5.2 导数的运算-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

淘宝唯一店铺：知二教育倒卖拉黑不更新试卷第=page11页，共=sectionpages33页淘宝唯一店铺：知二教育倒卖拉黑不更新高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第五章：一元函数的导数及其应用5.2导数的运算【考点梳理】考点一基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos

xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin

xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln

af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)考点二：导数的运算法则已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0.(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).考点三：复合函数的导数1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对

u的导数与u对x的导数的乘积．重难点规律归纳：一：求复合函数的导数的步骤二：利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤【题型归纳】题型一：利用导数公式求函数的导数1．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y=x-3；（2）y=3x；（3）y=log5x；（4）；（5）；（6）y=lnx；（7）y=ex.题型二：导数的运算法则3．（2021·江苏·高二专题练习）求下列函数的导数；（1）（2）（3）（4）（5）（6）4．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝x4－3x2－5x＋6；（2）y＝x·tanx；（3）y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；（4）y＝.题型三：复合函数与导数的运算法则的综合应用5．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）6．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数．（1）（2）（3）；（4）（5）（6）．题型四：与切线有关的综合问题（切点、某点）7．（2021·广西河池·高二月考（理））已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数过点处的切线方程.8．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，且曲线在点处的切线方程为l，直线m平行于直线l且过点.（1）求出直线l与m的方程；（2）指出曲线上哪个点到直线m的距离最短，并求出最短距离.【双基达标】一、单选题9．（2021·广西河池·高二月考（理））已知，则（）A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习（理））函数的图像在点处的切线方程为（）A． B． C． D．11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）的导函数为，且满足f（x）=3x+lnx，则=（）A．2e B． C． D．﹣2e12．（2021·山东烟台·高三期中）曲线在处的切线的倾斜角为，则（）A． B． C． D．13．（2021·江苏·高二课时练习）若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（）A． B．C． D．14．（2021·福建省漳州第一中学高二月考）已知函数（是自然对数的底数），则等于（）A． B． C． D．15．（2021·全国·高二课时练习）函数的导数为（）A． B．C． D．16．（2021·全国·高二课时练习）若，则等于（）A． B．0 C． D．617．（2021·全国·高二课时练习）下列函数求导运算正确的个数为（）①；②；③；④.A．1 B．2C．3 D．418．（2021·全国·高二单元测试）已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．19．（2021·全国·高二单元测试）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A． B．C． D．20．（2021·全国·高二单元测试）已知数列为等比数列，其中，，若函数，为的导函数，则（）A． B． C． D．21．（2021·全国·高二单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．22．（2021·全国·高二专题练习）f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2017(x)＝（）A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx【高分突破】一：单选题23．（2021·全国·高二课时练习）已知函数(，，且)的图像在点处的切线方程为，则（）A． B． C． D．24．（2021·全国·高二课时练习）已知函数，其导函数记为，则（）A．2 B． C．3 D．25．（2021·重庆巴蜀中学高二开学考试）设，已知的图像上有且只有三个点到直线的距离为，则（）A．1 B． C． D．26．（2021·陕西·榆林十二中高二月考（理））已知函数f(x)的导函数，且满足关系式则的值等于（）A．2 B．—2 C． D．27．（2021·北京市景山学校通州校区高二期中）已知函数，则曲线过点的切线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条28．（2021·安徽·定远县育才学校高二月考（理））给出下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．329．（2021·全国·高二专题练习）如图，是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（）A．1 B．0 C．2 D．430．（2021·吉林·延边二中高二期末（理））用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（）A． B． C．4 D．2二、多选题31．（2021·江苏·高二课时练习）已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则下列各式成立的是（）A． B．C． D．32．（2021·江苏·高二课时练习）以下函数求导正确的是()A．若，则B．若则C．若，则D．设的导函数为，且，则33．（2021·江苏·高二课时练习）已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（）A． B． C． D．34．（2021·江苏金湖·高二期中）定义在区间上的连续函数的导函数为，若使得，则称为区间上的“中值点”.下列在区间上“中值点”多于一个的函数是（）A． B． C． D．三、填空题35．（2021·全国·高二课时练习）已知，，若，则________.36．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则k的值为__________.37．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数的图象关于直线对称，为的导函数，则________．38．（2021·广东·洛城中学高二月考）设，，，……，，，则__________.四、解答题39．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）；（4）.40．（2021·全国·高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝(2x＋1)5；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝x·；（5）y＝lg(2x2＋3x＋1)；（6）y＝.41．（2021·江苏·高二课时练习）已知函数.（1）求导函数；（2）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值.42．（2021·江苏·高二课时练习）在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.43．（2021·全国·高二课时练习）已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.淘宝唯一店铺：知二教育倒卖拉黑不更新淘宝唯一店铺：知二教育倒卖拉黑不更新【答案详解】1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以；（5）解：因为，所以；（6）解：因为，所以；2．答案见解析【分析】根据基本初等函数的求导公式一一求解即可.【详解】（1）y′=-3x-4.（2）y′=3xln3.（3）y′=.（4）y=sinx，y′=cosx.（5）y′=0.（6）y′=.（7）y′=ex.3．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以；（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以4．（1）4x3－6x－5；（2）；（3）3x2＋12x＋11；（4）.【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，求各函数的导数即可.【详解】（1）y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5；（2）＝＝；（3）法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11；法二：由(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；（4）法一：y′＝＝.法二：，∴y′＝＝.5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得；（1）解：因为，所以（2）解：因为，所以（3）解：因为，所以（4）解：因为，所以（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以6．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．（1）解：，；（2）解：因为，所以（3）解：因为，所以（4）解：因为，所以（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以7．（1）（2）或【分析】（1）求导，求出切线斜率即可（2）设切点为，求出切线方程，代入点，解方程可得切点，进而可得直线方程（1）由已知，则，故切线方程为，即（2）设切点为，则切线方程为，代入点可得，解得或又，故切线方程为或即切线方程为或8．（1）直线：，直线：；（2）【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，根据直线平行则斜率相等，即可求出直线的方程；（2）显然（1）中的切点到直线的距离最短，再利用点到直线的距离公式计算可得；（1）解：因为，所以，所以，又，即切点为，所以切线的方程为，即，直线与直线平行，所以斜率为，且直线过点，所以直线的方程为，即，即直线：，直线：；（2）解：依题意点到直线：的距离最短，最短距离9．B【分析】求导得到导函数，计算，再代入计算得到答案.【详解】，则，，.，.故选：B10．B【分析】求导，计算，即得解【详解】，，，，因此，所求切线的方程为，即．故选：B11．B【分析】先求，然后把x换成e，可求得.【详解】解：∵=3，∴=3，解得：.故选：B.12．B【分析】先求出的导函数，进而求出时，，由导函数的几何意义和倾斜角与斜率的关系，求出，利用万能公式求出结果.【详解】，当时，，所以，由万能公式得：所以故选：B13．B【分析】可设，结合求出的值，即可得解.【详解】因为，可设，则，解得，因此，.故选：B.14．C【分析】利用导数的运算可得出关于的方程，求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】因为，则，所以，，所以，，故，因此，.