2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-5.1.2弧度制【素养目标】1．驾驭弧度与角度的互化，熟识特别角的弧度数．(数学运算)2．驾驭弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简洁应用．(数学运算)3．依据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．(逻辑推理)【学法解读】本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．必备学问·探新知基础学问学问点1度量角的两种制度(1)角度制．①定义：用__度__作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的__eq\f(1,360)__为1度角，记作1°.(2)弧度制①定义：以__弧度__为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做__1弧度__的角．③表示方法：1弧度记作1rad.思索1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？提示：肯定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．学问点2弧度数一般地，正角的弧度数是一个__正__数，负角的弧度数是一个__负__数，零角的弧度数是__0__.假如半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的肯定值是|α|＝__eq\f(l,r)__.思索2：(1)建立弧度制的意义是什么？(2)对于角度制和弧度制，在详细的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k·360°＋eq\f(π,6)(k∈Z)，β＝2kπ＋60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．学问点3弧度与角度的换算公式(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2πrad，即依据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了．弧度与角度的换算公式如下：若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad.(2)常用特别角的弧度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0__eq\f(π,6)____eq\f(π,4)____eq\f(π,3)__eq\f(π,2)__eq\f(2π,3)____eq\f(3π,4)____eq\f(5π,6)__π__eq\f(3π,2)____2π__(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起__一一对应__关系：每一个角都有唯一的一个__实数__(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个__角__(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．思索3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区分？(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数．(2)弧度数＝角度数×eq\f(π,180)；角度数＝弧度数×(eq\f(180,π))．学问点4弧度制下的弧长公式与扇形面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq\f(l,r)，变形可得l＝__|α|r__，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq\f(l,r)rad，故其面积为S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．思索4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？提示：(1)①|α|＝eq\f(l,R)；②R＝eq\f(l,|α|)；③|α|＝eq\f(2S,R2)；④R＝eq\f(2S,l).(2)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于α，R，l，S四个量，可“知二求二”．这实质上是方程思想的应用．基础自测1．下列说法中正确的是(D)A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径长的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位[解析]利用弧度的定义及角度的定义推断.选项结论理由A错误长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，不是长度的度量单位.B错误C错误D正确2.－300°化为弧度是(B)A．－eq\f(4π,3) B．－eq\f(5π,3)C．－eq\f(7π,4) D．－eq\f(7π,6)3．已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是__4__.4．假如α＝－2，则α的终边所在的象限为(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因为－π<－2<－eq\f(π,2)，所以α的终边在第三象限．5．(1)将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式为__－8π＋eq\f(7π,4)__.(2)已知角α的终边与角eq\f(π,3)的终边相同，则在[0,2π)内与角eq\f(α,3)的终边相同的角为__eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)__.[解析](1)因为－1125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,4)，所以－1125°＝－8π＋eq\f(7π,4).(2)因为角α的终边与角eq\f(π,3)的终边相同，所以α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以eq\f(α,3)＝eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．又0≤eq\f(α,3)<2π，所以0≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)<2π(k∈Z)，故当k分别为0,1,2时，eq\f(α,3)分别为eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9)，都满意条件．关键实力·攻重难题型探究题型一角度与弧度的换算及应用例1设α＝510°，β＝eq\f(4,5)π.(1)将α用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；(2)将β用角度表示出来，并在－360°≤β<360°内找出与它们终边相同的全部的角．[解析](1)∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴α＝510°＝510×eq\f(π,180)＝eq\f(17,6)π＝2π＋eq\f(5,6)π，∴α的终边在其次象限．(2)β＝eq\f(4,5)π＝eq\f(4π,5)×(eq\f(180,π))°＝144°，设θ＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ<360°，∴－360°≤k·360°＋144°<360°，∴k＝－1或k＝0.∴在[－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°.[归纳提升]角度制与弧度制互化的关键与方法：(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键．(2)方法：度数×eq\f(π,180)＝弧度数；弧度数×(eq\f(180,π))°＝度数．(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特别要求不必化成小数．【对点练习】❶设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝eq\f(3π,5)、β2＝－\S]π,3\s.(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．[解析](1)∵180°＝πrad，∴－570°＝－eq\f(570π,180)＝－eq\f(19π,6)，∴α1＝－eq\f(19π,6)＝－2×2π＋eq\f(5π,6)，α2＝750°＝eq\f(750π,180)＝eq\f(25π,6)＝2×2π＋eq\f(π,6).∴α1在其次象限，α2在第一象限．(2)β1＝eq\f(3π,5)＝eq\f(3,5)×180°＝108°，β2＝－eq\f(π,3)＝－60°，∴β1在其次象限，β2在第四象限．题型二用弧度制表示给定区域角的集合例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[分析]本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界．