2024-2025学年新教材高中数学第8章函数应用课时分层作业45函数的实际应用含解析苏教版必修第一册

PAGE6-课时分层作业(四十五)函数的实际应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()ABCDB[水位由高变低，解除C，D．半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B．]2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费S(元)的函数关系如图所示．当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A．8元B．9元C．10元D．12元C[设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t．当t＝100时，100k1＋20＝100k2，所以k2－k1＝eq\f(1,5)，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×eq\f(1,5)－20＝10(元)．]3．某高校为提升科研实力，安排逐年加大科研经费投入．若该高校2024年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费起先超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A.2024年 B.2024年C.2024年 D.2024年B[若2024年是第一年，则第n(n∈N＋)年科研经费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2024年科研经费超过2000万元.故选B.]4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，其次个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100C[依据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C．]5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt．已知新丸经过50天后，体积变为eq\f(4,9)a．若一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则需经过的天数为()A．60 B．75C．90 D．100B[由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(1,50))．设经过t1天后，一个新丸体积变为eq\f(8,27)a，则eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(eq\f(t1,50))，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75．]二、填空题6．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天须要饲料200千克，每千克饲料的价格为1．8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0．03元，购买饲料每次支付运费300元，则该养殖场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．10[设该养殖场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0．03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．从而有y＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1．8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，当且仅当eq\f(300,x)＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．]7．生产肯定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获得更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18[利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0．1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,3)，至少应过滤______次才能达到市场要求.(已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)8[设至少过滤n次才能达到市场需求，则2%eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(n)≤0．1%，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)≤eq\f(1,20)，所以nlgeq\f(2,3)≤－1－lg2，所以n≥7．39，所以n＝8．]三、解答题9．物体在常温下的温度改变可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过肯定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，假如咖啡降温到40℃须要20min，那么降温到32℃时，须要多长时间？[解]由题意知40－24＝(88－24)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(20,h))，解得h＝10．故T－24＝(88－24)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))，当T＝32时，32－24＝64·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(t,10))＝eq\f(1,8)，解得t＝30，因此，需30min可降温到32℃．10．一片森林原来的面积为a，安排每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为爱护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[解](1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,10))．(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,2))，eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年起先，再砍伐n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n．令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(3,2))，eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15．故今后最多还能砍伐15年．1．如图所示的是某池塘中的浮萍扩散的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积会超过30m2③浮萍从4m2扩散到12m④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍扩散到2m2,3m2,6m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝A．①②④ B．①④⑤C．①②⑤ D．②③⑤C[①明显正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当t＝2时，y＝4，当t＝3．5时，y＝11．31<12，故经过1．5个月并不能使浮萍的面积达到12m2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1m2，再经过一个月时，面积增加4－2＝2m2，故④不正确；当浮萍面积为2m2时，t1＝1，当浮萍面积为3m2时，t2＝log23，当浮萍面积为6m2时，t3＝log2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26．7，天狼星的星等是－1．45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．1010．1 B．10．1C．lg10．1 D．10－10．1A[依据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26．7，m2＝－1．45，依据两颗星的星等与亮度满意m2－m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，把m1与m2的值分别代入上式得，－1．45－(－26．7)＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得lgeq\f(E1,E2)＝10．1，所以eq\f(E1,E2)＝1010．1，故选A．]3．依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．60,16[因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq\f(c,\r(A))＝15， ①所以必有4<A，且eq\f(c,\r(4))＝eq\f(c,2)＝30， ②联立①②解得c＝60，A＝16．]4．已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400－6x，0<x≤40，,\f(7400,x)－\f(40000,x2)，x>40.))(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解](1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－eq\f(40000,x)－16x＋7360．所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x2＋384x－40，0<x≤40，,－\f(40000,x)－16x＋7360，x