，已知二次函数)：=加+云+c的图象经过点。(2,-3)且与x轴交于原点及点98,0).

y

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线A/3的表达式；

(3)判断的形状，试说明理由；

(4)若点尸为上的动点，且。O的半径为2拉，一动点七从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段AP匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段28匀速运动

到点6后停止运动,求点的运动时间，的最小值.

【答案】(I))，=；/一24(2)4(4,-4),)，=工一8：(3)等腰直角三角形，理由见解

析；(4)5拒

【分析】

(1)根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；

(2)根据(1)中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标

求出AB解析式即可；

(3)根据二次函数对称性可知A8O为等腰三角形