2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE5-6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理素养目标·定方向课程标准学法解读1.驾驭共线向量基本定理．2．驾驭平面对量基本定理．1.通过学习共线向量定理，提升学生的数学抽象与数学运算的核心素养．2．借助平面对量基本定理，培育学生的数学抽象，逻辑推理的核心素养．必备学问·探新知学问点共线向量定理假如__a≠0__，且b∥a，则存在__唯一__的实数λ，使得b＝λA．假如A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．思索：(1)定理中的条件“a≠0”能否省略，为什么？(2)这里的“唯一”的含义是什么？提示：(1)不能．假如a＝0，b≠0，不存在实数λ，使得b＝λA．假如a＝0，b＝0，则对随意实数λ，都有b＝λA．(2)假如还有b＝μa，则有λ＝μ．学问点平面对量基本定理(1)定理：假如平面内的两个向量a，b__不共线__，则对该平面内的__随意一个__向量c，__存在唯一__的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yB．(2)基底：平面内__不共线__的两个向量a，b组成的集合{a，b}称为该平面上向量的__一组基底__．思索：(1)定理中的“不共线”能否去掉？(2)平面内的每一个向量都能用a，b唯一表示吗？提示：(1)不能，两个共线向量不能表示平面内的随意向量，不能做基底．(2)是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的．关键实力·攻重难题型探究题型共线向量定理的应用┃┃典例剖析__■典例1已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn．(1)推断a，b是否平行；(2)若a∥c，求x的值．[解析](1)明显a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝3λ，,－4＝2λ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,λ＝－2，))∴λ不存在．∴a与b不平行．(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝rA．∴m＋xn＝r(3m＋2n)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3r，,x＝2r，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝\f(1,3)，,x＝\f(2,3)，))x＝eq\f(2,3)．规律方法：1.利用共线向量基本定理可解决两类向量问题：(1)判定向量平行(先假设平行，用基本定理列方程，依据λ1e1＋μ1e2＝λ2e1＋μ2e2，其中e1，e2不共线，列实数方程组，求解)；(2)已知向量求参数．2．判定向量平行还可用结论“当存在实数λ，使得b＝λa时，b∥a”．3．证三点共线：用三点共线的两个充要条件．┃┃对点训练__■1．已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．[解析]要使ke1＋e2与e1＋ke2共线，则存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1与e2不共线，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1．题型平面对量基本定理的理解┃┃典例剖析__■典例2(1)设e1、e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是(C)①e1和e1＋e2②e1－2e2和e2－2e1③e1－2e2和4e2－2e1④e1＋e2和e1－e2A．1 B．2C．3 D．4(2)假如e1、e2是平面α内全部向量的一组基底，那么(A)A．若实数λ1、λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不肯定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有多数对[分析](1)依据基底的构成条件推断．(2)由平面对量基本定理的内容理解推断．[解析](1)③中，∵4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，∴两向量共线，其他不共线，故选C．(2)平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对随意实数λ1、λ2，向量λ1e1＋λ2e2肯定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．规律方法：对平面对量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝xa＋yb，且x＝y＝0．(2)对于固定的不共线向量a，b而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有多数组．┃┃对点训练__■2．已知平面对量e1，e2是一组基底，实数x，y满意(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝__3__．[解析]因为平面对量e1，e2是一组基底，所以向量e1，e2不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得x－y＝3．题型用基底表示向量┃┃典例剖析__■典例3如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若AB＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))表示出来．[解析]eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)B．eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝－(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．规律方法：平面对量基本定理的作用及留意点(1)依据平面对量基本定理，任何一组基底都可以表示随意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．(2)解题时要留意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量．┃┃对点训练__■3．如图，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝3eq\o(NA,\s\up6(→))，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→))．[解析]eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)B．因为eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OM,\s\up6(→))共线，令eq\o(OP,\s\up6(→))＝teq\o(OM,\s\up6(→))，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝t(eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b)．又设eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－m)eq\o(ON,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)a·(1－m)＋mB．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(t,3)＝\f(3,4)1－m，,\f(2,3)t＝m，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,t＝\f(9,10)，))所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)B．易错警示┃┃典例剖析__■典例4如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设Aeq\o(D,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(B,\s\up6(→))＝b，若Aeq\o(B,\s\up6(→))＝2Deq\o(C,\s\up6(→))，则Aeq\o(O,\s\up6(→))＝__eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b__(用a和b表示)．[错解]2a＋b设Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→)))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)Aeq\o(B,\s\up6(→)))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)λeq\o(AB,\s\up6(→))．∵D、O、B三点共线，∴λ－eq\f(1,2)λ＝1，∴λ＝2．∴Aeq\o(O,\s\up6(→))＝2Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＝2a＋B．[辨析]不能正确应用直线的向量参数方程致错．[正解]eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)a设Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则Aeq\o(O,\s\up6(→))＝λ(Aeq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(C,\s\up6(→)))＝λ(Aeq\o(