清单05 一元一次方程（18个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）-25学年七年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版2024）

清单05一元一次方程（18个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】一元一次方程1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程；标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）；方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值

知识点2含参一元一次方程1、次数含参：主要考察一元一次方程定义2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数【清单02】等式的性质等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；如果a=b，那么a±c=b±c;等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；如果a=b，那么ac=bc;如果a=b，c0，那么；【清单03】解一元一次方程解一元一次方程的步骤：去分母两边同乘最简公分母2.去括号（1）先去小括号，再去中括号，最后去大括号（2）乘法分配律应满足分配到每一项注意：特别是去掉括号，符合变化3.移项（1）定义：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；（2）注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边．4.合并同类项（1）定义：把方程中的同类项分别合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．5.系数化为1（1）定义：方程两边同除以未知数的系数a，得；（2）注意：分子、分母不能颠倒

【清单04】一元一次方程的实际应用1.距离=速度·时间2.工作量=工效×工时工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量3.顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程4.售价=定价；利润问题常用等量关系：售价-进价=利润【考点题型一】识别方程和一元一次方程

【典例1】下列各式中，属于方程的是（

）A．−12x−3 B．3x+1=4 C．x+1>1【变式1-1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x=0 B．1C．x+2y=3 D．x【变式1-2】下列各式中，是一元一次方程是（

）．A．x−1 B．2y=x+1 C．x=1 D．x【变式1-3】下列四个式子中，是方程的是（

）A．3+2=5 B．a+b C．x+1=2 D．2x−1<0

【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数

【典例2】已知关于x的方程(m−1)x|m|−2=3m是一元一次方程，则实数mA．1 B．−1 C．1或−1 D．0【变式2-1】已知关于x的方程k−2xk−1+5=3k是一元一次方程，则A．±2 B．2 C．−2 D．±1【变式2-2】若(m−2)x|m|−1−2=5是关于x的一元一次方程，则m【变式2-3】若m−3xm−2=5是关于x

【考点题型三】方程的解

【典例3】若x=1是关于x的方程2x−a=−1的解，则a的值是（

）A．−3 B．−2 C．2 D．3【变式3-1】已知x=a是关于x的方程3x−2=12x+3的解，则aA．−2 B．2 C．25 D．【变式3-2】已知x=−3是方程kx+4−2k−x=5的解，则k的值是（A．−2 B．2 C．3 D．5【变式3-3】关于x的方程5x−m=9的解为x=1，则m的值是．【考点题型四】等式的性质

【典例4】如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（

）A．ma+1=mb+1B．ma−3=mb−3 C．−12ma=−【变式4-1】将方程3x+y=6写成用含x的代数式表示y为（

）A．y=6−3x B．y=3x−6 C．x=y3−2【变式4-2】如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，下面与这一事实相符的是（）A．如果a=b，那么a+c=b+c B．如果a=b，那么a−c=b−cC．如果a=b，那么ac=bc D．如果a=b，那么a【变式4-3】下列选项中，利用等式的性质进行变形，不一定正确的是（）A．若2a=6，则a=3 B．若a−3=b−3，则a=bC．若a=b，则−2a=−2b D．若a=b，则a

【考点题型五】解一元一次方程

【典例5】解方程：(1)2x−1=−3x+8；(2)【变式5-1】解方程(1)8x=2(x+4)；(2)3x−12【变式5-2】解方程：(1)4−x2−2x+13=4【变式5-3】解方程．(1)5x−23−2x=−3【考点题型六】一元一次方程的同解问题

【典例6】关于x的方程−2x+a=1的解与方程2x=6的解相同，则a的值是（）A．7 B．5 C．4 D．3【变式6-1】已知关于x的一元一次方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同，则m的值为（