故选：C.15．D【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数求导即可.【详解】因为，所以.故选：D.16．D【分析】求出函数导数，可得出，即可求出答案.【详解】∵，∴，∴，∴，∴.故选：D.17．A【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断．【详解】解：①，故错误；②，故正确；③，故错误；④，故错误.所以求导运算正确的个数为1.故选：A.18．A【分析】求导根据导函数的奇偶性得到，再计算切线得到答案.【详解】依题意，，由导函数为偶函数，得，故，，所以，，故曲线在点处的切线方程为，即.故选：A.19．D【分析】求导可得，则，结合，即得解【详解】，.设，则曲线在点P处的切线的斜率为，.，故选：D20．C【分析】根据等比数列的性质和导数的运算法则即可求出.【详解】，，为等比数列，，，则.故选:C.21．C【分析】求导，由导函数的奇偶性可判断【详解】∵，∴，∴，∴为奇函数，故选：C.22．C【分析】对函数求导，可以发现循环周期为4，从而得到.【详解】因为，，，，所以循环周期为4，因此.故选：C.23．D【分析】先对函数求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.【详解】由求导得：，而函数的图像在点处的切线方程为，，因点在直线上，即，于是得，因此有：，解得，所以.故选：D24．A【分析】函数，分析其性质可求的值，再求并讨论其性质即可作答.【详解】由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，，所以.故选：A.25．B【分析】根据题设条件确定直线与的图像相交，求出平行于直线且与的图像相切的切线即可.【详解】依题意，直线与的图像相交，设平行于直线的直线与的图像相切的切点为，由求导得，，则有，解得，即，切线方程为，由，解得或，当时，直线在切线的左侧，与的图像无公共点，当时，直线与的图像相交，所以.故选：B26．D【分析】对函数求导，再令即可得出结果.【详解】因为，所以，令，则，即，解得，故选：D27．C【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.【详解】设切点为A，直线AP的斜率为k,则，又，，∴又方程的判别式为，且，∴方程有两个不同的解，∴曲线过点的切线有两条，故选：C.28．B【分析】根据导数运算法则计算可判断.【详解】①，故①错误；②，故②错误；③若，则，故③错误；④，故④正确．所以正确的个数是1个.故选：B.29．A【分析】从图中得切线上的点代入直线方程得到斜率k，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率可得，最后结合导数的概念求出的值．【详解】将点代入直线的方程得，得，所以，由于点在函数的图象上，则，对函数求导得，∴，故选A．30．B【分析】求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可．【详解】（1），，所以，，，所以，故；故选：B【点睛】本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．31．AD【分析】利用导数的几何意义及求导的基本运算即可求解.【详解】解：对A，由题知，点在上，所以，故A正确；对B，函数的图象在点处的切线方程是，所以，故B错误；对C，，虽然满足，，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为，也满足，，故C错误；对D，由题得，所以，故D正确.故选：AD.32．ACD【分析】利用求导法则逐项检验即可求解.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以，故D正确．故选：ACD.33．AB【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，于是得切线方程为，即，则，解得或，因此得切线方程为或，所以所求切线的方程是或.故选：AB34．ABD【分析】考查新定义题型，通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可.【详解】对于A，，，又，由，得成立，解得，所以A符合.对于B，，，，又，对于，使得，则恒成立，所以B符合.对于C，，，，又，对于，使得，则，根据指数函数单调性性可知，此方程只有一解，所以C不符合.对于D，，，，又，对于，使得，则，，所以D符合.故选：ABD.35．##【分析】对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值.【详解】函数的导数公式可知，，由得，即，解得.故答案为：36．1【分析】求f(x)的导函数，由题设f′(1)=0可得关于k的方程，求k值即可.【详解】由题设，，x∈(0,＋∞).又y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝=0，可得k＝1.故答案为：137．【分析】根据和是的两个零点和关于直线对称，可确定和是的两个实根，利用韦达定理可求得，得到和，由此可求得结果.【详解】由题意知：和是的两个零点，的图象关于直线对称，和也是的零点，和是的两个实根，，，，，，．故答案为：.38．【分析】根据正余弦函数的导数求法，求的导数，并确定变化周期，即可求的解析式.【详解】由题设，，，，，，…，∴的变化周期为4，而.故答案为：39．（1）（2）（3）（4）【分析】（1）方法一：将原函数解析式展开，利用导数的运算法则可求得结果；方法二：利用导数的运算法则直接化简计算可求得结果；（2）利用导数的运算法则可求得结果；（3）利用导数的运算法则可求得结果；（4）利用导数的运算法则可求得结果.（1）解：方法一：，所以，.方法二：由导数的乘法法则得.（2）解：根据题意把函数的解析式整理变形可得，所以，.（3）解：根据求导法则可得.（4）解：根据题意，利用求导的除法法则可得.40．（1）10(2x＋1)4；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【分析】利用基本初等函数的导数公式及复合函数的求导法则，结合换元法对各函数进行求导即可.【详解】（1）设u＝2x＋1，则y＝u5，∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x