2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入本章小结学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-第三章本章小结一、复数的概念及分类复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．【例1】已知m∈R，复数z＝eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面的其次象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【解】(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm－2,m－1)＝0，,m2＋2m－3≠0，))解得m＝0或m＝2.∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm－2,m－1)<0，,m2＋2m－3>0，))解得m<－3或1<m<2，故当m<－3或1<m<2时，z对应的点位于复平面的其次象限．(4)由eq\f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得eq\f(mm2＋2m－4,m－1)＝0.解得m＝0或m＝－1±eq\r(5).∴当m＝0或m＝－1±eq\r(5)时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．【评析】驾驭复数的分类是解此题的关键，复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决形或数的问题供应了一条重要思路．二、复数的几何意义1．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来探讨代数问题．2．任何一个复数z＝a＋bi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量eq\o(OZ,\s\up16(→))对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特殊留意|z|、|z－a|的几何意义——距离．3．复数加、减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z、Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹：(1)当|z－z1|＝r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|＝1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|，表示以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．(3)当|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|>0)，则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的椭圆．(4)当||z－z1|－|z－z2||＝2a(0<2a<|eq\o(Z1Z2,\s\up16(→))|)，则表示以复数z1、z2的对应点为焦点的双曲线．【例2】已知复数z的模为2，则|z－i|的最大值为()A．1 B．2C.eq\r(5) D．3【分析一】∵|z|＝2，要求|z－i|的最大值，可干脆应用模的性质：|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.【分析二】要求|z－i|的最值可设ω＝z－i，则z＝ω＋i变为求|ω|的最大值，依据ω的几何意义即可求．【解析】解法一：∵|z|＝2，∴|z－i|≤|z|＋|i|＝2＋1＝3.解法二：设ω＝z－i，则ω＋i＝z.∴|ω＋i|＝|z|＝2.ω表示以点(0，－1)为圆心，以2为半径的圆，由下图可知，圆上到原点的距离以|OP|为最大，最大值是3.【答案】D【评析】求模的最值要想到模的几何意义的应用，这时，图形要画得合乎题意，充分利用图形的直观性．【例3】已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.【解】设z＝x＋yi，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,1)＝\f(y－6,x＋2)，,\r(x2＋y2)＝\r(－32＋42)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－5,y1＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝－3,y2＝4)).∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.三、复数的四则运算历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，娴熟驾驭复数的乘法法则和除法法则，熟识常见的结论是快速精确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．【例4】已知复数z1＝2－3i，z2＝eq\f(15－5i,2＋i2).求(1)eq\x\to(z)1·z2；(2)eq\f(\x\to(z)1,z2).【解】z2＝eq\f(15－5i,2＋i2)＝eq\f(15－5i,3＋4i)＝eq\f(15－5i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(25－75i,25)＝1－3i.(1)eq\x\to(z)1·z2＝(2＋3i)·(1－3i)＝2－6i＋3i＋9＝11－3i.(2)eq\f(\x\to(z)1,z2)＝eq\f(2＋3i,1－3i)＝eq\f(2＋3i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(－7＋9i,10)＝－eq\f(7,10)＋eq\f(9,10)i.【评析】在进行复数的除法运算时，一般采纳“分母实数化”的方法，即将分子、分母均乘以分母上的复数的共轭复数，依据z·eq\x\to(z)＝|z|2将分母化为实数，再将分子上的两复数相乘绽开整理即可．四、共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：1．z∈R⇔eq\x\to(z)＝z；2．z≠0，z为纯虚数⇔eq\x\to(z)＝－z.【例5】设复数z满意4z＋2eq\x\to(z)＝3eq\r(3)＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围．【解】设z＝a＋bi(a、b∈R)，则eq\x\to(z)＝a－bi.代入4z＋2eq\x\to(z)＝3eq\r(3)＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3eq\r(3)＋i，即6a＋2bi＝3eq\r(3)＋i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(3),2)，,b＝\f(1,2).))∴z＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i.|z－ω|＝|eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i－(sinθ－icosθ)|＝eq\r(\f(\r(3),2)－sinθ2＋\f(