）A．12 B．1 C．−12【变式6-2】已知关于x的方程3x−7=2x+a的解与方程4x+2=7−x的解相同，则a的值为．

【考点题型七】一元一次方程的错解问题

【典例7】小玲在解方程2x−13=a−x2−1

【变式7-1】某同学解方程3x−6=()x时，把（

）处的数字看错，得错解x=−1A．3 B．6 C．9 D．12【变式7-2】小明是七（2）班的学生，他在对方程x+23=x−a2−1去分母时由于粗心，方程右边的−1【变式7-3】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程2x−13=x+a2−1去分母时由于粗心，方程右边的−1没有乘6而得到错解【考点题型八】根据一元一次方程的关系解方程

【典例8】当k为何值时，关于x的方程34+8x=7k+6x的解比关于x的方程【变式8-1】若关于x的方程2x3−3x6=1的解是关于x的方程x+【变式8-2】当k为何值时，关于x的方程7k+6x=2的解比关于x的方程2x−8【变式8-3】已知关于x的方程5x−2m=4x−1+1的解比关于x的方程2x+1−m=x−2m−2【考点题型九】一元一次方程应用-工程问题

【典例9】涑水河，黄河中游支流，流域位于山西省南部的运城市境内，发源于绛县中条山区陈村峪，向西南流经闻喜县、夏县、运城市盐湖区、临猗县、永济市，于永济市韩阳镇长旺村汇入黄河，为把涑水河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的沿河旅游风景区，现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？【变式9=-1】甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天．(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？(2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？【变式9-2】列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米．(1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？(2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？【变式9-3】整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作4小时？【考点题型十】一元一次方程应用-行程问题

【典例10】甲地到乙地的高铁开通后，运行时间由原来的3.5h缩短至1h，运行里程比原来缩短了40km【变式10-1】一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时．(1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？(2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？【变式10-2】随着人们生活水平的提高，人工智能扫地机器人成为上班族或现代家庭的常用家电用品．为了测试两款机器人的清扫速度，现安排甲、乙两个不同的扫地机器人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶清扫（路途中没有障碍物遮挡），已知出发后经3分钟两个机器人相遇，相遇后再经2分钟乙到达A地，A，B相距45米．(1)甲、乙两个机器人的速度分别是多少？(2)从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两个机器人相距6米？【变式10-3】元旦假期小李去歌乐山爬山，上山每小时走4km，下山时按原路返回，下山每小时走5km，结果上山比下山多花16小时，设下山所用时间为xA．4x−16=5x B．4x+1【考点题型十一】一元一次方程应用-比赛积分问题

【典例11】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题：队名比赛场次胜场负场积分A1410424B147721C1441018(1)求出胜一场、负一场各积多少分？(2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由．

【变式11-1】第十九届亚洲运动会开幕式于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重举行．某球赛的比赛记分方法为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一支球队一共进行了9场比赛，输了3场，得16分．设该球队胜了x场，则下列所列方程正确的是（

）A．3x+9−x=16 C．x+39−x=16 【变式11-2】某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？【变式11-3】2023年5月，贵州省榕江县足球超级联赛在该县城北新区体育馆开幕，现场观众最多时达到5万人，平均每场比赛超5000万人次在线围观，全网流量突破300亿次……．这场“村超”的火爆“出圈”提升了贵州乡村人民对自己文化、生活的自豪和自信．下表呈现的是各村足球队中部分参赛队根据积分规则得到的不完整积分表．参赛队局次胜和负积分朗洞镇平地村962120小瑞村952217三江四格队90090平永村队9114观察表格，解决下列问题：(1)本次比赛：“胜”一局得______分，“和”一局得______分，“负”一局得_____分；(2)请在表格中将“平永村队”的积分补充完整；(3)在积分规则不变的前提下，若此系列赛每个队共对弈21局，“美乡村队”最终胜的局数是负的局数的2倍，你认为“美乡村队”的最终得分可以是40分吗？请说明理由．【考点题型十二】一元一次方程应用-经济问题

【典例12】某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示：商品名甲乙批发价（元/千克）46零售价（元/千克）1012(1)该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克；(2)甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？【变式12-1】（1）小明骑自行车从家到学校，若每小时行驶10千米，则晚到4分钟；若每小时行驶15千米，则早到4分钟．求小明家到学校的路程．（2）某水果店第一次用795元从水果批发市场购进甲、乙两种不同品种的苹果，其中甲种苹果的质量比乙种苹果质量的2倍多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：甲乙进价（元/千克）58售价（元/千克）1015（ⅰ）该水果店第一次购进甲、乙两种苹果各多少千克？（ⅱ）该水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的质量不变，且按原价销售；乙种苹果的质量是第一次的3倍，并打折销售．第二次甲、乙两种苹果都售完后获得的总利润为595元，则第二次乙种苹果按原价打几折销售？【变式12-2】小王自主创业开了一家服装店，经营一段时间后，小王发现每件进价为200元的A种服装，按标价的八折出售时的利润率为20%(1)求A种服装的标价为多少元？(2)已知B种服装的进价为300元，小王售完两种服装后，又以原来的价格购进A，B两种服装共110件，所用资金为28000元．①求购进的A，B两种服装各多少件？②由于小王对市场需求了解不清楚，换季时，A种服装虽已全部售出，但B种服装按标价400元只售出了10件，为了尽快回笼资金，小王决定对剩余的B种服装打折处理，在B种服装恰好保本的情况下，剩余的B种服装打几折处理？【变式12-3】2023年12月第六届遵义羊肉粉美食文化旅游节在遵义凤凰山文化广场举行，某袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉，甲种袋装羊肉的每袋进价比乙种袋装羊肉的每件进价少15元．若购进甲种袋装羊肉7袋，乙种袋装羊肉5袋，需要795元．(1)求甲、乙两种袋装羊肉的每袋进价分别是多少元？(2)该袋装羊肉销售铺从厂家购进了甲、乙两种袋装羊肉各45袋．在销售时，甲种袋装羊肉的每袋售价为75元，乙种袋装羊肉的每袋售价为100元，在实际销售过程中，商店按售价将购进的全部甲种袋装羊肉和部分乙种袋装羊肉售出后，决定将剩下的乙种袋装羊肉打九折销售，两种袋装羊肉全部销售完后，共获利1580元，求乙种袋装羊肉打折之前销售了多少袋？

【考点题型十三】一元一次方程应用-方案问题

【典例13】中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？【变式13-1】某校为纪念“一二·九运动”八十七周年，丰富校园文化生活，增强学生的身体素质，培养同学们的集体荣誉感和团结协作精神，特举办一场文体活动，全校各班都积极参与本次活动，为表彰在本次活动中表现出色的班级，学校将购买一些乒乓球和乒乓球拍作为活动奖励，经向两家商店进行价格咨询，了解情况如下：若该校需购买乒乓球拍10副，乒乓球若干盒（不小于10盒）(1)当购买乒乓球多少盒时，甲、乙两家商店收费金额一样多？(2)当购买30盒乒乓球时，从节约角度考虑，学校应该去哪家商店购买？为什么？【变式13-2】2023年9月23日－10月8日，第十九届亚洲运动会在中国杭州举行，其吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”倍受广大群众喜爱．新年将至，学校计划订购一批吉祥物的挂件和徽章．经调查发现，同一款式的挂件和徽章在甲、乙两家商店标价均相同，其中挂件每个标价40元，徽章每个标价20元．同时，两家商店分别开展不同的新年促销活动优惠方式如下：甲商店：买一个挂件送一个徽章；乙商店：挂件和徽章都按8折（标价的80％）出售．如果学校计划订购挂件30个，徽章若干（多于30个），(1)当订购35个徽章时，如果在甲商店订购，费用需__________元；(2)当订购多少个徽章时，在甲、乙两家商店分别订购的费用相同；(3)当订购100个徽章时，如果甲、乙两家商店可以自由选择，请设计一种最省钱的订购方案，并说明理由．【变式13-3】某市两超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：甲超市：全场均按八八折优惠；乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样．(1)当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？(2)当购物总额是多少时，甲、乙两家超市实付款相同？(3)若某顾客购物总额相同，其在乙超市实付款482元，问其在甲超市需实付款多少元？