[解析](1)225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的终边即eq\f(π,3)的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2kπ－eq\f(3π,4)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2kπ＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}∪{α|2kπ＋π＋eq\f(π,6)<α<2kπ＋π＋eq\f(π,2)，k∈Z}＝{α|kπ＋eq\f(π,6)<α<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．[归纳提升]解答本题时常犯以下三种错误．(1)弧度与角度混用．(2)终边在同一条直线上的角未合并．(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|eq\f(4,3)π＋2kπ<α<eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z}，这是一个空集．对于区域角的书写，肯定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写．【对点练习】❷用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界)，如图所示．[解析](1)330°和60°的终边分别对应－eq\f(π,6)和eq\f(π,3)，所表示的区域位于－eq\f(π,6)与eq\f(π,3)之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－eq\f(π,6)<θ<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．(2)210°和135°的终边分别对应－eq\f(5π,6)和eq\f(3π,4)，所表示的区域位于－eq\f(5π,6)与eq\f(3π,4)之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ－eq\f(5π,6)<θ<2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}．(3)30°＝eq\f(π,6)，210°＝eq\f(7π,6)，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|2kπ＋π<θ<2kπ＋eq\f(7π,6)，k∈Z}＝{θ|2kπ<θ<2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}∪{θ|(2k＋1)π<θ<(2k＋1)π＋eq\f(π,6)，k∈Z}＝{θ|nπ<θ<nπ＋eq\f(π,6)，n∈Z}．题型三弧长公式和扇形面积公式的应用角度1弧度数的确定例3(2024·山西省吕梁市月考)如图所示，已知⊙O的一条弧eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(D)A．eq\f(π,3) B．－eq\f(π,3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)[解析]设⊙O的半径为r，其内接正三角形为△ABC，如图所示，过O作OD⊥AB于点D，则D为AB边中点，∵AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos30°＝eq\f(\r(3),2)r，∴边长AB＝2AD＝eq\r(3)r.∴eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))的长l＝AB＝eq\r(3)r.又α是负角，∴α＝－eq\f(l,r)＝－eq\f(\r(3)r,r)＝－eq\r(3).角度2扇形面积、弧长的计算例4(2024·东北师大附中单元测试)已知扇形的周长是8cm，面积为3cm2，那么这个扇形的圆心角的弧度数(圆心角为正)为__eq\f(2,3)或6__.[解析]设这个扇形的半径为r，弧长为l，圆心角的弧度数为α，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝8，,\f(1,2)rl＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝3，,l＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝6.))∵α是扇形的圆心角的弧度数，∴0<α<2π.当r＝3，l＝2时，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,3)，符合题意；当r＝1，l＝6时，α＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,1)＝6，符合题意．综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为eq\f(2,3)或6.[归纳提升]1.运用扇形弧长及面积公式时应留意的问题．(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用．(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简洁得多．若角是以“度”为单位的，则必需先将其化成弧度，再计算．(3)在运用公式时，还应娴熟驾驭下面几个公式．①l＝αr，α＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,α)；②S＝eq\f(1,2)αr2，α＝eq\f(2S,r2).2．解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值问题即可．【对点练习】❸(1)一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)(2)(2024·厦门期末)若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(C)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．eq\r(2) D．2[解析](1)设扇形的圆心角为θ，半径为r，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)θr2＝15π，,θr＝5π，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝6，,θ＝\f(5π,6).))故扇形的圆心角为eq\f(5π,6).(2)设圆的直径的2r，则圆内接正方形的边长为eq\r(2)r.∵扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，∴扇子的弧长等于eq\r(2)r，∴圆心角α(0<α<π)的弧度数为eq\f(\r(2)r,r)＝eq\r(2).误区警示角度和弧度混用致错例5求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[错解一]{α|k·360°＋330°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[错解二]{α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．[错因分析]错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．[正解]{α|2kπ－eq\f(π,6)<α<2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}，也可写成{α|k·360°－30°<α<k·360°＋60°，k∈Z}．[方法点拨]同一个问题(或题目)中运用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．学科素养数学文化题的功能是传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类问题的关键是理解题意，依据题中的方法解决问题．例6《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的阅历公式：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为eq\f(2π,3)，半径等于4m的弧田，依据上述阅历公式，计算所得弧田面积约是(B)A．6m2 B．9m2C．12m2 D．15m2[解析]如图，由题意得∠AOB＝eq\f(2π,3)，OA＝4m，∴在Rt△AOD中，∠AOD＝eq\f(π,3)，∠DAO＝eq\f(π,6)，∴OD＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(1,2)×4＝2(m)，∴矢＝4－2＝2(m)．由AD＝AO·sineq\f(π,3)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(m)，得弦＝2AD＝2×2eq\r(3)＝4eq\r(3)(m)，∴弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝e