2024-2025学年高中数学第二章平面向量及其应用4.1平面向量基本定理课后习题含解析北师大版必修第二册

§4平面对量基本定理及坐标表示4.1平面对量基本定理课后篇巩固提升基础达标练1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有()①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.A.1组 B.2组 C.3组 D.4组解析①设e1+e2=λe1,则λ=1,所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基;②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则1+2λ=0,2+λ=0,无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e③因为e1-2e2=-12(4e2-2e1),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不行作为一组基④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,所以1-λ=0,1+λ=0,无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2答案C2.已知e1,e2为平面内全部向量的一组基,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为()A.λ=0 B.e2=0C.e1∥e2 D.e1∥e2或λ=0解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.答案A3.设a,b为平面内全部向量的一组基,已知向量AB=a-kb,CB=2a+b,CD=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.2 B.-2 C.10 D.-10解析AD=AB+BC+CD=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ使得AB=λAD,即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.因为a,b为基向量,所以2λ=1,λ(k+2)答案A4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2OA+OB+OC=0,A.AO=OD B.AO=C.AO=3OD D.2AO解析由2OA+OB+OC=0,得2OA=-因为D是BC的中点,所以OB+OC=2于是2OA=-2OD,即AO=答案A5.(多选)假如e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的全部向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0解析由平面对量基本定理可知A,D是正确的.对于B,由平面对量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么平面内随意一个向量在此基下的实数对是唯一的.对于C,当两向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,则这样的λ有多数个.故选BC.答案BC6.若e1,e2为平面内全部向量的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为.

解析因为a,b不能作为一组基,所以存在实数λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),则6λ=3,且kλ=-4,解得λ=12,k=-8答案-87.(2024湖北浠水试验高级中学高一期末)设D为△ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC=λDC(λ∈R),解析因为D为△ABC所在平面内一点,由AD=-13AB+43AC,可得3AD即4AD-4AC=则4CD=BD,即BD=-4可得BD+DC=-3DC,故BC=-3DC,则λ=-答案-3实力提升练1.已知平面内有一点P及一个△ABC,若PA+PB+PC=A.点P在△ABC外部 B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上 D.点P在线段AC上解析因为PA+所以PA+PB+即PA+PB+所以PA+PA+PC=0,所以点P在线段AC上.答案D2.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且OA=a,OB=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,则PR等于()A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a解析如图,a=12b=12相减得b-a=12(所以PR=2(b-a).答案B3.(2024北京通州高一期末)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且BC=3CD,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是()A.0,12 B.0,13C.-12,0 D.-13,0解析如图.依题意,设BO=λBC,其中1<λ<43,则有AO=AB+BO=AB+λBC=AB+λ(AC-AB又AO=xAB+(1-x)AC,且AB,AC于是有x=1-λ∈-13,0,即x的取值范围是-13,0.故选D.答案D4.如图,平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=13BC,以a,b为基表示向量AM=,HF=.解析在平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=13BC所以AM=AD+DM=ADHF=AF-AH=AB+BF-12答案b+12aa-15.在△ABC所在平面上有一点P,满意PA+PB+4PC=AB,则△PBC与△PAB解析PA+PB+4PC=AB=AP+PB,所以2PC=AP,即点P在AC边上,且AP=2PC,所以答案1∶26.如图所示,在△OAB中,OA=a,OB=b,M,N分别是OA,OB上的点,且OM=13a,ON=12b.设AN与BM交于点P,用向量解设MP=mMB,NP=nNA,因为OP=OM+MP,OP=ON+NP,所以OP=OM+mMB=13a+mb因为a与b不共线,所以1解得m=25,n=1素养培优练已知A,B,C三点不共线,O为平面上随意一点,证明存在实数p,q,r,使得pOA+qOB+rOC=0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.证明由题意