【考点题型十四】一元一次方程应用-数字问题

【典例14】有两个数，第一个数比第二个数的2倍多1，第二个数比第一个数的3倍少4，问这两个数是多少？设第二个数为x，根据题意可列方程（

）A．2(3x−4)+1=x B．3(2x+1)−4=xC．13x−4=1【变式14-1】将1−9这9个数填入3×3的方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（如图①），是世界上最早的幻方，仅可以看到部分数值的“九宫格”（如图②），其中x=．【变式14-2】无限循环小数可化成分数，如设0.7=x，由0.7=0.7777…可知，10x=7.7777…=7+0.7，所以10x=7+x，解得x=79【变式14-3】观察下表三行数的规律，回答下列问题：第1列第2列第3列第4列第5列第6列…第1行−24−8a−3264…第2行06−618−3066…第3行−12−48−16b…(1)a=________，b=________．(2)第1行某一列的数为c，则第2行与它同一列的数为________．(3)已知第n列的三个数的和为642，若设第1行第n列的数为x，试求x的值．

【考点题型十五】一元一次方程应用-日历问题

【典例15】将从1到900的正整数按一定规律排列如下表：对如图十字形框中的5个数进行探究：(1)设这5个数中间的数为a，则最小的数为，最大的数为；(2)若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数：(3)这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数，若不能，请说明理由．(4)若在（1）中十字形框中框住的五个数的和记为“S”，则S的最大值与最小值的差等于

【变式15-1】如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为115，那么该“十”字型中正中间的号数为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【变式15-2】在如图的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和可能是（）A．54 B．62 C．65 D．75【变式15-3】如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“Z”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（

）A．49 B．60 C．84 D．105【考点题型十六】一元一次方程应用-古代问题

【典例16】《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（）A．3x+2=2x−9 C．x3+2=x−9【变式16-1】程大位《算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分一个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得（）A．3x−100−x3=100C．3x+100−x3=100【变式16-2】《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（

）A．13x−4=1C．13x+4=1【变式16-3】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（）A．10x+35−x=30 C．x10+30−x

【考点题型十七】一元一次方程应用-几何问题

【典例17】生活处处有数学，就看你是否有数学的眼光．同学们都见过机械手表吧，让我们一起去探索其中隐含的数学知识．一块手表如图①所示，把它抽象成数学模型，如图②，表带的两端用点A和点D表示，表盘与线段AD交于点B，C，O为表盘圆心．(1)若BC为3cm，CD:AB=2:1，B是AC的中点，则手表全长AD=cm(2)表盘上的点B对应数字“12”，点C对应数字“6”，OE为时针，ON为分针，8:30时表盘指针状态如图③所示，分针ON与OC重合．①∠EON=°；②作射线OF，使∠EOF=20°，求此时∠BOF的度数．(3)如图④，自8:30之后，OM始终是∠EON的平分线（分针还是ON），在一小时内，经过________分钟，∠EOM的度数是25°．【变式17-1】如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形ABCD的周长是20，那么每个小长方形的周长是．

【变式17-2】已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且|a+3|+(b−4)2=0，点C(1)请根据题意将图形补充完整，直接写出线段AB是线段OC的倍数；(2)动点M、P、Q在线段AB上，点M从原点O出发，以每秒4个单位的速度沿O−B−O运动，到达点O停止；点P从OB的中点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向左运动，到达A点停止．点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BO向左运动，到达点O停止．已知点M、P、Q同时出发，设运动的时间为t秒(t≥0)．①是否存在t值，使得AP=127PQ②在点P的整个运动过程中，求点M可能落在线段PQ上的总时长．【变式17-3】好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为16cm，高为30cm的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为8cm【考点题型十八】一元一次方程应用-水费和电费问题

【典例18】某地天然气收费方案如下：阶梯年用气量价格补充说明第一阶梯0∼400m3元/m当家庭